Штаммсыз жалпыланған формула - Generalized-strain mesh-free formulation

The штаммсыз жалпыланған (GSMF) тұжырымдау өрісіндегі жергілікті мешфри әдісі болып табылады сандық талдау, салмақты-қалдықты әлсіз формадағы коллокация ретінде жұмыс жасайтын толық интеграция. Бұл әдісті алғаш рет Оливейра мен Портела ұсынды (2016),^[1] есептеу тиімділігін одан әрі жақсарту мақсатында торлы әдістер сандық талдауда. Жергілікті meshfree әдістері салмақты қалдық формуласы арқылы алынады, бұл белгілі әлсіз формаға әкеледі жұмыс теоремасы құрылымдар теориясының. Ерікті жергілікті аймақта жұмыс теоремасы статикалық-рұқсат етілген кернеулер өрісі мен тәуелсіз кинематикалық-жол берілетін штамм өрісі арасындағы энергетикалық байланысты орнатады. Осы екі өрістің тәуелсіздігіне сүйене отырып, бұл тұжырымдама тек теореманың жергілікті формасына әкеледі, ол тек тұрақты шекараға дейін азаяды, интеграциясыз және еркін көлемді құлыптау.

Артықшылықтары аяқталды ақырғы элементтер әдістері GSMF торға сүйенбейтіндігі және екі өлшемді есептерді шешу кезінде дәлірек және жылдам болатындығы. Сияқты басқа торсыз әдістермен салыстырғанда дененің қатты жылжуы торсыз (RBDMF) тұжырымдамасы элементсіз Галеркин (EFG)^[2] және торсыз жергілікті Петров-Галеркин ақырғы көлем әдісі (MLPG FVM);^[3] GSMF тек есептеу тиімділігі жағынан ғана емес, дәлдігі жағынан да жоғары екенін дәлелдеді.^[4]

The ең кіші квадраттар (MLS) серпімді өрістің жуықтауы осы торсыз формулада қолданылады.

Қалыптастыру

Жұмыс теоремасының жергілікті түрінде теңдеу:

{ displaystyle int _ { Gamma _ {Q}} mathbf {t} ^ {T} mathbf {u} ^ {*} d Gamma + int _ { Omega _ {Q}} mathbf { b} ^ {T} mathbf {u} ^ {*} d Omega = int _ { Omega _ {Q}} { boldsymbol { sigma}} ^ {T} { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*} d Омега.}

Ауыстыру өрісі ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , кинематикалық-рұқсат етілген штамм өрісі болып табылатын жүйелі интегралданатын функцияға әкелетін үздіксіз функция ретінде қабылданды ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*}}$ . Алайда, бұл үздіксіздік туралы болжам ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , жұмыс теоремасының жергілікті түрінде орындалған, өте қажет емес, бірақ ыңғайлылықпен босатылған болуы мүмкін ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*}}$ жалпылама функция ретінде пайдалы болуы мүмкін, бөлу теориясы мағынасында Гельфанд пен Шиловты қараңыз.^[5] Демек, бұл тұжырым ауыстыру өрісі деп санайды ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , бұл Heaviside қадам функциясы тұрғысынан анықталған үзіліссіз функция, демек сәйкес штамм өрісі ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*}}$ , терминінде анықталған жалпыланған функция Dirac delta функциясы.

Қарапайымдылық үшін Heaviside және Dirac delta функцияларымен екі өлшемді координаталық кеңістіктегі скаляр функциясын қарастырыңыз. ${ displaystyle d}$ , анықталған:

{ displaystyle d = lVert mathbf {x} - mathbf {x} _ {Q} rVert}

өріс нүктесі арасындағы қашықтықтың абсолюттік-мәндік функциясын білдіреді ${ displaystyle mathbf {x}}$ және белгілі бір сілтеме ${ displaystyle mathbf {x} _ {Q}}$ , жергілікті доменде ${ displaystyle Omega _ {Q} cup Gamma _ {Q}}$ өріс түйініне тағайындалған ${ displaystyle Q}$ . Сондықтан бұл анықтама әрқашан болжайды ${ displaystyle d = d ( mathbf {x}, mathbf {x} _ {Q}) geq 0}$ , оң немесе нөлдік мән ретінде, бұл жағдайда әрқашан ${ displaystyle mathbf {x}}$ және ${ displaystyle mathbf {x} _ {Q}}$ кездейсоқ нүктелер.

