Графикалық гомология - Википедия - Graph homology

Жылы алгебралық топология және графтар теориясы, графикалық гомология сипаттайды гомологиялық топтар а график, қайда график топологиялық кеңістік ретінде қарастырылады. Ол графиктегі «тесіктер» саны туралы идеяны рәсімдейді. Бұл а-ның ерекше жағдайы қарапайым гомология, график ретінде жеңілдетілген кешеннің ерекше жағдайы. Ақырлы график 1-комплекс болғандықтан (яғни, оның 'беткейлері' - шыңдар - олар 0 өлшемді, ал шеттері - 1 өлшемді), тек тривиальды емес гомологиялық топтар 0-ші топ болып табылады және 1-ші топ.[1]

1-ші гомологиялық топ

Топологиялық кеңістіктің 1 гомологиялық тобының жалпы формуласы X бұл:

Төменде келтірілген мысалда осы белгілер мен ұғымдар графикте толығымен түсіндіріледі.

Мысал

Келіңіздер X болуы а бағытталған граф 3 төбесі {x, y, z} және 4 шеті {a: x → y, b: y → z, c: z → x, d: z → x}. Оның бірнешеуі бар циклдар:

  • Бір цикл a + b + c циклімен ұсынылған. Мұндағы + белгісі барлық шеттердің бір бағытта жүретіндігін білдіреді. Қосу операциясы коммутативті болғандықтан, + белгісі а + b + c, c + b + a, c + a + b және т.с.с. циклдарының барлығы бірдей циклды бейнелейтіндігін білдіреді.
  • Екінші цикл a + b + d циклімен ұсынылған.
  • Үшінші цикл c-d циклімен ұсынылған. Мұндағы - таңбасы d шетінің артқа қарай жүретіндігін білдіреді.

Егер жазықтықты а + b + d циклінің бойымен қиып алсақ, сосын кесіп, d-ге «жабыстырсақ», а + b + c циклінің бойымен кесінді аламыз. Мұны келесі қатынас арқылы көрсетуге болады: (a + b + d) + (c-d) = (a + b + c). Бұл қатынасты ресми түрде анықтау үшін келесі коммутативті топтарды анықтаймыз:[2]:6:00

  • C0 болып табылады тегін абель тобы {x, y, z} шыңдарының жиынтығында. Әрбір элемент C0 а деп аталады 0 өлшемді тізбек.
  • C1 болып табылады тегін абель тобы {a, b, c, d} бағытталған жиектер жиынтығында. Әрбір элемент C1 а деп аталады 1-өлшемді тізбек. Жоғарыда аталған үш цикл - бұл 1-өлшемді тізбектер, және (a + b + d) + (c-d) = (a + b + c) қатынасы топта болады C1.

Элементтерінің көпшілігі C1 цикл емес, мысалы a + b, 2a + 5b-c және т.с.с. цикл емес. Циклды ресми түрде анықтау үшін алдымен анықтаймыз шекаралар. Жиектің шекарасы .мен белгіленеді оператор және оның көзін алып тастағандағы мақсат ретінде анықталған, сондықтан Сонымен - бастап картаға түсіру C1 дейін C0. A, b, c, d болғандықтан генераторлар C1, бұл табиғи түрде a-ға дейін созылады топтық гомоморфизм бастап C1 дейін C0. Бұл гомоморфизмде . Сол сияқты, кез-келген циклды картаға түсіреді C1 нөлдік элементіне дейін C0. Басқаша айтқанда, С-дағы циклдар жиынтығы1 дәл бос орын (ядро) туралы . Бұл жағдайда екі генераторы бар: біреуі a + b + c-ге, ал екіншісі a + b + d-ге сәйкес келеді (үшінші цикл, c-d, алғашқы екеуінің сызықтық комбинациясы). Кер изоморфты болып табылады З2.

