Функционалды ренормализация тобы - Википедия - Functional renormalization group

Жылы теориялық физика, функционалды ренормализация тобы (ФРГ) жүзеге асыру болып табылады ренормализация тобы (RG) тұжырымдамасы, өрістің кванттық және статистикалық теориясында, әсіресе өзара әрекеттесетін жүйелермен жұмыс істеу кезінде қолданылады. Әдіс функционалды әдістерді біріктіреді өрістің кванттық теориясы интуитивті ренормализация тобының идеясымен Кеннет Г. Уилсон. Бұл әдіс белгілі микроскопиялық заңдар мен физикалық жүйелердегі күрделі макроскопиялық құбылыстардың арасындағы интерполяцияны мүмкіндік береді. Бұл мағынада ол микрофизиканың қарапайымдылығынан макрофизиканың күрделілігіне өтуге көпір жасайды. Бейнелеп айтсақ, ФРГ өзгермелі ажыратымдылығы бар микроскоп рөлін атқарады. Біреуі белгілі микрофизикалық заңдардың жоғары ажыратымдылықты суретінен басталады және кейіннен макроскопиялық ұжымдық құбылыстардың өрескел суретін алу үшін ажыратымдылығын төмендетеді. Әдіс мазасыз емес, яғни аз мөлшерде кеңеюге сенбейді байланыстырушы тұрақты. Математикалық тұрғыдан FRG масштабқа тәуелді нақты функционалды дифференциалдық теңдеуге негізделген тиімді әрекет.

Тиімді әрекеттің ағын теңдеуі

Жылы өрістің кванттық теориясы, тиімді әрекет ${ displaystyle Gamma}$ аналогы болып табылады классикалық әрекет функционалды ${ displaystyle S}$ және берілген теорияның өрістеріне байланысты. Оған барлық кванттық және термиялық ауытқулар кіреді. Вариациясы ${ displaystyle Gamma}$ мысалы, дәл кванттық өріс теңдеулерін шығарады космология немесе электродинамика асқын өткізгіштер. Математикалық, ${ displaystyle Gamma}$ қысқартылмайтын бір бөлшектің генерациялық функциясы Фейнман диаграммалары. Қызықты физиканы таратушылар және өзара әрекеттесу үшін тиімді муфталар ретінде тікелей одан алуға болады. Жалпы өріс теориясында тиімді әрекет ${ displaystyle Gamma}$ дегенмен, оны алу қиын. ФРГ есептеудің практикалық құралын ұсынады ${ displaystyle Gamma}$ жұмыспен қамту ренормализация тобы тұжырымдама.

FRG-дегі орталық объект масштабқа тәуелді тиімді іс-әрекет болып табылады ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ көбінесе орташа әрекет немесе ағынды әрекет деп аталады. RG сырғанау шкаласына тәуелділік ${ displaystyle k}$ қосу арқылы енгізіледі реттеуші (инфрақызыл кесу) ${ displaystyle R_ {k}}$ толық кері таратқышқа ${ displaystyle Gamma _ {k} ^ {(2)}}$ . Шамамен, реттеуші ${ displaystyle R_ {k}}$ баяу режимдерді импульспен ажыратады ${ displaystyle q lesssim k}$ оларға үлкен масса бере отырып, жоғары импульс режимдері әсер етпейді. Осылайша, ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ импульстармен барлық кванттық және статистикалық ауытқуларды қамтиды ${ displaystyle q gtrsim k}$ . Ағымдағы әрекет ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ нақты функционалды ағын теңдеуіне бағынады

${ displaystyle k , ішіндегі _ {k} Гамма _ {к} = { frac {1} {2}} { мәтін {STr}} , k , ішінара _ {k} R_ {k } , ( Гамма _ {k} ^ {(1,1)} + R_ {k}) ^ {- 1},}$

