Хаджикостас формуласы - Википедия - Hadjicostass formula

Жылы математика, Хаджикостас формуласы белгілі бірге қатысты формула қос интеграл мәндеріне Гамма функциясы және Riemann zeta функциясы. Ол Петрос Хаджикостастың есімімен аталады.

Мәлімдеме

Келіңіздер с болуы а күрделі сан бірге с ≠ -1 және Re (с)> −2. Содан кейін

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {1-x} {1-xy}} (- log (xy)) ^ {s} , dx , dy = Gamma (s + 2) left ( zeta (s + 2) - { frac {1} {s + 1}} right).}

Мұнда Γ болып табылады Гамма функциясы және ζ бұл Riemann zeta функциясы.

Фон

Формуланың алғашқы нұсқасын Frits Beukers өзінің 1978 жылғы мақаласында дәлелдеді және қолданды, оның балама дәлелі Апери теоремасы.^[1] Ол формуланы қашан дәлелдеді с = 0, және іс үшін эквивалентті тұжырымдаманы дәлелдеді с = 1. Бұл 2004 жылы Петрос Хаджикостасты жоғарыдағы формуланы болжауға мәжбүр етті,^[2] бір аптаның ішінде оны Робин Чапман дәлелдеді.^[3] Ол формуланың Re (с)> −1, содан кейін нәтижені кеңейтіңіз аналитикалық жалғасы толық нәтижеге қол жеткізу.

Ерекше жағдайлар

Uk (2) және ζ (3) үшін ауыспалы өрнектерді алу үшін Бьюкерс қолданған екі жағдай сияқты, формуланы өрнектеу үшін қолдануға болады Эйлер-Маскерони тұрақты рұқсат ету арқылы қос интеграл ретінде с −1 тенденциясы:

{ displaystyle gamma = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {1-x} {(1-xy) (- log (xy))}} , dx , dy.}

Соңғы формуланы алғаш Джонатан Сондоу ашты^[4] және Хаджикостастың жұмысының тақырыбында аталған.

Ескертулер

^ Beukers, F. (1979). «Ζ (2) және ζ (3) қисынсыздығы туралы ескерту». Өгіз. Лондон математикасы. Soc. 11 (3): 268–272. дои:10.1112 / blms / 11.3.268.
^ Хаджикостас, П. (2004). «Сондов формуласының болжам-жалпылауы». arXiv:math.NT / 0405423.
^ Чепмен, Р. (2004). «Хаджикостастың болжамының дәлелі». arXiv:математика / 0405478.
^ Сондоу, Дж. (2003). «Эйлер тұрақтысының иррационалдығының критерийлері». Proc. Amer. Математика. Soc. 131: 3335–3344. дои:10.1090 / S0002-9939-03-07081-3.

Сондай-ақ қараңыз

Хессами Пилехруд, Х .; Hessami Pilehrood, T. (2008). «Жалпыланған-Эйлер-тұрақты функцияның және оның туындысының мәні үшін Вакка типті қатарлар». arXiv:0808.0410.

Sondow, J (2005). «Эйлер константасы мен ln 4 / π үшін қос интегралдар және Хаджикостас формуласының аналогы». Американдық математикалық айлық. 112: 61–65. arXiv:math.CA/0211148. дои:10.2307/30037385.
Сондоу, Джонатан; Хаджикостас, Петрос (2008). «Жалпыланған-Эйлер-тұрақты функциясы γ (z) және Сомостың квадраттық қайталану константасын қорыту». Математикалық анализ және қолдану журналы. 332: 292–314. arXiv:математика / 0610499. дои:10.1016 / j.jmaa.2006.09.081.

[1] Beukers, F. (1979). «Ζ (2) және ζ (3) қисынсыздығы туралы ескерту». Өгіз. Лондон математикасы. Soc. 11 (3): 268–272. дои:10.1112 / blms / 11.3.268.

[2] Хаджикостас, П. (2004). «Сондов формуласының болжам-жалпылауы». arXiv:math.NT / 0405423.

[3] Чепмен, Р. (2004). «Хаджикостастың болжамының дәлелі». arXiv:математика / 0405478.

[4] Сондоу, Дж. (2003). «Эйлер тұрақтысының иррационалдығының критерийлері». Proc. Amer. Математика. Soc. 131: 3335–3344. дои:10.1090 / S0002-9939-03-07081-3.

[1]

[2]

[3]

[4]