Жалпы топологиялық кеңістікте біз жоғары өлшемді тізбектерді анықтаған болар едік. Соның ішінде, C2 екі өлшемді объектілер жиынтығындағы еркін абель тобы болады. Алайда, графикте мұндай объектілер жоқ, сондықтан C2 тривиальды топ. Сондықтан екінші шекара операторының бейнесі, , бұл да маңызды емес. Сондықтан:

Бұл графиктің екі «саңылауы» бар интуитивті фактімен сәйкес келеді. Көрсеткіш - бұл тесіктердің саны.

Жалпы жағдай

Жоғарыда келтірілген мысалды ерікті түрде жалпылауға болады қосылған график G = (V, E). Келіңіздер Т болуы а ағаш туралы G. Әр шеті E \ Т циклге сәйкес келеді; бұл дәл сызықтық тәуелсіз циклдар. Сондықтан бірінші гомологиялық топ H1 а график болып табылады тегін абель тобы бірге |E \ Т| генераторлар. Бұл сан | теңE|-|V| +1; сондықтан:[1]

.

Ажыратылған графикте, қашан C - қосылған компоненттер жиынтығы, ұқсас есептеу мынаны көрсетеді:

.

Атап айтқанда, бірінші топ - тривиальды iff X Бұл орман.

0-ші гомологиялық топ

Топологиялық кеңістіктің 0-ші гомологиялық тобының жалпы формуласы X бұл:

Мысал

Еске салайық, топ C0 шыңдар жиыны арқылы жасалады. -1-өлшемді элементтер жоқ болғандықтан, топ C−1 тривиальды, сондықтан барлық топ C0 сәйкес шекара операторының ядросы: = {x, y, z} құрған еркін абель тобы.[3]

Бейнесі жиектің шекаралары болып табылатын әрбір шыңға арналған элементтен тұрады, яғни {y-x, z-y, x-z} арқылы жасалады. Квитенттік топты есептеу үшін, -ның барлық элементтерін ойластырған ыңғайлы «нөлге тең» ретінде. Бұл x, y және z эквивалентті дегенді білдіреді - олар квитенттің бірдей эквиваленттік класында. Басқа сөздермен айтқанда, бір элемент арқылы жасалады (кез-келген шың оны жасай алады). Сонымен, бұл изоморфты З.

Жалпы жағдай

Жоғарыда келтірілген мысалды кез-келгенге жалпылауға болады қосылған график. Кез-келген шыңнан бастап оған кез-келген шыңға сәйкес келетін бір немесе бірнеше өрнектер қосу арқылы кез-келген басқа шыңға жетуге болады (мысалы, х-тен бастап y-x және z-y қосу арқылы z-ге жетуге болады). Элементтері болғандықтан барлығы нөлге тең, бұл графиктің барлық төбелері бір эквиваленттілік класында және сол жерде дегенді білдіреді изоморфты болып табылады З.

Жалпы, графикте бірнеше болуы мүмкін қосылған компоненттер. С компоненттер жиынтығы болсын. Сонымен, әрбір қосылған компонент - бұл эквиваленттік класс, бұл квоенттік топта. Сондықтан:

.

Оны кез-келген | құра аладыC| -шыңдар шыңы, әр компоненттен бір.

Гомология төмендеді

Көбінесе, қосылған графиктің 0-ші гомологиясы тривиальды деп санауға ыңғайлы (егер графикада бір нүкте болса, онда оның барлық гомологиялары тривиальды болады). Бұл анықтамаға әкеледі төмендетілген гомология. График үшін төмендетілген 0-ші гомология:

.

Бұл «төмендету» тек 0-ші гомологияға әсер етеді; жоғары өлшемдердің кішірейтілген гомологиялары стандартты гомологияларға тең.

Жоғары өлшемді гомология

Графта тек шыңдар (0-өлшемді элементтер) және шеттер (1-өлшемді элементтер) болады. Графикті жалпылауға болады абстрактілі қарапайым жоғары өлшем элементтерін қосу арқылы. Содан кейін, графикалық гомология ұғымы қарапайым гомология.