алынған Христоф Веттерих және Моррис 1993 жылы. Мұнда ${ displaystyle kısalt _ {k}}$ RG шкаласына қатысты туынды білдіреді ${ displaystyle k}$ өрістердің белгіленген мәндерінде. Сонымен қатар, ${ displaystyle Gamma _ {k} ^ {(1,1)}}$ функционалды туындысын білдіреді ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ теңдеудің тензорлық құрылымына байланысты сол жақтан және оң жақтан сәйкесінше. Бұл функция көбінесе тиімді әрекеттің екінші туындысымен жеңілдетілген түрде көрсетіледі ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ бастапқы шартпен толықтырылуы керек ${ displaystyle Gamma _ {k to Lambda} = S}$ , мұнда «классикалық әрекет» ${ displaystyle S}$ микроскопиялық ультрафиолет шкаласында физиканы сипаттайды ${ displaystyle k = Lambda}$ . Маңыздысы, инфрақызыл шек ${ displaystyle k бастап 0}$ толық тиімді әрекет ${ displaystyle Gamma = Gamma _ {k - 0}}$ алынды. Ішінде Веттерих теңдеуі ${ displaystyle { text {STr}}}$ импульстарды, жиіліктерді, ішкі индекстерді және өрістерді қосатын супертрейсті білдіреді (плюспен босондар мен минус таңбамен фермиондар алу). Үшін нақты ағын теңдеуі ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ бір циклды құрылымға ие. Бұл маңызды жеңілдету мазасыздық теориясы, мұнда көп циклді диаграммаларды қосу керек. Екінші функционалды туынды ${ displaystyle Gamma _ {k} ^ {(2)} = Gamma _ {k} ^ {(1,1)}}$ - бұл реттегіштің қатысуымен өзгертілген толық кері өрісті таратушы ${ displaystyle R_ {k}}$ .

Ренормализация топ эволюциясы ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ барлық мүмкін жүретін муфталардың көп өлшемді кеңістігі болып табылатын теория кеңістігінде суреттелуі мүмкін ${ displaystyle {c_ {n} }}$ мәселенің симметриялары арқылы рұқсат етіледі. Суретте схемалық түрде көрсетілгендей, микроскопиялық ультрафиолет шкаласында ${ displaystyle k = Lambda}$ бірі бастапқы шарттан басталады ${ displaystyle Gamma _ {k = Lambda} = S}$ .

Симметрияға жол берілген барлық мүмкін муфталардың теория кеңістігінде ренормализация топтық ағыны.

Жылжымалы масштаб ретінде ${ displaystyle k}$ төмендейді, ағымды әрекет ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ ағынның функционалдық теңдеуіне сәйкес теория кеңістігінде дамиды. Реттеушіні таңдау ${ displaystyle R_ {k}}$ схемасына тәуелділікті енгізетін бірегей емес ренормализация тобы ағын. Осы себепті реттеушінің әртүрлі таңдаулары ${ displaystyle R_ {k}}$ суреттегі әр түрлі жолдарға сәйкес келеді. Инфрақызыл масштабта ${ displaystyle k = 0}$ дегенмен, толықтай тиімді әрекет ${ displaystyle Gamma _ {k = 0} = Gamma}$ шекті мәннің кез келген таңдауы үшін қалпына келтіріледі ${ displaystyle R_ {k}}$ , және барлық траекториялар теория кеңістігінің бір нүктесінде түйіседі.

Көп жағдайда Веттерих теңдеуін тек шамамен шешуге болады. Әдетте кеңейтудің кейбір түрлері ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ орындалады, содан кейін қарапайым дифференциалдық теңдеулердің ақырлы жүйесіне әкелетін ақырлы ретпен кесіледі. Әр түрлі жүйелік кеңейту схемалары (мысалы, туынды кеңейту, шыңды кеңейту және т.б.) жасалды. Сәйкес схеманы таңдау физикалық уәждеме болуы керек және берілген мәселеге байланысты. Кеңейту үшін міндетті түрде кішігірім параметр болмайды (өзара әрекеттесу сияқты) байланыстырушы тұрақты ) және, осылайша, олар, әдетте, еріксіз сипатта болады.

