Фрейм (сызықтық алгебра) - Frame (linear algebra)

Жылы сызықтық алгебра, а жақтау туралы ішкі өнім кеңістігі жалпылау болып табылады векторлық кеңістіктің негізі болуы мүмкін жиынтықтарға сызықтық тәуелді. Терминологиясында сигналдарды өңдеу, жақтау а бейнелеудің артық, тұрақты тәсілін ұсынады сигнал.[1] Фреймдер қолданылады қатені анықтау және түзету жобалау және талдау банктер және жалпы алғанда қолданбалы математика, Информатика, және инженерлік.[2]

Анықтама және уәждеме

Мотивті мысал: сызықтық тәуелді жиынтықтан негіз есептеу

Бізде векторлар жиынтығы бар делік векторлық кеңістікте V және біз ерікті элементті білдіргіміз келеді векторлардың сызықтық комбинациясы ретінде , яғни біз коэффициенттер тапқымыз келеді осындай

Егер жиынтық болса созылмайды , демек, мұндай коэффициенттер әрқайсысында бола бермейді . Егер аралықтар және сонымен қатар сызықтық тәуелсіз, бұл жиынтық а негіз туралы , және коэффициенттер бірегей анықталады . Егер, алайда, аралықтар бірақ сызықтық тәуелсіз емес, коэффициенттерді қалай анықтауға болатындығы туралы мәселе онша айқын болмайды, атап айтқанда, егер өлшемі шексіз.

Мынадай жағдай болса аралықтар және сызықтық тәуелді, бір стратегия - векторларды жиынтықтан сызықтық тәуелсіз болғанша және негіз құрғанға дейін жою. Бұл жоспарда бірнеше проблемалар бар:

  1. Жиыннан ерікті векторларды алып тастау оның созылып кетуіне әкелуі мүмкін ол сызықтық тәуелсіз болғанға дейін.
  2. Векторларды жиынтықтан негіз болғанға дейін жоюдың нақты әдісін ойлап табуға болатын болса да, жиын үлкен немесе шексіз болса, бұл тәсіл іс жүзінде іске асырылмай қалуы мүмкін.
  3. Кейбір қосымшаларда ұсыну үшін қажет болғаннан көп векторларды қолдану артықшылығы болуы мүмкін . Бұл дегеніміз, біз коэффициенттерді тапқымыз келеді элементтерді алып тастамай . Коэффициенттер бұдан былай бірегей анықталмайды . Сондықтан вектор сызықтық тіркесімі ретінде ұсынылуы мүмкін бірнеше жолмен.

Ресми анықтама

Келіңіздер V болуы ішкі өнім кеңістігі және векторларының жиынтығы болуы керек . Бұл векторлар жақтау жағдайы егер оң нақты сандар болса A және B осындай және әрқайсысы үшін жылы V,

Рамалық шартты қанағаттандыратын векторлар жиынтығы а жақтау векторлық кеңістік үшін.[3]

Сандар A және B төменгі және жоғарғы деп аталады жақтау шектерісәйкесінше.[3] Жақтау шектері ерекше емес, өйткені сандар аз A және одан үлкен B сондай-ақ жарамды шектер болып табылады. The оңтайлы төменгі шекара болып табылады супремум барлық төменгі шекаралар мен оңтайлы жоғарғы шекара болып табылады шексіз барлық жоғарғы шектер.

Фрейм деп аталады толық емес (немесе артық) егер ол а негіз векторлық кеңістік үшін.

Талдау операторы

The оператор картаға түсіру коэффициенттер тізбегіне деп аталады талдау операторы жақтаудың Ол анықталады:[4]

Осы анықтаманы қолдану арқылы біз кадрдың күйін келесі түрде қайта жазуға болады

мұнда сол және оң нормалар норманы білдіреді ал орташа норма - норма.

