Gullstrand – Painlevé координаттары - Gullstrand–Painlevé coordinates

Gullstrand – Painlevé координаттары үшін координаттардың белгілі бір жиынтығы Шварцшильд метрикасы - шешімі Эйнштейн өрісінің теңдеулері қара тесікті сипаттайтын. Түсіп жатқан координаттар уақыт координатасы алыстан нөлдік жылдамдықпен басталатын еркін түсетін бақылаушының тиісті уақытына сәйкес болатындай, ал кеңістіктік кесінділер тегіс. Шварцшильд радиусында координаталық сингулярлық жоқ (оқиға көкжиегі). Шығатындар - бұл кіріс координаттарының уақытқа кері қатынасы (уақыт - бұл нөлдік жылдамдықпен шексіздікке жететін шығатын бөлшектер бойындағы тиісті уақыт).

Шешім өз бетінше ұсынылды Пол Пенлеве 1921 ж [1] және Альвар Гуллстранд[2] 1922 ж. Ол 1933 ж. дейін танылған жоқ Леметр қағаз [3]бұл шешімдер кәдімгі Шварцшильд шешімінің координаталық түрлендіруі болды.

Шығу

GP координаттарын шығару үшін келесі координаттар жүйелерін анықтау және бір координаттар жүйесіндегі оқиғалар үшін өлшенген мәліметтер басқа координаттар жүйесінде қалай түсіндірілетінін түсіну қажет.

Конвенция: Айнымалыларға арналған бірліктер барлығы геометрияланған. Уақыт пен массаның өлшем бірліктері болады. Жазық кеңістіктегі жарық жылдамдығы 1-ге тең, гравитациялық тұрақтылық мәні 1-ге тең. Метрика + −−− конвенцияға қол қою.

Шварцшильд координаттары

Шварцшильд бақылаушысы алыс бақылаушы немесе бухгалтер. Ол әртүрлі жерлерде болатын оқиғаларды тікелей өлшей бермейді. Керісінше, ол қара тесік пен оқиғалардан алыс. Іс-шаралардың жергілікті бақылаушылары өлшеу жүргізіп, нәтижелерін оған жіберу үшін шақырылады. Бухгалтер әр жерден жиналған есептерді біріктіреді. Есептердегі сандар Шварцшильд координаттарындағы деректерге аударылады, бұл оқиғаларды жаһандық деңгейде бағалау мен сипаттаудың жүйелік құралын ұсынады. Осылайша, физик мәліметтерді салыстыра және түсіндіре алады. Ол осы мәліметтерден мағыналы ақпарат таба алады. Шварцшильд метрикасының Шварцшильд координаталарын қолданатын Шварцшильд формасы берілген

қайда

G = 1 = c
т, р, θ, φ Шварцшильд координаттары,
М бұл қара тесіктің массасы.

ЖТД координаттары

Жаңа уақыт координатын анықтаңыз

кейбір ерікті функциялар үшін . Шварцшильд метрикасының орнын алады

қайда .Егер қазір таңдасақ термин көбейетін сияқты бұл біз бірлік

және метрика болады

Кеңістіктік көрсеткіш (яғни метриканың шектелуі) жер бетінде қайда тұрақты) дегеніміз жай сфералық полярлық координатада көрсетілген жалпақ метрика. Бұл метрика горизонт бойынша тұрақты болып табылады r = 2M, өйткені уақытша мүше нөлге тең болғанымен, метрикадағы диагональдан тыс мүше нөлге тең емес және метриканың қайтымды болатындығына кепілдік береді (метриканың анықтаушысы ).

Функция арқылы беріледі

қайда .Функция at нақты сингулярлы r = 2M Шварцшильд метрикасындағы осы бірегейлікті алып тастау керек.

