Графикалық қуат - Graph power

Графиктің квадраты

Жылы графтар теориясы, математика бөлімі ккүш Gк туралы бағытталмаған граф G тең жиынтығына ие тағы бір график болып табылады төбелер, бірақ онда екі шың олардың жанында орналасқан қашықтық жылы G ең көп дегендек. Графиктердің күші сол сияқты терминологияны қолданады дәрежелеу сандар: G2 деп аталады шаршы туралы G, G3 деп аталады текше туралы Gжәне т.б.[1]

Графикалық қуаттарды келесіден ажырату керек өнімдер графиктің өзі, ол (қуаттардан айырмашылығы) бастапқы сызбадан гөрі көп шыңдарға ие.

Қасиеттері

Егер график болса диаметрі г., содан кейін оның г.- қуат - толық граф.[2] Егер графтар отбасы шектелген болса ені, содан кейін оны жасаңыз г.- кез келген тіркелгенге арналған қуат г..[3]

Бояу

Графикті бояу график квадратында сымсыз байланыс желілерінің қатысушыларына жиіліктерді тағайындау үшін екі қатысушы бір-біріне ортақ көршілерінде кедергі жасамауы үшін қолданылуы мүмкін,[4] және табу графикалық сызбалар жоғары бұрыштық рұқсат.[5]

Екі хроматикалық сан және деградация туралы ка қуаты жазықтық график максималды дәрежесі Δ болады , мұнда дегенеративті байланыс а ашкөз бояу алгоритм графиканы осы көптеген түстермен бояу үшін қолданылуы мүмкін.[4] Планарлық графиктің квадратының ерекше жағдайы үшін Вегнер 1977 жылы планарлық графиктің квадратының хроматикалық саны ең көп болады деп болжады , және хроматикалық санның ең көп екендігі белгілі .[6][7] Жалпы алғанда, деградациясы бар кез-келген график үшін г. және максималды дәрежесі Δ, график квадратының дегенерациясы O(г.Δ), көптеген түрлері сирек график жазықтық графиктерден басқа хроматикалық саны Δ пропорционал болатын квадраттар бар.

Максималды дәрежесі with болатын жазық емес графиктің квадратының хроматикалық саны Δ-ге пропорционалды болуы мүмкін2 ең нашар жағдайда, жоғары графиктер үшін бұл кішірек белдеу, O (Δ) арқылы шектеледі2/ log log) бұл жағдайда.[8]

Графиктің квадратын бояу үшін минималды түстер санын анықтау болып табылады NP-hard, тіпті жоспарлы жағдайда да.[9]

Гамильтондылық

Әрбір қосылған графиктің текшесінде міндетті түрде а болады Гамильтон циклі.[10] Байланыстырылған графиктің квадраты Гамильтониан болуы шарт емес, және ол NP аяқталды квадраттың Гамильтондық екенін анықтау үшін.[11] Соған қарамастан Флейшнер теоремасы, а квадраты 2 шыңға байланысты график әрқашан гамильтондық.[12]

Есептеудің күрделілігі

The кграфиктің қуаты n шыңдар және м шеттері O уақытында есептелуі мүмкін (мн) орындау арқылы бірінші іздеудің кеңдігі барлық шыңдарға дейінгі қашықтықты анықтау үшін әр шыңнан бастап немесе неғұрлым күрделі алгоритмдердің көмегімен сәл тезірек.[13] Сонымен қатар, егер A болып табылады матрица график үшін өзгертілген, оның негізгі диагональында нөлдік жазбалар, содан кейін нөлдік емес жазбалар болады Aк -ның іргелес матрицасын келтіріңіз кграфиктің қуаты,[14] осыдан шығады кБұл қуаттылықтар уақыттың логарифмдік коэффициентіне сәйкес келетін уақыт аралығында орындалуы мүмкін матрицаны көбейту.

The кАғаштардың қуаттарын кіріс сызбасының өлшемі бойынша сызықтық жағынан тануға болады.[15]

График берілгенде, оның басқа графиктің квадраты екенін анықтау NP аяқталды.[16]Оның үстіне, солай NP аяқталды графиктің а екенін анықтау кБерілген сан үшін басқа графиктің қуаты к ≥ 2, немесе ол а ка қуаты екі жақты граф, үшін к > 2.[17]

Индографиялық ішкі суреттер

Қ4 а-ның жарты шаршы түрінде текше график

The жарты шаршы а екі жақты граф G болып табылады G2 екі бөлімнің бір жағынан индукцияланған G. Графикалық карталар жартылай квадраттары болып табылады жазықтық графиктер,[18] және екіге бөлінген текше графиктер жартылай квадраттары болып табылады гиперкубтық графиктер.[19]

Жапырақтың күші - бұл ағаштың жапырақтары қоздыратын күштердің субографиясы. A к-жапырақ қуаты - бұл көрсеткіші болып табылатын жапырақ күші к.[20]

