Ағын (математика) - Flow (mathematics)

Ағын фазалық кеңістік а-ның дифференциалдық теңдеуімен көрсетілген маятник. Х осінде маятниктің орны, ал у бірінде оның жылдамдығы.

Жылы математика, а ағын сұйықтықтағы бөлшектердің қозғалысы туралы идеяны рәсімдейді. Ағындар барлық жерде, соның ішінде ғылымда бар инженерлік және физика. Ағын ұғымы зерттеу үшін негізгі болып табылады қарапайым дифференциалдық теңдеулер. Бейресми түрде ағынды уақыт бойынша нүктелердің үздіксіз қозғалысы ретінде қарастыруға болады. Ресми түрде ағын - бұл а топтық әрекет туралы нақты сандар үстінде орнатылды.

Идеясы векторлық ағын, яғни а векторлық өріс, аймақтарында кездеседі дифференциалды топология, Риман геометриясы және Өтірік топтар. Векторлық ағындардың нақты мысалдарына мыналар жатады геодезиялық ағын, Гамильтондық ағын, Ricci ағыны, қисықтық ағыны, және Аносов ағып жатыр. Ағындар жүйелер үшін де анықталуы мүмкін кездейсоқ шамалар және стохастикалық процестер, және зерттеу кезінде пайда болады эргодикалық динамикалық жүйелер. Солардың ішіндегі ең әйгілі - бұл Бернулли ағыны.

Ресми анықтама

A ағын жиынтықта X Бұл топтық әрекет туралы қоспа тобы туралы нақты сандар қосулы X. Ағындық - бұл а картаға түсіру

барлығы үшін хX және барлық нақты сандар с және т,

Жазу әдетке айналған φт(х) орнына φ(х, т), сондықтан жоғарыдағы теңдеулерді келесідей етіп көрсетуге болады φ0 = Идентификатор (сәйкестендіру функциясы ) және φсφт = φс+т (топтық заң). Содан кейін, бәріне т ∈ ℝ, картаға түсіру φт: XX дегеніміз - кері бижекция φ−t: XX. Бұл жоғарыдағы анықтамадан және нақты параметрден туындайды т жалпылама ретінде қабылдануы мүмкін функционалды қуат, сияқты функцияны қайталау.

Ағындар әдетте үйлесімді болуы керек құрылымдар түсірілім алаңында жабдықталған X. Атап айтқанда, егер X жабдықталған топология, содан кейін φ әдетте болуы керек үздіксіз. Егер X жабдықталған сараланатын құрылым, содан кейін φ әдетте болуы қажет ажыратылатын. Бұл жағдайларда ағын а бір параметрдің ішкі тобы сәйкесінше гомеоморфизмдер мен диффеоморфизмдер.

Белгілі бір жағдайларды қарастыруға болады жергілікті ағындартек кейбір ішкі жиында анықталған

деп аталады ағын домені туралы φ. Бұл көбінесе векторлық өрістердің ағындары.

Балама белгілер

Бұл көптеген салаларда, соның ішінде өте кең таралған инженерлік, физика және зерттеу дифференциалдық теңдеулер, ағынды жасырын ететін белгіні қолдану. Осылайша, х(т) үшін жазылған φт(х0), және біреу «айнымалы» деп айтуы мүмкін х уақытқа байланысты т және бастапқы шарт х = х0«. Мысалдар төменде келтірілген.

Жағдайда векторлық өрістің ағымы V үстінде тегіс коллектор X, ағын көбінесе оның генераторы айқын болатындай етіп белгіленеді. Мысалға,

Орбита

Берілген х жылы X, жиынтық деп аталады орбита туралы х астында φ. Бейресми түрде оны бастапқыда орналасқан бөлшектің траекториясы деп санауға болады х. Егер ағын а векторлық өріс, содан кейін оның орбиталары оның бейнелері болып табылады интегралды қисықтар.

Мысалдар

Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің автономды жүйелері

Келіңіздер F: RnRn (уақытқа тәуелді емес) векторлық өріс және болуы х: RRn бастапқы мән есебінің шешімі

Содан кейін φ(х0,т) = х(т) болып табылады векторлық өрістің ағымы F. Бұл векторлық өріс болған жағдайда жақсы анықталған жергілікті ағын F: RnRn болып табылады Липшиц-үздіксіз. Содан кейін φ: Rn×RRn Липшиц-анықталған жерде де үздіксіз. Жалпы бұл ағынды көрсету қиын болуы мүмкін φ жаһандық деңгейде анықталған, бірақ қарапайым өлшемдердің бірі - векторлық өріс F болып табылады ықшам қолдау көрсетіледі.

Уақытқа тәуелді қарапайым дифференциалдық теңдеулер

Уақытқа тәуелді векторлық өрістер жағдайында F: Rn×RRn, біреуі φт,т0(х0) = х(т + т0), қайда х: RRn шешімі болып табылады

Содан кейін φт,т0(х0) болып табылады уақытқа тәуелді ағын F. Бұл жоғарыдағы анықтама бойынша «ағын» емес, бірақ оны аргументтерін қайта құру арқылы оңай деп санауға болады. Атап айтқанда, картаға түсіру

соңғы айнымалы үшін топтық заңды шынымен қанағаттандырады:

Векторлық өрістердің уақытқа тәуелді ағымдарын уақытқа тәуелді емес жағдайлардың келесі жағдайлары ретінде көруге болады. Анықтаңыз

Содан кейін ж(т) - бұл «уақытқа тәуелді емес» бастапқы мән есебінің шешімі

егер және егер болса х(т) - уақытқа тәуелді бастапқы мән мәселесінің шешімі. Сонымен, содан кейін картаға түсіру φ дәл «уақытқа тәуелсіз» векторлық өрістің ағымы G.