Мысал

Жоғарыда келтірілген мысал графигінде c және d шеттері арасында қоршалған екі өлшемді «ұяшық» қосуға болады; оны А деп атайық және оны сағат тілімен бағытталған деп есептейік. Анықтаңыз C2 ретінде тегін абель тобы бұл жағдайда синглтон {A} болатын екі өлшемді ұяшықтар жиынтығымен жасалады. Әрбір элемент C2 а деп аталады 2-өлшемді тізбек.

Шекара операторы сияқты C1 дейін C0, біз оны белгілейміз , бастап шекара операторы бар C2 дейін C1, біз оны белгілейміз . Атап айтқанда, 2-өлшемді А ұяшығының шекарасы 1-өлшемді с және d шеттері болып табылады, мұндағы с «дұрыс» бағдарда, ал d «кері» бағытта болады; сондықтан: . Тізбектер мен шекаралық операторлар тізбегін келесі түрде ұсынуға болады:[4]

2-өлшемді А ұяшығының қосылуы оның шекарасы c-d бұдан былай тесікті білдірмейтіндігін білдіреді (ол бір нүктеге гомотопты). Сондықтан «тесіктер» тобында қазір бір генератор бар, атап айтқанда a + b + c (ол a + b + d-ге гомотоптық болып табылады). Бірінші гомологиялық топ қазір анықталды квоталық топ:

Мұнда, - изоморфты болатын 1 өлшемді циклдар тобы З2, және изоморфты болатын 2 өлшемді ұяшықтардың шекаралары болып табылатын 1 өлшемді циклдар тобы З. Демек, олардың мөлшері H1 изоморфты болып табылады З. Бұл шындыққа сәйкес келеді X енді жалғыз тесік бар. Бұрын. бейнесі болды тривиальды топ, демек, квант тең болды . Енді с және d шеттері арасына тағы бір бағытталған 2-өлшемді В ұяшығын қосамыз делік . Қазір C2 болып табылады тегін абель тобы {A, B} жасаған. Бұл өзгермейді H1 - бұл әлі изоморфты З (Х-да әлі 1 өлшемді жалғыз тесік бар). Бірақ қазір C2 екі өлшемді А-В циклын қамтиды, сондықтан маңызды емес ядросы бар. Бұл цикл екі өлшемді саңылаудың болуына сәйкес екінші гомологиялық топты тудырады:

Біз жалғастыра аламыз және 3 ұяшықты - А және В шектелген қатты 3 өлшемді объектіні (С деп атаймыз) қосамыз. C3 {C} құрған еркін абель тобы және шекаралық оператор ретінде . Біз С-ны осылай бағдарлай аламыз ; С шекарасы цикл екенін ескеріңіз C2. Енді екінші гомологиялық топ:

екі өлшемді тесіктердің болмауына сәйкес келеді (С «тесікті А» мен В аралығында толтырады).

Жалпы жағдай

Жалпы кез-келген өлшемдегі тізбектерді анықтауға болады. Егер тізбектің максималды өлшемі болса к, содан кейін біз келесі топтар тізбегін аламыз:

-Ның кез-келген шекарасы болатындығын дәлелдеуге болады (к+1) -өлшемді ұяшық - а к-өлшемдік цикл. Басқаша айтқанда, кез келген үшін к, (шекараларының тобы к+1 элементтер) құрамында болады (тобы к-өлшемдік циклдар). Сондықтан, квотент жақсы анықталған, және ол ретінде анықталған к- гомологиялық топ:

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б Сунада, Тошиказу (2013), Сунада, Тошиказу (ред.), «Графиктердің гомологиялық топтары», Топологиялық кристаллография: дискретті геометриялық анализге деген көзқараспен, Қолданбалы математика ғылымдары бойынша сауалнамалар мен оқулықтар, Токио: Springer Japan, 37-51 б., дои:10.1007/978-4-431-54177-6_4, ISBN  978-4-431-54177-6
  2. ^ Уилдбергер, Норман Дж. (2012). «Гомологияға кіріспе».
  3. ^ Уилдбергер, Норман Дж. (2012). «Гомологиялық топтарды есептеу».
  4. ^ Уилдбергер, Норман Дж. (2012). «Гомологияға кіріспе (жалғасы)».