Функционалды ренормализация аспектілері

Веттерих ағынының теңдеуі дәл теңдеу болып табылады. Алайда, іс жүзінде функционалды дифференциалдық теңдеуді қысқарту керек, яғни оны бірнеше айнымалылардың функциясына немесе тіпті кейбір өлшемді ішкі теорияның кеңістігіне проекциялау керек. Әрбір тұрақсыз әдіс сияқты, қателіктерді бағалау мәселесі функционалды ренормализация кезінде нривитиалды емес. ФРГ-дегі қателікті бағалаудың бір әдісі - қысқартуды дәйекті қадамдармен жақсарту, яғни көбірек ілінісу муфталарын қосу арқылы кіші теория кеңістігін кеңейту. Әр түрлі қысқартулар үшін ағындардың айырмашылығы қатені жақсы бағалайды. Сонымен қатар, әр түрлі реттеуші функцияларын пайдалануға болады ${ displaystyle R_ {k}}$ берілген (бекітілген) қысқартуда және реттегіштің таңдауы үшін инфрақызылдағы RG ағындарының айырмашылығын анықтаңыз. Егер бозонизация қолданылса, әр түрлі бозонизация процедураларына қатысты соңғы нәтижелердің сезімтал еместігін тексеруге болады.
ФРГ-де, барлық RG әдістеріндегідей, RG ағындарының топологиясынан физикалық жүйе туралы көп түсінік алуға болады. Нақтырақ айтқанда бекітілген нүктелер Ренормализация тобының эволюциясы үлкен маңызға ие. Бекітілген нүктелердің жанында жүретін муфталардың ағымы тиімді түрде тоқтайды және RG ${ displaystyle beta}$ -функциялар нөлге жақындайды. (Ішінара) тұрақты инфрақызыл тіркелген нүктелердің болуы тұжырымдамасымен тығыз байланысты әмбебаптық. Әмбебаптық кейбір ерекше физикалық жүйелердің бірдей сыни мінез-құлыққа ие екендігін байқаудан көрінеді. Мысалы, дәлдікпен, сыни көрсеткіштер Судағы сұйық-газ фазасының ауысуы мен магниттердегі ферромагниттік фазаның ауысуы бірдей. Ренормалдану тобының тілінде бірдей әмбебаптық класынан әртүрлі жүйелер бірдей (ішінара) тұрақты инфрақызыл тіркелген нүктеге ағады. Осылайша макрофизика нақты физикалық модельдің микроскопиялық бөлшектерінен тәуелсіз болады.
Салыстырғанда мазасыздық теориясы, функционалды ренормалдау ренормалданатын және қалыптан тыс муфталар арасындағы қатаң айырмашылықты жасамайды. Мәселенің симметриялары рұқсат етілген барлық жұмыс істейтін муфталар FRG ағыны кезінде жасалады. Алайда, қалыпқа келтірілмейтін муфталар инфрақызылға қарай эволюция кезінде ішінара бекітілген нүктелерге өте тез жақындайды, осылайша ағын ренормалданатын муфталар санымен берілген өлшемнің гипер бетіне тиімді түрде құлайды. Нормаланбайтын муфталарды ескеру микроскопиялық әрекетті нақты таңдауға сезімтал универсалды емес ерекшеліктерді зерттеуге мүмкіндік береді ${ displaystyle S}$ және ақырғы ультрафиолет кесіндісі ${ displaystyle Lambda}$ .
Веттерих теңдеуін мына жерден алуға болады Легендалық түрлендіру 1984 жылы Джозеф Полчинский шығарған Полчинский функционалдық теңдеуінің. ФРГ-да қолданылған орташа тиімді әрекет тұжырымдамасы, алайда, Полчинский теңдеуіндегі ағынды әрекетке қарағанда интуитивті. Сонымен қатар, FRG әдісі практикалық есептеулер үшін қолайлы болып шықты.
Әдетте күшті өзара әрекеттесетін жүйелердің төмен энергиялы физикасы макроскопиялық еркіндік дәрежелерімен сипатталады (яғни бөлшектердің қозуы), олар микроскопиялық жоғары энергетикалық дәрежелерден өзгеше. Мысалы, кванттық хромодинамика - өзара әрекеттесетін кварктар мен глюондардың өрістік теориясы. Төмен қуаттарда бариондар мен мезондар еркіндіктің тиісті дәрежесі болып табылады. Тағы бір мысал - BEC / BCS кроссовер проблемасы қоюландырылған заттар физикасы. Микроскопиялық теория екі компонентті емес релативтік фермиондар тұрғысынан анықталса, төмен энергияларда композиттік (бөлшек-бөлшек) димер қосымша еркіндік дәрежесіне айналады және оны модельге нақты қосқан жөн. Төмен энергетикалық құрамды еркіндік дәрежелерін сипаттамада ішінара бозонизация әдісімен енгізуге болады (Хаббард-Стратоновичтің өзгеруі ). Бұл трансформация ультрафиолет шкаласында біржола жасалады ${ displaystyle Lambda}$ . ФРГ-де макроскопиялық еркіндік дәрежесін енгізудің тиімді әдісі енгізілді, ол ағындық бозонизация немесе ребосонизация деп аталады. Масштабқа тәуелді өрісті трансформациялау көмегімен бұл орындалуға мүмкіндік береді Хаббард-Стратоновичтің өзгеруі үздіксіз барлық RG шкалаларында ${ displaystyle k}$ .