Скалярлық координат үшін ${ displaystyle d supset d ( mathbf {x}, mathbf {x} _ {Q})}$ , Ауыр қадам функциясы ретінде анықтауға болады

{ displaystyle H (d) = 1 , , , , , , if , , , , , d leq 0 , , , , , , (d = 0 , , , for , , , mathbf {x} equiv mathbf {x} _ {Q})}

{ displaystyle H (d) = 0 , , , , , , if , , , , , d> 0 , , , , , , ( mathbf {x} neq mathbf {x} _ {Q})}

онда үзіліс қарастырылады ${ displaystyle mathbf {x} _ {Q}}$ және, демек, Dirac delta функциясы келесі қасиеттермен анықталады

{ displaystyle delta (d) = H '(d) = infty , , , , , , егер , , , , , d = 0 , , , , is , , , mathbf {x} equiv mathbf {x} _ {Q}}

{ displaystyle delta (d) = H '(d) = 0 , , , , , , if , , , , , d neq 0 , , , ( d> 0 , , , for , , , mathbf {x} neq mathbf {x} _ {Q})}

және

{ displaystyle int limits _ {- infty} ^ {+ infty} delta (d) , dd = 1}

онда ${ displaystyle H '(d)}$ білдіреді үлестірмелі туынды туралы ${ displaystyle H (d)}$ . Туындысы екенін ескеріңіз ${ displaystyle H (d)}$ , координатаға қатысты ${ displaystyle x_ {i}}$ , деп анықтауға болады

{ displaystyle H (d) _ {, i} = H '(d) , , d _ {, i} = delta (d) , , d _ {, i} = delta (d) , , n_ {i}}

Бұл теңдеудің нәтижесіне константаның белгілі бір мәні әсер етпейтіндіктен ${ displaystyle n_ {i}}$ , бұл тұрақтылық кейінірек ыңғайлы түрде қайта анықталады.

Мұны қарастырайық ${ displaystyle d_ {l}}$ , ${ displaystyle d_ {j}}$ және ${ displaystyle d_ {k}}$ қашықтық функциясын білдіреді ${ displaystyle d}$ , сәйкес коллокация нүктелері үшін ${ displaystyle mathbf {x} _ {l}}$ , ${ displaystyle mathbf {x} _ {j}}$ және ${ displaystyle mathbf {x} _ {k}}$ . Ауыстыру өрісі ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x})}$ , ретінде анықтауға болады

{ displaystyle mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x}) = { Bigg [} { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} , sum _ {l = 1 } ^ {n_ {i}} H (d_ {l}) + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} , sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} H (d_ {j}) + { frac {S} {n _ { Omega}}} , sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} H (d_ {k}) { Bigg] } mathbf {e}}

онда ${ displaystyle mathbf {e} = [1 , , , , 1] ^ {T}}$ ортогональды бағыттардың метрикасын және ${ displaystyle n_ {i}}$ , ${ displaystyle n_ {t}}$ және ${ displaystyle n _ { Omega}}$ жергілікті ішкі шекарада сәйкесінше коллокация нүктелерінің санын білдіреді ${ displaystyle Gamma _ {Qi} = Gamma _ {Q} - Gamma _ {Qt} - Gamma _ {Qu}}$ ұзындығымен ${ displaystyle L_ {i}}$ , жергілікті статикалық шекарада ${ displaystyle Gamma _ {Qt}}$ ұзындығымен ${ displaystyle L_ {t}}$ және жергілікті доменде ${ displaystyle Omega _ {Q}}$ ауданмен ${ displaystyle S}$ . Бұл орын ауыстыру өрісі ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x})}$ , коллокация нүктелерінде анықталған дискретті қатты дененің орын ауыстыруы. Штамм өрісі ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*} ( mathbf {x})}$ , арқылы беріледі

{ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*} ( mathbf {x}) = mathbf {L} , mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x}) = { Bigg [} { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} , sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} mathbf {L} , H (d_ {l}) + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} , sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} mathbf {L} , H (d_ {j}) + { frac {S} {n _ { Omega}}} , sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} mathbf {L} , H (d_ {k}) { Bigg]} mathbf {e} = { Bigg [} { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} , sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , delta (d_ { l}) , mathbf {n} ^ {T} , + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} , sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , delta (d_ {j}) , mathbf {n} ^ {T} , + { frac {S} {n _ { Omega}}} , sum _ {k = 1} ^ { n _ { Omega}} , delta (d_ {k}) , mathbf {n} ^ {T} { Bigg]} mathbf {e}}

Кинематикалық-рұқсат етілген өрістің орын ауыстыруы мен деформация компоненттерін анықтағаннан кейін, жергілікті жұмыс теоремасы келесідей жазылуы мүмкін:

{ displaystyle { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , int limitler _ { Gamma _ {Q} - Гамма _ {Qt}} ! ! ! ! ! ! Mathbf {t} ^ {T} H (d_ {l}) mathbf {e} , d Gamma + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , int limits _ { Gamma _ {Qt}} ! { overline { mathbf { t}}} ^ {T} H (d_ {j}) mathbf {e} , d Gamma + { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ { n _ { Omega}} , int limit _ { Omega _ {Q}} mathbf {b} ^ {T} H (d_ {k}) mathbf {e} , d Omega = { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} , int limits _ { Omega _ {Q}} { boldsymbol { sigma} } ^ {T} delta (d_ {k}) , mathbf {n} ^ {T} mathbf {e} , d Omega.}