Жаңбыр тамшысының қозғалысы

Жаңбыр тамшысын тыныштықтан қара саңылауға радиалды түрде құлайтын объект ретінде анықтаңыз. Шварцшильд координаттарында жаңбыр тамшысының жылдамдығы бойынша беріледі

  • R оқиғалар көкжиегіне жақындаған кезде жылдамдық 0-ге ұмтылады. Жаңбыр тамшысы оқиғаның көкжиегіне жақындаған сайын және кітапшымен өлшенгендей оқиға көкжиегінде тоқтаған кезде баяулаған көрінеді. Шынында да, оқиға көкжиегінен тыс бақылаушы жаңбыр тамшысының баяу және баяу түсіп жатқанын көреді. Оның бейнелері шексіз өзгертілген және оны ешқашан оқиға көкжиегі арқылы өткізбейді. Алайда бухгалтер физикалық түрде жылдамдықты тікелей өлшемейді. Ол қабық бақылаушысы берген мәліметтерді Шварцшильд мәндеріне аударады және жылдамдықты есептейді. Нәтиже тек бухгалтерлік жазба болып табылады.

GP координаттарында жылдамдық келесі арқылы беріледі

Жаңбыр тамшысының жылдамдығы 1.gif
  • Жаңбыр тамшысының жылдамдығы радиустың квадрат түбіріне кері пропорционал және теріс мәніне тең Ньютондық қашу жылдамдығы. Қара тесіктен өте алыс жерлерде жылдамдық өте аз. Жаңбыр тамшысы қара саңылауға қарай түскенде жылдамдық күшейеді. Оқиға көкжиегінде жылдамдық 1 мәніне ие болады. Оқиғалар көкжиегінде үзіліс пен сингулярлық болмайды.
  • Оқиғалар көкжиегінде жаңбыр тамшысы даралыққа жақындаған сайын жылдамдық өседі. Сайып келгенде, жылдамдық шексіздікке ие болады. Төменде көрсетілгендей, жылдамдық әрқашан жарық жылдамдығынан аз болады. Нәтижелерді теңдікпен дұрыс болжанбау мүмкін, сингулярлыққа жақын және нақты шешім, өйткені кванттық механика енгізілген кезде шынайы шешім мүлде өзгеше болуы мүмкін.
  • Ерекшелік мәселесіне қарамастан, жаңбыр тамшысының көкжиектен қара дырдың ортасына дейінгі жүру уақытын математикалық түрде есептеуге болады.

Қозғалыс теңдеуін біріктіріңіз:

Нәтиже

Осы нәтижені жаңбыр тамшысының жылдамдығы үшін пайдаланып, уақыт бойынша жаңбыр тамшысының траекториясы бойымен тиісті уақытты таба аламыз . Бізде бар

Яғни жаңбыр бойымен траектория, уақыттың өтуі траектория бойымен дәл уақыт. GP координаттарын кеңістіктік беттердің тегіс болуын талап етуден гөрі осы талап бойынша анықтауға болар еді.

Бір-бірімен тығыз байланысты координаттар жиынтығы - бұл Леметр координаттары, онда «радиалды» координат жаңбыр тамшылары жолдары бойымен тұрақты болып таңдалады. Бастап р жаңбыр тамшысының түсуіне қарай өзгереді, бұл көрсеткіш уақытқа тәуелді, ал GP метрикасы уақытқа тәуелді емес.

Алынған метрика, егер жоғарыда біз функцияны алсақ f (r) жоғарыда таңдағанымыздың теріс болуы GP координаттар жүйесі деп те аталады. Метрикадағы жалғыз өзгеріс - кросс-терминдер өзгеруінің белгісі. Бұл көрсеткіш жаңбыр тамшылары үшін тұрақты болып табылады, яғни. қара саңылауды жылдамдықпен сыртқа қарай жылжытатын бөлшектер, олардың шексіздік жылдамдығы нөлге тең болады. Әдеттегі GP координаттарында мұндай бөлшектерді сипаттауға болмайды r <2M. Олардың нөлдік мәні бар кезінде r = 2M. Бұл Шварцшильд қара саңылауының екі көкжиектің, өткен және болашақ көкжиектерінің бар екендігін көрсетеді. ЖД координаттарының түпнұсқа формасы болашақ горизонт бойынша тұрақты (бөлшектер қара тесікке түскен кезде түседі), ал баламалы теріс нұсқасы өткен горизонт бойынша тұрақты болады (егер олар пайда болса, қара тесіктен бөлшектер шығады) солай).