Виктің тапсырысымен тиімді өзара әрекеттесу үшін функционалды ренормализация тобы

Тиімді әрекеттің ағын теңдеуінен айырмашылығы, бұл схема үшін құрылған тиімді өзара әрекеттесу

${ displaystyle { mathcal {V}} [ eta, eta ^ {+}] = - ln Z [G_ {0} ^ {- 1} eta, G_ {0} ^ {- 1} eta ^ {+}] - eta G_ {0} ^ {- 1} eta ^ {+}}$

жалаңаш таратушылармен ампутацияланған n-бөлшектердің өзара әрекеттесу шыңдарын тудырады ${ displaystyle G_ {0}}$ ; ${ displaystyle Z [ eta, eta ^ {+}]}$ n-бөлшекті Green функциялары үшін генерациялайтын «стандартты» болып табылады.

Wick Green функциясына қатысты тиімді өзара әрекеттесуге тапсырыс беру ${ displaystyle D}$ арқылы анықтауға болады

${ displaystyle { mathcal {W}} [ eta, eta ^ {+}] = exp (- Delta _ {D}) { mathcal {V}} [ eta, eta ^ {+} ]}$ .

қайда ${ displaystyle Delta = D delta ^ {2} / ( delta eta delta eta ^ {+})}$ далалық кеңістіктегі лаплациан болып табылады. Бұл операция ұқсас Қалыпты тәртіп және сәйкес D функциясы бар бастапқы өрістердің конволюциясы нәтижесінде пайда болатын барлық мүмкін шарттарды өзара әрекеттен шығарады. ${ displaystyle Lambda}$ Полчинский теңдеуі

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай} { жартылай Lambda}} {{V} _ { Lambda}} ( psi) = - {{ dot { Delta}} _ {G_ {0, Lambda }}} {{V} _ { Lambda}} ( psi) + Delta _ {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} ^ {12} { mathcal {V}} _ { Lambda} ^ {(1)} { mathcal {V}} _ { Lambda} ^ {(2)}}$

Вик тәртіпті теңдеу формасын алады

${ displaystyle { partial _ { Lambda}} {{ mathcal {W}} _ { Lambda}} = - { Delta _ {{{ dot {D}} _ { Lambda}} + {{ dot {G}} _ {0, Lambda}}}} {{ mathcal {W}} _ { Lambda}} + {e ^ {- Delta _ {D _ { Lambda}} ^ {12} }} Delta _ {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} ^ {12} { mathcal {W}} _ { Lambda} ^ {(1)} { mathcal {W}} _ { Ламбда} ^ {(2)}}$

қайда

${ displaystyle Delta _ {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} ^ {12} { mathcal {V}} _ { Lambda} ^ {(1)} { mathcal {V} } _ { Lambda} ^ {(2)} = { frac {1} {2}} сол жақ ({{ frac { delta {{V} _ { Lambda}} ( psi)} { delta psi}}, {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} { frac { delta {{V} _ { Lambda}} ( psi)} { delta psi}} } оң)}$

Қолданбалар

Әдіс физикадағы көптеген мәселелерге қолданылды, мысалы:

Жылы статистикалық өріс теориясы, ФРГ біртұтас суретті ұсынды фазалық ауысулар классикалық сызықтық ${ displaystyle O (N)}$ -әр түрлі өлшемдегі симметриялық скалярлық теориялар ${ displaystyle d}$ , оның ішінде маңызды көрсеткіштер ${ displaystyle d = 3}$ және Березинский-Костерлиц-Тулесс фазалық ауысуы ${ displaystyle d = 2}$ , ${ displaystyle N = 2}$ .
Өріс кванттық өріс теориясында FRG, мысалы, хираль фазалық ауысуын және QCD инфрақызыл қасиеттерін және оның хош иісті кеңеюін зерттеу үшін қолданылды.
Жылы қоюландырылған заттар физикасы, торлы модельдерді өңдеу әдісі сәтті болды (мысалы Хаббард моделі немесе күйдірілген магниттік жүйелер), итергіш Бозе газы, екі компонентті Ферми газына арналған BEC / BCS кроссовері, Кондо әсері, ретсіз жүйелер және тепе-теңдік емес құбылыстар.
FRG-ді ауырлық күшіне қолдану тұрақсыз ренормалданбаудың пайдасына дәлелдер келтірді кванттық ауырлық күші ретінде белгілі кеңістіктің төрт өлшемінде асимптотикалық қауіпсіздік сценарий.
Математикалық физикада ФРЖ әр түрлі өріс теорияларының қалыпқа келтірілуін дәлелдеу үшін қолданылды.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

Қағаздар

Веттерих, С. (1993), «Тиімді потенциал үшін нақты эволюция теңдеуі», Физ. Летт. B, 301 (1): 90, arXiv:1710.05815, Бибкод:1993PhLB..301 ... 90W, дои:10.1016 / 0370-2693 (93) 90726-X, S2CID 119536989
Моррис, Т.Р (1994), «Нақты қалыпқа келтіру тобы және шамамен алынған шешімдер», Int. J. Mod. Физ. A, A (14): 2411–2449, arXiv:hep-ph / 9308265, Бибкод:1994 IJMPA ... 9.2411M, дои:10.1142 / S0217751X94000972, S2CID 15749927
Полчинский, Дж. (1984), «Ренормализация және тиімді лагранждар», Ядро. Физ. B, 231 (2): 269, Бибкод:1984NuPhB.231..269P, дои:10.1016/0550-3213(84)90287-6

Ройтер, М. (1998), «Кванттық ауырлық үшін тұрақсыз эволюция теңдеуі», Физ. Аян Д., 57 (2): 971–985, arXiv:hep-th / 9605030, Бибкод:1998PhRvD..57..971R, CiteSeerX 10.1.1.263.3439, дои:10.1103 / PhysRevD.57.971, S2CID 119454616

Педагогикалық шолулар

Дж.Бергес; Н.Тетрадис; Веттерих (2002), «Өрістердің кванттық теориясы мен статистикалық механикасындағы тұрақсыз ағын», Физ. Rep., 363 (4–6): 223–386, arXiv:hep-ph / 0005122, Бибкод:2002PhR ... 363..223B, дои:10.1016 / S0370-1573 (01) 00098-9, S2CID 119033356

Дж.Полоны, Янос (2003), «Функционалды ренормализация топтық әдісі туралы дәрістер», Cent. Еуро. J. физ., 1 (1): 1–71, arXiv:hep-th / 0110026, Бибкод:2003CEJPh ... 1 .... 1P, дои:10.2478 / BF02475552, S2CID 53407529

H.Gies (2006). «Функционалды RG-ге кіріспе және теорияны анықтауға арналған қосымшалар». Ренормалдандыру тобы және көптеген денелік жүйелерге тиімді өріс теориясы тәсілдері. Физикадан дәрістер. 852. 287–348 беттер. arXiv:hep-ph / 0611146. дои:10.1007/978-3-642-27320-9_6. ISBN 978-3-642-27319-3. S2CID 15127186.

B. Delamotte (2007). «Ренормализацияланбайтын топқа кіріспе». Ренормалдандыру тобы және көптеген денелік жүйелерге тиімді өріс теориясы тәсілдері. Физикадан дәрістер. 852. 49-132 бет. arXiv:cond-mat / 0702365. дои:10.1007/978-3-642-27320-9_2. ISBN 978-3-642-27319-3. S2CID 34308305.

М. Сальмхофер және C. Хонеркамп, Манфред; Хонеркамп, Карстен (2001), «Фермиондық ренормализация тобы ағындары: техника және теория», Бағдарлама. Теория. Физ., 105 (1): 1, Бибкод:2001PhPh.105 .... 1S, дои:10.1143 / PTP.105.1

М.Ройтер және Ф.Сауэрессиг; Фрэнк Зауэрессиг (2007). «Функционалды қайта қалыпқа келтіру теңдеулері, асимптотикалық қауіпсіздік және кванттық Эйнштейннің ауырлық күші». arXiv:0708.1317 [hep-th ].