Синтез операторы

The бірлескен оператор талдау операторының деп аталады синтез операторы жақтаудың[5]

Төменгі жақтаудың мотивациясы

Біз кез-келген векторды қалаймыз коэффициенттерден қалпына келтіруге болады . Бұл тұрақты болса, қанағаттандырылады бәріне арналған Бізде бар:

Орнату арқылы және талдау операторының сызықтығын қолдана отырып, бұл шарт келесіге тең болады:

барлығына бұл раманың төменгі төменгі байланыстырылған шарты.

Тарих

Фреймдерді қоршаған әр түрлі математикалық компоненттердің арқасында кадрлар теориясының тамыры бар гармоникалық және функционалдық талдау, оператор теориясы, сызықтық алгебра, және матрица теориясы.[6]

The Фурье түрлендіруі ғасырлар бойы сигналдарды ыдырату және кеңейту тәсілі ретінде қолданылып келеді. Алайда, Фурье түрлендіруі сигналдың шығу уақыты мен ұзақтығына қатысты негізгі ақпаратты бүркемелейді. 1946 жылы, Деннис Габор мұны шуды бір уақытта төмендететін, тұрақтылықты қамтамасыз ететін және жасалған әдісті қолдана отырып шеше алды кванттау сигналдың маңызды сипаттамаларын инкапсуляциялау кезінде.[1] Бұл жаңалық кадр теориясына бағытталған алғашқы күш-жігерді белгіледі.

Жақтаудың күйі алдымен сипатталған Ричард Даффин және Альберт Чарльз Шеффер 1952 жылы гармониялық емес мақалада Фурье сериясы Сызықтық тәуелді жиынтық векторларының сызықтық комбинациясындағы коэффициенттерді есептеу тәсілі ретінде (олардың терминологиясында «Гильберт кеңістігі жақтау »).[7] 1980 жылдары, Стефан-Маллат, Ингрид Daubechies, және Ив Мейер талдау үшін кадрларды қолданды толқындар. Қазіргі кезде рамалар толқындармен, сигналмен және байланысты кескінді өңдеу, және деректерді қысу.

Негіздермен байланыс

Фрейм жалпылауды қанағаттандырады Парсевалдың жеке басы, дәлірек айтқанда, рамка шарты, сигнал мен оның коэффициенттерінің реттілігі арасындағы норма эквиваленттілігін сақтай отырып.

Егер жиынтық болса жақтауы V, ол созылады V. Әйтпесе, кем дегенде бір нөлге тең болар еді бұл бәріне ортогоналды болар еді . Егер біз кірістіретін болсақ кадр жағдайына біз аламыз

сондықтан , бұл төменгі жақтау шекарасындағы бастапқы болжамдарды бұзу.

Егер векторлар жиыны созылса V, бұл жиынтықтың жақтауын шақырудың жеткіліксіз шарты. Мысал ретінде қарастырайық бірге нүктелік өнім, және шексіз жиынтық берілген

Бұл жиынтық аралықты қамтиды V бірақ содан бері , біз шектелген жоғарғы жақтауды таңдай алмаймыз B. Демек, жиынтық жақтау емес.

Қолданбалар

Жылы сигналдарды өңдеу, әрбір вектор сигнал ретінде түсіндіріледі. Бұл интерпретацияда рамалық векторлардың сызықтық комбинациясы түрінде көрсетілген вектор а артық сигнал. Фреймді қолданып, қарапайым сигналдар тобымен салыстырғанда сигналдың қарапайым, сирек көрінісін жасауға болады (яғни, сигналды қатаң сызықты тәуелсіз векторлар жиынтығымен ұсыну әрдайым ең ықшам форма бола бермейді) .[8] Сондықтан жақтаулар қамтамасыз етеді беріктік. Олар кеңістіктің ішінде бір векторды шығарудың тәсілін ұсынатындықтан, сигналдарды әр түрлі жолмен кодтауға болады. Бұл жеңілдетеді ақаулыққа төзімділік және сигналдың жоғалуына төзімділік. Соңында, қысқарту үшін жұмыстан босатуды қолдануға болады шу, бұл сигналдарды қалпына келтіруге, жақсартуға және қайта құруға қатысты.

