Хансен мәселесі жазықтықтағы проблема маркшейдерлік іс, астрономның атымен аталған Питер Андреас Хансен (1795–1874), Данияның геодезиялық түсірілімінде жұмыс істеді. Белгілі екі мәселе бар A және B, және екі белгісіз нүкте P1 және P2. Қайдан P1 және P2 бақылаушы көру сызықтарының қалған үш нүктенің әрқайсысына жасаған бұрыштарын өлшейді. Мәселе - позицияларын табу P1 және P2. Суретті қараңыз; өлшенген бұрыштар (α1, β1, α2, β2).
Бұл белгісіз нүктелерде жүргізілген бұрыштарды бақылауды қамтитындықтан, мәселе мысал бола алады резекция (қиылысқа қарағанда).
Шешім әдісіне шолу
Келесі бұрыштарды анықтаңыз: γ = P1AP2, δ = P1BP2, φ = P2AB, ψ = P1BA.Біз бірінші қадам ретінде шешеміз φ және ψ.Бұл екі белгісіз бұрыштардың қосындысы қосындыға тең β1 және β2, теңдеуді шығарады
![{ displaystyle phi + psi = beta _ {1} + beta _ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae7fb19a2bd3541047316c85c60fe1db4a94a08)
Екінші теңдеуді төмендегідей еңбекқорлықпен табуға болады. The синустар заңы өнімділік
және![{ displaystyle { frac {P_ {2} B} {P_ {1} P_ {2}}} = { frac { sin beta _ {1}} { sin delta}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f0e29466f55db5677bbe7e61d5fde615800b4c)
Оларды біріктіре отырып, біз аламыз
![{ displaystyle { frac {AB} {P_ {1} P_ {2}}} = { frac { sin alpha _ {2} sin beta _ {1}} { sin phi sin атырау}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204ecaae6250552c26ce9c7e8150e0baa5857193)
Екінші жағынан толығымен ұқсас пайымдаулар нәтиже береді
![{ displaystyle { frac {AB} {P_ {1} P_ {2}}} = { frac { sin alpha _ {1} sin beta _ {2}} { sin psi sin гамма}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1883ee164e8155eeb3bdd16a010abaa78967bf34)
Осы екі теңдікті орнату береді
![{ displaystyle { frac { sin phi} { sin psi}} = { frac { sin gamma sin alpha _ {2} sin beta _ {1}} { sin delta sin alpha _ {1} sin beta _ {2}}} = k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d853d69858a78e9d612d82a3d4622f840965b05f)
Белгілі нәрсені пайдалану тригонометриялық сәйкестілік синустардың бұл арақатынасын бұрыштық айырымның тангенсі ретінде көрсетуге болады:
![{ displaystyle tan { frac { phi - psi} {2}} = { frac {k-1} {k + 1}} tan { frac { phi + psi} {2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a23b06ffc067876d4cf5863373e47acb7d8c8f)
Бұл бізге қажет екінші теңдеу. Екі белгісіздің екі теңдеуін шешкеннен кейін
және
, біз үшін жоғарыдағы екі өрнектің бірін қолдана аламыз
табу P1P2 бері AB белгілі. Содан кейін біз басқа сегменттерді синустар заңы арқылы таба аламыз.[1]
Шешім алгоритмі
Бізге төрт бұрыш беріледі (α1, β1, α2, β2) және қашықтық AB. Есептеу келесідей жүреді:
- Есептеңіз
![{ displaystyle gamma = pi - альфа _ {1} - бета _ {1} - бета _ {2}, quad delta = pi - альфа _ {2} - бета _ {1 } - бета _ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bfbb33c94baaaf6e3b1bc1cccf158433e956f3)
- Есептеңіз
![{ displaystyle k = { frac { sin gamma sin alpha _ {2} sin beta _ {1}} { sin delta sin alpha _ {1} sin beta _ {2 }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558b8919b6e104e079adba6dd36584501346e74c)
- Келіңіздер
содан соң ![{ displaystyle phi = (s + d) / 2, quad psi = (s-d) / 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9bd3ef7c20d51d21ac900f8569ad371b45df4a)
- Есептеңіз
![{ displaystyle P_ {1} P_ {2} = AB { frac { sin phi sin delta} { sin alpha _ {2} sin beta _ {1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb6bf4854d606afeee085d8d5293558d8c858b7)
- немесе баламалы
![P_ {1} P_ {2} = AB { frac { sin psi sin gamma} { sin alpha _ {1} sin beta _ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d988d08bfcba368f33bbb3ddfbf0266e70fb44)
- Егер осы бөлшектердің біреуінде нөлге жақын бөлгіш болса, екіншісін қолданыңыз.
Сондай-ақ қараңыз
Әдебиеттер тізімі
- ^ Udo Hebisch: Ebene und Sphaerische Trigonometrie, Kapitel 1, Beispiel 4 (2005, 2006)[1]