Векторлық өрістердің коллекторлар бойынша ағымы

Уақытқа тәуелді емес және уақытқа тәуелді векторлық өрістер ағындары тегіс коллекторларда дәл Евклид кеңістігінде анықталғандай анықталады. n және олардың жергілікті мінез-құлқы бірдей. Алайда, тегіс коллектордың ғаламдық топологиялық құрылымы оның қандай глобалды векторлық өрістерді қолдай алатындығынан айқын көрінеді және тегіс коллекторлардағы векторлық өрістердің ағымы шынымен де дифференциалды топологияның маңызды құралы болып табылады. Зерттеулердің негізгі бөлігі динамикалық жүйелерде қосымшаларда «параметр кеңістігі» деп есептелетін тегіс коллекторларда жүргізіледі.

Жылу теңдеуінің шешімдері

Келіңіздер Ω dom қосалқы домені болыңыз (шектелген немесе жоқ)n (бірге n бүтін сан). Белгілеу Γ оның шекарасы (тегіс деп есептеледі). Келесі жағдайды қарастырайық Жылу теңдеуі қосулы Ω × (0,Т), үшін Т > 0,

келесі бастапқы шекаралық шартпен сен(0) = сен0 жылы Ω .

Теңдеу сен = 0 Γ × (0,Т) біртекті Дирихлеттің шекаралық шартына сәйкес келеді. Бұл есептің математикалық параметрі жартылай топтық тәсіл бола алады. Бұл құралды қолдану үшін біз шектеусіз оператормен таныстырамыз ΔД. бойынша анықталған оның домені бойынша

(классиканы қараңыз) Соболев кеңістігі бірге және

дегеніміз - шексіз дифференциалданатын функциялардың ықшам қолдауымен жабылуы Ω үшін норма).

Кез келген үшін , Бізде бар

Осы оператордың көмегімен жылу теңдеуі болады және сен(0) = сен0. Осылайша, осы теңдеуге сәйкес келетін ағын (жоғарыдағы белгілерді қараңыз)

қайда exp (Д.) болып табылатын (аналитикалық) жартылай топ болып табылады ΔД..

Толқындық теңдеудің шешімдері

Тағы да, рұқсат етіңіз Ω dom қосалқы домені болыңыз (шектелген немесе жоқ)n (бірге n бүтін сан). Біз белгілейміз Γ оның шекарасы (тегіс деп есептеледі). Келесі жағдайды қарастырайық Толқындық теңдеу қосулы (үшін Т > 0),

келесі бастапқы шартпен сен(0) = сен1,0 жылы және .

Жоғарыдағы Жылу теңдеуі жағдайындағыдай жарты топтық әдісті қолдану. Толқындық теңдеуді уақыт бойынша дербес дифференциалдық теңдеудің бірінші реті ретінде келесі шектеусіз операторды енгізу арқылы жазамыз,

доменмен қосулы (оператор алдыңғы мысалда анықталған).

Біз баған векторларын енгіземіз

(қайда және ) және

.

Осы түсініктермен толқын теңдеуі болады және .

Сонымен, осы теңдеуге сәйкес келетін ағын қайда болып табылатын (біртұтас) жартылай топ болып табылады .

Бернулли ағыны

Эргодикалық динамикалық жүйелер, яғни кездейсоқтықты көрсететін жүйелер ағындарды да көрсетеді. Солардың ішіндегі ең әйгілі - бұл Бернулли ағыны. The Орнштейн изоморфизм теоремасы кез келген үшін энтропия H, ағын бар φ(х, т), Бернулли ағыны деп аталды, ол кездегі ағын т=1, яғни φ(х,1), Бұл Бернулли ауысымы.

Сонымен қатар, бұл ағым үнемі қайталанатын уақытқа дейін ерекше. Яғни, егер ψ(х, т), сол энтропиямен жүретін тағы бір ағым ψ(х, т) = φ(х, т), кейбір тұрақты үшін c. Мұндағы бірегейлік және изоморфизм ұғымы динамикалық жүйелердің изоморфизмі. Көптеген динамикалық жүйелер, соның ішінде Синай бильярды және Аносов ағып жатыр Бернулли ауысымына изоморфты болып келеді.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Д.В. Аносов (2001) [1994], «Үздіксіз ағын», Математика энциклопедиясы, EMS Press
  • Д.В. Аносов (2001) [1994], «Өлшенетін ағын», Математика энциклопедиясы, EMS Press
  • Д.В. Аносов (2001) [1994], «Арнайы ағым», Математика энциклопедиясы, EMS Press
  • Бұл мақалада Flow on материалдары қамтылған PlanetMath бойынша лицензияланған Creative Commons Attribution / Share-Alike лицензиясы.