Геодезиялық карта - Geodesic map
Жылы математика - нақты, in дифференциалды геометрия —А геодезиялық карта (немесе геодезиялық картаға түсіру немесе геодезиялық диффеоморфизм) Бұл функциясы бұл «сақтайды геодезия «. Дәлірек айтқанда, екі (жалған -)Риман коллекторлары (М, ж) және (N, сағ), функция φ : М → N егер геодезиялық карта дейді
- φ Бұл диффеоморфизм туралы М үстінде N; және
- астында сурет φ кез келген геодезиялық доғаның М геодезиялық доға болып табылады N; және
- астындағы сурет кері функция φ−1 кез келген геодезиялық доғаның N геодезиялық доға болып табылады М.
Мысалдар
- Егер (М, ж) және (N, сағ) екеуі де n-өлшемді Евклид кеңістігі En әдеттегі пәтерімен метрикалық, содан кейін кез-келген евклид изометрия геодезиялық картасы болып табылады En өзіне.
- Сол сияқты, егер (М, ж) және (N, сағ) екеуі де n- өлшем бірлігі сфера Sn әдеттегі дөңгелек метрикасымен, сфераның кез-келген изометриясы геодезиялық карта болып табылады Sn өзіне.
- Егер (М, ж) бірлік сфера болып табылады Sn әдеттегі дөңгелек метрикалық және (N, сағ) сфера болып табылады радиусы 2 әдеттегі дөңгелек метрикамен, екеуі де қоршаған ортаның координаталық кеңістігінің ішкі жиынтығы ретінде қарастырылады Rn+1, содан кейін «кеңейту» картасы φ : Rn+1 → Rn+1 берілген φ(х) = 2х геодезиялық картасын шығарады М үстінде N.
- Евклид кеңістігінен геодезиялық карта жоқ En бірлік сферасына Sn, өйткені олар жоқ гомеоморфты, диффеоморфты емес.
- The гномоникалық проекция жарты шардың жазықтыққа геодезиялық картасы, өйткені ол үлкен дөңгелектерді түзулерге, ал олардың кері сызықтары үлкен шеңберлерге жеткізеді.
- Келіңіздер (Д., ж) болуы диск дискі Д. ⊂ R2 Евклид метрикасымен жабдықталған және (Д., сағ) жабдықталған бірдей диск болуы керек гиперболалық метрикалық Пуанкаре дискісінің моделі гиперболалық геометрия. Содан кейін, екі құрылымдар арқылы диффеоморфты болса да жеке куәлік мен : Д. → Д., мен болып табылады емес бастап геодезиялық карта ж-геодезия әрқашан түзу сызықтар болып табылады R2, ал сағ-геодезия қисық болуы мүмкін.
- Екінші жағынан, гиперболалық метрика қосылған кезде Д. арқылы беріледі Клейн моделі, сәйкестік мен : Д. → Д. болып табылады геодезиялық карта, өйткені Клейн моделіндегі гиперболалық геодезия (евклидтік) түзу кесінділер болып табылады.
Әдебиеттер тізімі
- Амбарцумиан, Р.В. (1982). Комбинаторлық интегралды геометрия. Вилидің ықтималдықтар және математикалық статистика бойынша сериялары: ықтималдық және статистика туралы трактаттар. Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. xvii + 221 бет. ISBN 0-471-27977-3. МЫРЗА 0679133.
- Крейциг, Эрвин (1991). Дифференциалды геометрия. Нью-Йорк: Dover Publications Inc. xiv + 352 бет. ISBN 0-486-66721-9. МЫРЗА 1118149.