The Крускал – Секерес координаттары метриканы уақыт координатасына қатты тәуелді ету есебінен екі горизонт бойынша тұрақты болып табылады.

Жарық жылдамдығы

Радиалды қозғалысты қабылдаңыз. Жеңіл үшін, Сондықтан,

  • Қара тесіктен өте алыс жерлерде, The жарық жылдамдығы 1-ге тең, арнайы салыстырмалылықтағыдай.
  • Іс-шара көкжиегінде, қара тесіктің ортасынан тыс жарық сәулесінің жылдамдығы Ол оқиға көкжиегінен қашып құтыла алмайды. Керісінше, ол іс-шаралар көкжиегінде тұрып қалады. Жарық басқаларға қарағанда жылдамырақ қозғалатын болғандықтан, материя оқиғалар көкжиегінде ғана ішке қарай жылжи алады. Оқиғалар көкжиегіндегі барлық нәрсе сыртқы әлемнен жасырылады.
  • Оқиғалар көкжиегінде жаңбыр бақылаушысы жарықтың орталыққа қарай жылдамдықтың 2-ден асатындығын өлшейді, бұл ақылға қонымды. Арнайы салыстырмалылық жағдайында да қозғалатын объектінің тиісті жылдамдығы
Екі маңызды сәтті ескеру қажет:
  1. Бірде-бір зат бірдей жылдамдықта өлшенетін жарық жылдамдығынан үлкен болмауы керек. Осылайша, себептілік принципі сақталады. Шынында да, жаңбыр тамшысының жылдамдығы жарыққа қарағанда аз:
  2. Оқиғалар көкжиегінен қара тесіктің ортасына қарай жарық түсетін жарықтың жүру уақытын жарық жылдамдығының теңдеуін интегралдау арқылы алуға болады,

Нәтиже

  1. А үшін жеңіл жүру уақыты жұлдызды қара тесік типтік мөлшері 3 күн массасы шамамен 11 микросекунд құрайды.
  2. Айналдыру әсерін елемеу, үшін Стрелец A *, супермассивті қара тесік орталығында тұратын құс жолы, массасы 3,7 миллион күн массасымен, жарықтың өту уақыты шамамен 14 секунд.
  3. Центріндегі супермассивті қара тесік Мессье 87, ішіндегі алып эллиптикалық галактика Бикештер кластері, белгілі ең үлкен қара тесік. Оның массасы шамамен 3 миллиард күн массасына ие. Осындай супермассивті қара тесіктің орталық сингулярлығына жарық түсу үшін шамамен 3 сағат, ал жаңбыр тамшысы үшін 5 сағат қажет болады.

Жаңбыр бақылаушының ғаламға көзқарасы

Жауын-шашын бақылаушысы қара тесікке түсіп кеткенде көргендей Ғалам қалай көрінеді? [4] Көріністі келесі теңдеулермен сипаттауға болады:

қайда

жаңбыр бақылаушы мен раковинаның бақылаушысының радиалды сыртқы бағытқа қатысты бұрыштары.
- бұл алыс жұлдыз бен радиалды сыртқы бағыт арасындағы бұрыш.
әсер ету параметрі болып табылады. Әрбір кіретін жарық сәулесін шексіздікте сәйкес сәулеге дейін түсіруге болады. Кіретін жарық сәулесінің әсер ету параметрі дегеніміз - шексіздіктегі сәйкес сәуле мен оған қара параллельге түсіп жатқан параллель сәуле арасындағы қашықтық.