Сигналды өңдеу кезінде векторлық кеңістікті a деп қабылдау әдеттегідей Гильберт кеңістігі.

Ерекше жағдайлар

Тығыз жақтаулар

Жақтау - бұл тығыз жақтау егер A = B; басқаша айтқанда, кадр жалпыланған нұсқасын қанағаттандырады Парсевалдың жеке басы. Мысалы, к бөлу ортонормальды негіздер кеңістіктің векторы - тығыз рамка A = B = к. Тығыз жақтау - бұл Парсевальды жақтау (кейде а деп аталады қалыпқа келтірілген жақтау) егер A = B = 1. Әрбір ортонормальды негіз Парсеваль жақтауы болып табылады, бірақ керісінше әрқашан дұрыс бола бермейді.

Жақтау үшін жақтаумен тығыз A егер және егер болса

барлығына .

Бірдей норма

Жақтау - бұл тең норма (кейде а деп аталады біркелкі жақтау немесе а қалыпқа келтірілген жақтау) егер тұрақты болса c осындай әрқайсысы үшін мен. Тең нормативті рамка - а өлшем бірлігі егер c = 1. Парсевальды (немесе қатаң) өлшем бірлігінің нормативі - ортонормальды негіз; мұндай жақтау қанағаттандырады Парсевалдың жеке басы.

Екі бұрышты жақтаулар

Жақтау - бұл теңбұрышты жақтау егер тұрақты болса c осындай әрқайсысы үшін мен және j.

Дәл кадрлар

Жақтау - бұл нақты кадр егер кадрдың тиісті ішкі жиыны өнімнің ішкі кеңістігін қамтымаса. Өнімнің ішкі кеңістігінің әрбір негізі кеңістіктің дәл рамкасы болып табылады (негіз - бұл раманың ерекше жағдайы).

Жалпылау

A Бессель тізбегі - бұл кадр шартының тек жоғарғы шекарасын қанағаттандыратын векторлар жиынтығы.

Үздіксіз кадр

Айталық H бұл Гильберт кеңістігі, X жергілікті ықшам кеңістік және жергілікті шектеулі Борель өлшемі Х-да. Содан кейін векторлар жиынтығы H, өлшеммен деп аталады Үздіксіз кадр егер тұрақтылар болса, осындай барлығына .

Мысал

Дискретті жиынтық берілген және шара қайда болып табылады Дирак өлшемі содан кейін кадрдың үздіксіз қасиеті:

төмендейді:

және біз Үздіксіз кадрлар шынымен де жоғарыда аталған кадрлардың табиғи жалпылауы екенін көреміз.

Дискретті жағдайда сияқты біз үздіксіз кадрлармен жұмыс істеген кезде талдау, синтез және кадр кадрларын анықтай аламыз.

Үздіксіз талдау операторы

Үздіксіз кадр берілген The Үздіксіз талдау операторы операторлық картаға түсіру болып табылады коэффициенттер тізбегіне .

Ол келесідей анықталады:

арқылы

Үздіксіз синтездеу операторы

Үздіксіз талдау операторының байланысқан операторы болып табылады Үздіксіз синтездеу операторы бұл карта:

арқылы

Үздіксіз кадр операторы

Үздіксіз талдау операторы мен үздіксіз синтез операторының құрамы ретінде белгілі Үздіксіз кадр операторы. Үздіксіз кадр үшін , Үздіксіз кадр операторы келесідей анықталады: арқылы

Үздіксіз қос кадр

Үздіксіз кадр берілген , және тағы бір үздіксіз кадр , содан кейін деп аталады Үздіксіз қос кадр туралы егер ол барлығына келесі шартты қанағаттандырса :

Екі жақтаулар

Рамалық шарт жиынтықтың болуын талап етеді екі реттік векторлар сол қасиетімен

кез келген үшін . Бұл жақтаудың екі жақтаумен бірге негізге және оның қасиетіне ие екендігін білдіреді қосарланған негіз скалярлық өнімдерден векторды қалпына келтіру тұрғысынан.