Қасиеттерін ескере отырып Ауыр қадам функциясы және Dirac delta функциясы, бұл теңдеу жай әкеледі

{ displaystyle { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , mathbf {t} _ { mathbf {x} _ { l}} = - , { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , { overline { mathbf {t}} } _ { mathbf {x} _ {j}} - , { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} , mathbf {b} _ { mathbf {x} _ {k}}}

Бұл теңдеулерді дискреттеуді жергілікті домен үшін MLS жуықтауымен жүргізуге болады ${ displaystyle Omega _ {Q}}$ , түйін белгісіздігі тұрғысынан ${ displaystyle { hat { mathbf {u}}}}$ , осылайша жазуға болатын сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесіне әкеледі

{ displaystyle { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , mathbf {n} _ { mathbf {x} _ { l}} mathbf {D} mathbf {B} _ { mathbf {x} _ {l}} { hat { mathbf {u}}} = - , { frac {L_ {t}} { n_ {t}}} sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , { сызықша { mathbf {t}}} _ { mathbf {x} _ {j}} - , { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} , mathbf {b} _ { mathbf {x} _ {k}}}

немесе жай

{ displaystyle mathbf {K} _ {Q} , { hat { mathbf {u}}} = mathbf {F} _ {Q}}

Бұл тұжырым коллокация нүктелерінде анықталған тартылыс күштері мен дене күштерінің тепе-теңдігін айтады, анық, бұл Эйлер-Коши стресс принципі. Бұл. Теңдеуі Жалпы-штаммсыз торлы (GSMF) формуласы бұл интеграциядан ада. Бастап жұмыс теоремасы бұл салмақты-қалдық әлсіз форма, бұл интеграциясыз формуланың салмақты-қалдықты әлсіз формадағы коллокациядан басқа ешнәрсе емес екенін оңай байқауға болады. Салмақтық-қалдықты әлсіз формадағы коллокация салмақты-қалдықты күшті формалы коллокациямен туындаған белгілі қиындықтарды оңай жеңеді,^[6] шешімнің дәлдігі мен тұрақтылығына қатысты.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

^ Оливейра, Т. және А. Портела (2016). «Әлсіз формадағы коллокация - сызықтық серпімділіктегі жергілікті торсыз әдіс». Шекара элементтерімен инженерлік талдау.
^ Белычко, Т., Ю.Ю.Лу және Л.Гу (1994). «Элементсіз галеркин әдістері». Инженериядағы сандық әдістерге арналған халықаралық журнал. 37.2, 229–256 бб.
^ Атлури, С.Н., З.Д. Хан және А.М. Раджендран (2004). «MLPG аралас тәсілі арқылы сеткасыз ақырғы көлемді әдісті жаңа енгізу». CMES: Техника және ғылымдардағы компьютерлік модельдеу. 6, 491-513 бб.
^ Оливейра, Т. және А. Портела (2016). «Әлсіз формалы коллокациялық торсыз формуланы және басқа торсыз әдістерді салыстырмалы түрде зерттеу». Инжинирингтегі есептеу әдістері бойынша ХХVII Пириндік Латын-Американдық конгресс материалдары. ABMEC, Бразилия
^ Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е. (1964). Жалпы функциялар. I том, Academic Press, Нью-Йорк.
^ Канса, Э.Дж., (1990) «Мультикадрика: есептеу сұйықтығының динамикасына қосымшалары бар мәліметтерді шашыратудың схемасы», Қолданбалы компьютерлер және математика, 19(8-9), 127--145.

[1] Оливейра, Т. және А. Портела (2016). «Әлсіз формадағы коллокация - сызықтық серпімділіктегі жергілікті торсыз әдіс». Шекара элементтерімен инженерлік талдау.

[2] Белычко, Т., Ю.Ю.Лу және Л.Гу (1994). «Элементсіз галеркин әдістері». Инженериядағы сандық әдістерге арналған халықаралық журнал. 37.2, 229–256 бб.

[3] Атлури, С.Н., З.Д. Хан және А.М. Раджендран (2004). «MLPG аралас тәсілі арқылы сеткасыз ақырғы көлемді әдісті жаңа енгізу». CMES: Техника және ғылымдардағы компьютерлік модельдеу. 6, 491-513 бб.

[4] Оливейра, Т. және А. Портела (2016). «Әлсіз формалы коллокациялық торсыз формуланы және басқа торсыз әдістерді салыстырмалы түрде зерттеу». Инжинирингтегі есептеу әдістері бойынша ХХVII Пириндік Латын-Американдық конгресс материалдары. ABMEC, Бразилия

[5] Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е. (1964). Жалпы функциялар. I том, Academic Press, Нью-Йорк.

[6] Канса, Э.Дж., (1990) «Мультикадрика: есептеу сұйықтығының динамикасына қосымшалары бар мәліметтерді шашыратудың схемасы», Қолданбалы компьютерлер және математика, 19(8-9), 127--145.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]