Сфералық симметрия болғандықтан, жарық траекториясы әрдайым сфера центрі арқылы өтетін жазықтықта жатыр. Метриканы болжау арқылы жеңілдетуге болады .

RainAngleConversion 360. GIF

Әсер ету параметрі жаңбыр бақылаушысының r-координатасын біле отырып есептеуге болады және көру бұрышы . Содан кейін, нақты бұрыш сандық интегралдау арқылы анықталады бастап шексіздікке. Үлгі нәтижелерінің кестесі оң жақта көрсетілген.

  • At р/М = 500, қара тесік әлі де өте алыс. Ол аспанда ~ 1 градус диаметральды бұрышты бағындырады. Жұлдыздар қара тесіктің болуымен көп бұрмаланбайды, тек оның артындағы жұлдыздардан басқа. Байланысты гравитациялық линзалау, енді бұл кедергі жұлдыздар артқы жағынан 5 градусқа ауытқиды. Бұл жұлдыздар мен қара тесік арасында жұлдыздардың екінші реттік кескіндерінің дөңгелек жолағы орналасқан. Қайталанатын кескіндер қара саңылауды анықтауда маңызды рөл атқарады.
  • R / M = 30 кезінде қара тесік аспанда ~ 15 градус диаметральды бұрышқа созылып, әлдеқайда ұлғайып кетті. Қосалқы кескіндер тобы да 10 градусқа дейін өсті. Енді жолақтан қара тесігін айналдыра айналдырған жарық сәулелері шығаратын әлсіз үшінші реттік суреттерді табуға болады. Бастапқы суреттер аспанның қалған бөлігінде тығызырақ таратылады. Тарату үлгісі бұрын көрсетілгенге ұқсас.
  • R / M = 2 болғанда, оқиға көкжиегі, қара тесік енді аспанның едәуір бөлігін алады. Жауын-шашын бақылаушысы радиалды ішке қарай қараңғы болып 42 градусқа дейінгі аумақты көреді. Екінші және үшінші суреттердің жолағы көбеймей, 5 градусқа дейін азайды. The аберрация әсері қазір айтарлықтай басым. Секіру жылдамдығы жеңіл жылдамдыққа жетті. Бастапқы кескіндердің таралу схемасы күрт өзгеруде. Бастапқы кескіндер жолақ шекарасына қарай ығысуда. Топтың жанындағы шеті қазір жұлдыздарға толы. Байланысты Доплерлік әсер, бастапқыда жауын-шашын бақылаушысының артында орналасқан жұлдыздардың негізгі бейнесі олардың суреттерін айтарлықтай қызылға ауыстырады, ал алдыңғы жағындағылар көгілдір және өте ашық болып көрінеді.
  • R / M = 0.001 кезінде алыстағы жұлдыздар бұрышының көріну бұрышы 90 градус көру бұрышында тік бұрышты құрайтындай болады. Жұлдыз кескіндерінің барлығы дерлік радиалды ішке қарай тар шеңберде 90 градусқа жиналған. Сақина мен радиалды бағытта ішкі бағытта өте үлкен қара тесік бар. Қарсы жақта бірнеше жұлдыз ғана әлсіз жарқырайды.
  • Жаңбырды бақылаушы дара ерекшелікке жақындаған кезде, , және . Жұлдыздардың көпшілігі және олардың суреттері қара тесіктің айналасында бірнеше рет айналуынан туындаған, олар 90 ° көру бұрышында тар жолға қысылған. Бақылаушы қараңғы аспанды бөліп тұрған жұлдыздардың керемет жарқын жүзігін көреді.

Тарих

Пейнлеве де, Гульстранд те бұл шешімді Эйнштейннің теориясы толық емес деп тұжырымдады, өйткені ол сфералық дененің гравитациялық өрісі үшін бірнеше шешім берді, сонымен қатар әр түрлі физика берді (олар таяқшалардың ұзындығы кейде ұзын, ал кейде қысқа болуы мүмкін деп тұжырымдады) тангенциалды бағыттарға қарағанда радиалды). Пенлеве ұсынысының «қулығы» ол бұдан былай толық квадраттық (статикалық) формаға жабысып қалмай, керісінше метрикалық форманы статикалық емес, стационарлық және симметриялы емес, артықшылықты бағдарлы етіп жасайтын кросс-уақыттық өнімге мүмкіндік беруі болды.