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Бонди, Адриан; Murty, U. S. R. (2008), Графикалық теория, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 244, Springer, б. 82, ISBN  9781846289699.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Графикалық қуат». MathWorld.
  3. ^ Todinca, Ioan (2003), «Шектіліктің ені бойынша графиктердің бояу күштері», Информатикадағы графикалық-теоретикалық ұғымдар, Компьютердегі дәрістер. Ғылыми еңбек., 2880, Спрингер, Берлин, 370–382 бет, дои:10.1007/978-3-540-39890-5_32, МЫРЗА  2080095.
  4. ^ а б Агнарссон, Гейр; Halldórsson, Magnús M. (2000), «Пландық графиктердің бояғыш күштері», Дискретті алгоритмдер бойынша он бірінші жылдық ACM-SIAM симпозиумының материалдары (SODA '00), Сан-Франциско, Калифорния, АҚШ, 654–662 бет.
  5. ^ Форманн, М .; Хагеруп, Т .; Хараламбидс, Дж .; Кауфман, М .; Лейтон, Ф. Т.; Симвони, А .; Велзль, Э.; Войджер, Г. (1993), «Графиктерді жазықтықта жоғары ажыратымдылықпен салу», Есептеу бойынша SIAM журналы, 22 (5): 1035–1052, дои:10.1137/0222063, МЫРЗА  1237161.
  6. ^ Крамер, Флорика; Крамер, Хорст (2008), «Графиктерді қашықтықтан бояуға арналған сауалнама», Дискретті математика, 308 (2–3): 422–426, дои:10.1016 / j.disc.2006.11.059, МЫРЗА  2378044.
  7. ^ Моллой, Майкл; Салаватипур, Мұхаммед Р. (2005), «Пландық график квадратының хроматикалық санына шек», Комбинаторлық теория журналы, B сериясы, 94 (2): 189–213, дои:10.1016 / j.jctb.2004.12.005, hdl:1807/9473, МЫРЗА  2145512.
  8. ^ Алон, Нога; Мохар, Боян (2002), «Графикалық қуаттың хроматикалық саны», Комбинаторика, ықтималдық және есептеу, 11 (1): 1–10, дои:10.1017 / S0963548301004965, МЫРЗА  1888178.
  9. ^ Agnarsson & Halldórsson (2000) Маккормиктің (1983 ж.) және Лин мен Скиенаның (1995) жалпы графикасына және Раманатан мен Ллойдтың (1992, 1993) жазықтық графикасына қаттылықтың қаттылығын дәлелдейтін басылымдардың тізімін келтіріңіз.
  10. ^ Bondy & Murty (2008), б. 105.
  11. ^ Жер асты, Полли (1978), «Гамильтон квадраттары бар графиктер туралы», Дискретті математика, 21 (3): 323, дои:10.1016 / 0012-365X (78) 90164-4, МЫРЗА  0522906.
  12. ^ Диестел, Рейнхард (2012), «10. Гамильтондық циклдар», Графикалық теория (PDF) (түзетілген 4-ші электронды ред.).
  13. ^ Чан, Тимоти М. (2012), «өлшенбеген бағытталмаған графиктердің барлық жұптары уақыт », Алгоритмдер бойынша ACM транзакциялары, 8 (4): A34: 1 – A34: 17, дои:10.1145/2344422.2344424, МЫРЗА  2981912
  14. ^ Хаммак, Ричард; Имрих, Уилфрид; Клавжар, Санди (2011), Өнім графиктерінің анықтамалығы, Дискретті математика және оның қолданылуы (2-ші басылым), CRC Press, б. 94, ISBN  9781439813058.
  15. ^ Чанг, Мо-Шан; Ко, Мин-Тат; Lu, Hsueh-I (2015), «Ағаш тамырлары проблемаларының сызықтық уақыт алгоритмдері», Алгоритмика, 71 (2): 471–495, дои:10.1007 / s00453-013-9815-ж.
  16. ^ Мотвани, Р .; Судан, М. (1994), «Графиктердің түбірлерін есептеу қиын», Дискретті қолданбалы математика, 54: 81–88, дои:10.1016 / 0166-218x (94) 00023-9.
  17. ^ Ле, Ван Банг; Нгуен, Нгок Туй (2010), «Қаттылық нәтижелері және графикалық қуаттылықтардың тиімді алгоритмдері», Информатикадағы графикалық-теоретикалық тұжырымдамалар: 35-ші халықаралық семинар, WG 2009, Монпелье, Франция, 2009 ж., 24-26 маусым, қайта қаралған құжаттар, Информатикадағы дәрістер, 5911, Берлин: Шпрингер, 238–249 б., дои:10.1007/978-3-642-11409-0_21, ISBN  978-3-642-11408-3, МЫРЗА  2587715.
  18. ^ Чен, Чжи-Чжун; Григни, Микеланджело; Пападимитриу, Христос Х. (2002), «Карта графиктері», ACM журналы, 49 (2): 127–138, arXiv:cs / 9910013, дои:10.1145/506147.506148, МЫРЗА  2147819.
  19. ^ Шпекторов, С. В. (1993), «Графиктерді гиперкубаларға масштабты енгізу туралы», Еуропалық Комбинаторика журналы, 14 (2): 117–130, дои:10.1006 / eujc.1993.1016, МЫРЗА  1206617.
  20. ^ Нишимура, Н .; Рагде, П .; Тиликос, Д.М. (2002 ж.), «Жапырақтармен белгіленген ағаштар үшін графикалық қуат туралы», Алгоритмдер журналы, 42: 69–108, дои:10.1006 / jagm.2001.1195.