Екі жақтауды құру үшін алдымен сызықтық картаға түсіру керек , деп аталады кадр операторыретінде анықталды

.

Осы анықтамадан ішкі өнімнің бірінші аргументіндегі сызықтық және

ол кадрлық шарттағы теңсіздікпен ауыстырылған кезде береді

әрқайсысы үшін .

Рамалық оператор болып табылады өзін-өзі біріктіру, позитивті анық, және оң жоғарғы және төменгі шекаралары бар. Кері туралы бар және ол да өзін-өзі біріктіретін, позитивті анықталған және оң және жоғарғы шектері бар.

Екі жақтау кадрдың әрбір элементін картаға түсіру арқылы анықталады :

Мұның мағынасы бар екенін көру үшін рұқсат етіңіз элементі болу және рұқсат етіңіз

.

Осылайша

,

мұны дәлелдейді

.

Сонымен қатар, біз рұқсат ете аламыз

.

Жоғарыда көрсетілген анықтаманы енгізу арқылы қасиеттерін қолдану және оның кері,

мұны көрсетеді

.

Сандар деп аталады кадр коэффициенттері. Қос кадрдың бұл туындысы Даффин мен Шеффердің мақаласындағы 3-бөлімнің қысқаша мазмұны болып табылады.[7] Олар бұл терминді қолданады конъюгаттық жақтау өйткені мұнда екі жақтау деп аталады.

Екі жақтау деп аталады канондық қосарланған туралы өйткені ол а сияқты әрекет етеді қосарланған негіз негізге.

Қашан жақтау толық емес, вектор -ның сызықтық комбинациясы түрінде жазуға болады бірнеше жолмен. Яғни коэффициенттердің әр түрлі таңдауы бар осындай . Бұл бізге коэффициенттерді таңдау үшін біраз еркіндік береді басқа . Бұл жақтау қажет басқа осындай коэффициенттер үшін артық толтырылған бар болу. Егер солай болса, онда кадрлар бар ол үшін

барлығына . Біз қоңырау шалып жатырмыз қос жақтауы .

Канондық екілік - бұл өзара қатынас, яғни егер кадр канондық екі жақтауы болып табылады , содан кейін канондық екі жақтауы болып табылады .

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

  • Касасца, Петр; Кутиниок, Гитта; Филипп, Фридрих (2013). «Соңғы кадрлар теориясына кіріспе». Ақырлы кадрлар: теория және қолданбалар. Берлин: Биркхаузер. 1-53 бет. ISBN  978-0-8176-8372-6.
  • Кристенсен, Оле (2003). Фреймдер мен Riesz негіздеріне кіріспе. Қолданбалы және сандық гармоникалық талдау. Бирхязер. дои:10.1007/978-0-8176-8224-8. ISBN  978-1-4612-6500-9. МЫРЗА  1946982.
  • Даффин, Ричард Джеймс; Шеффер, Альберт Чарльз (1952). «Формье гармоникалық емес сериясы». Американдық математикалық қоғамның операциялары. 72 (2): 341–366. дои:10.2307/1990760. JSTOR  1990760. МЫРЗА  0047179.
  • Ковачевич, Елена; Чебира, Амина (2008). «Фреймдерге кіріспе» (PDF). Сигналды өңдеу негіздері мен тенденциялары. 2 (1): 1–94. дои:10.1561/2000000006.
  • Ковачевич, Елена; Драготти, Пьер Луиджи; Гоял, Вивек (2002). «Банк фреймінің кеңеюін фильтрмен» (PDF). Ақпараттық теория бойынша IEEE транзакциялары. 48 (6): 1439–1450. CiteSeerX  10.1.1.661.2699. дои:10.1109 / TIT.2002.1003832.
  • Маллат, Стефан (2009). Сигналды өңдеу бойынша Wavelet туры: сирек жол (PDF) (3-ші басылым). Академиялық баспасөз. ISBN  978-0-12-374370-1. Алынған 2020-08-01.