Екінші, ұзағырақ қағазда (14 қараша, 1921),[5] Пейнлеве өз шешімін қалай шығарғанын метриканың жалпы сфералық симметриялы формасы үшін Эйнштейн теңдеулерін тікелей шешу жолымен шығарғанын түсіндіреді.Оның нәтижесі, (4) теңдеуі, r координатасының шешімдерінің екі еселенген шексіздігінің екі ерікті функциясына тәуелді болды. Енді біз бұлардың уақыт пен радиалды координаталардың әр түрлі таңдауын білдіретінін білеміз.

Пенлеве Эйнштейнге өзінің шешімін енгізу туралы хат жазып, Эйнштейнді Парижге пікірсайысқа шақырды. Эйнштейннің жауап хатында (7 желтоқсан),[6]ол көп ұзамай келуге мүмкіндігі болмағандығы үшін кешірім сұрады және Пинлевенің дәлелдеріне неліктен риза еместігін түсіндіріп, координаттардың мағынасы жоқ екенін баса айтты. Ақыры, Эйнштейн Парижге сәуірдің басында келді. 1922 жылы 5 сәуірде «Франс Колледжінде» өткен дебатта [7][8] Painlevé, Becquerel, Brillouin, Cartan, De Donder, Hadamard, Langevin және Nordmann-мен «шексіз потенциалдар» бойынша, Эйнштейн, сызық элементіндегі квадраттық емес айқас мүшеге таңданып, Пенлеве шешімін қабылдамады.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Пол Пенлеве, «La mécanique classique et la théorie de la relativité», C. R. Acad. Ғылыми. (Париж) 173, 677-680 (1921).
  2. ^ Гуллстранд, Альвар (1922). «Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie». Mativatik, Astronomi och Fysik. 16 (8): 1–15.
  3. ^ Г.Лемайтр (1933). «L'Universitet кеңейту». Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. A53: 51–85. Бибкод:1933ASSB ... 53 ... 51L.
  4. ^ Тони Ротман; Ричард Матзнер; Билл Унрух (1985). «Үлкен елестер: бұдан әрі кеңістік кеңістігінде». Тони Ротманда (ред.) Қазіргі физиканың шекаралары. Dover Publications (Нью-Йорк). 49-81 бет.
  5. ^ «La gravitation dans la mécanique de Newton et dans la mécanique d'Einstein» C.R Acad. Ғылыми. (Париж) 173, 873-886 (1921).
  6. ^ Диана Бухвальд; және т.б., редакция. (2009). Альберт Эйнштейннің жинағы. Принстон университетінің баспасы. 368-370 бет.
  7. ^ Жан Эйзенштадт (1987). «Шварцшильд шешімінің ерте түсіндірілуі». Дон Хоукардта; Джон Стэхел (ред.) Эйнштейн және жалпы салыстырмалылық тарихы. Бирхаузер (Берлин). 222-223 бет.
  8. ^ Жан Эйзенштадт (1982). «Histoire et Singularités de la Solution de Schwarzschild (1915–1923)». Дәл ғылымдар тарихы мұрағаты. 27: 157–198. Бибкод:1982AHAH ... 27..157E. дои:10.1007 / BF00348347 (енжар ​​2020-11-16).CS1 maint: DOI 2020 жылдың қарашасындағы жағдай бойынша белсенді емес (сілтеме)
  • Миснер, Торн, Уилер (1973). Гравитация. W H Freeman және Компания. ISBN  0-7167-0344-0.CS1 maint: бірнеше есімдер: авторлар тізімі (сілтеме)

Сыртқы сілтемелер