G-сақина - G-ring

Жылы ауыстырмалы алгебра, а G-сақина немесе Гротенди сақинасы Бұл Ноетриялық сақина оның кез-келгенінің картасы жергілікті сақиналар дейін аяқтау тұрақты (төменде анықталған). Табиғи түрде пайда болатын нотериялық сақиналардың барлығы дерлік алгебралық геометрия немесе сандар теориясы G сақиналары, және G сақиналары емес ноетрия сақиналарының мысалдарын құру өте қиын. Тұжырымдама атымен аталады Александр Гротендик.

G сақинасы да, а J-2 сақинасы а деп аталады квази-тамаша сақина және егер ол қосымша болса жалпыға ортақ ол ан деп аталады тамаша сақина.

Анықтамалар

  • A (ноетриялық) сақина R өрісті қамтиды к аталады геометриялық тұрақты аяқталды к егер қандай-да бір шектеулі кеңейту үшін Қ туралы к сақина R ⊗к Қ Бұл тұрақты сақина.
  • Бастап сақиналардың гомоморфизмі R дейін S аталады тұрақты егер ол тегіс болса және әрқайсысы үшін болса б ∈ Spec (R) талшық S ⊗R к(б) қалдық өрісі бойынша геометриялық тұрақты к(б) ofб. (тағы қараңыз) Попеску теоремасы.)
  • Сақинаны жергілікті G сақинасы деп атайды, егер ол ноетриялық жергілікті сақина болса және оның аяқталу картасы (максималды идеалына қатысты) тұрақты болса.
  • Сақинаны G-сақина деп атайды, егер ол ноетриялық болса және оның барлық идеалдардағы локализациялары жергілікті G сақиналары болса. (Мұны максималды идеалдар үшін тексеру жеткілікті, сондықтан жергілікті G сақиналары G сақиналары болып табылады).

Мысалдар

  • Әрқайсысы өріс бұл G-сақина
  • Кез келген жергілікті ноетрия сақинасы G-сақинасы болып табылады
  • Айнымалылардың ақырлы санындағы конвергенттік қуат қатарларының кез келген сақинасы R немесе C бұл G-сақина.
  • 0 сипаттамасындағы әр Dedekind домені, атап айтқанда бүтін сандар сақинасы G сақинасы болып табылады, бірақ оң сипаттамасында G сақиналары болып табылмайтын Dedekind домендері (және тіпті дискретті бағалау сақиналары) бар.
  • G сақинасының кез-келген локализациясы G сақинасы болып табылады
  • G сақинасы бойынша кез-келген алгебра G сақинасы болып табылады. Бұл Гротендикке байланысты теорема.

Мұнда дискретті бағалау сақинасының мысалы келтірілген A сипаттамалық б> Бұл G-сақина емес. Егер к сипаттаманың кез-келген өрісі болып табылады б бірге [к:кб] = ∞ және R=к[[х]] және A series дәрежесінің қосындысы болып табыладыаменхмен осылай [кб(а0,а1,...):кб ] формуласы ақырлы, содан кейін A жалпы нүкте геометриялық тұрғыдан тұрақты емес A G-сақина емес. Мұнда кб бейнесін білдіреді к астында Фробениус морфизмі ааб.

Әдебиеттер тізімі

  • А. Гротендик, Дж. Диюдонне, Eléments de géométrie algébrique IV Publ. Математика. IHES 24 (1965), 7 бөлім
  • Х.Мацумура, Коммутативті алгебра ISBN  0-8053-7026-9, 13 тарау.