Өріс теңдеуі - Field equation

Жылы теориялық физика және қолданбалы математика, а өріс теңдеуі Бұл дербес дифференциалдық теңдеу динамикасын анықтайтын а физикалық өріс, нақты уақыт өрісі және өрістің кеңістіктік таралуы. Теңдеудің шешімдері уақыт пен кеңістіктің функциялары ретінде өріске тікелей сәйкес келетін математикалық функциялар болып табылады. Өріс теңдеуі жартылай дифференциалдық теңдеу болғандықтан, әртүрлі физикалық мүмкіндіктерді ұсынатын шешімдердің отбасылары бар. Әдетте, бұл жерде тек бір ғана теңдеу емес, сонымен қатар бір уақытта шешілуі керек байланысқан теңдеулер жиынтығы болады. Өріс теңдеулері олай емес қарапайым дифференциалдық теңдеулер өріс кеңістік пен уақытқа тәуелді болғандықтан, кем дегенде екі айнымалы қажет.

Ал «толқындық теңдеу «,»диффузиялық теңдеу «, және »үздіксіздік теңдеуі «барлығының стандартты формалары бар (және әртүрлі ерекше жағдайлар немесе жалпылау),» өріс теңдеуі «деп аталатын жалғыз, ерекше теңдеу жоқ.

Тақырып кеңінен теңдеулерге бөлінеді классикалық өріс теориясы және өрістің кванттық теориясы. Өрістің классикалық теңдеулері заттың температурасы, сұйықтықтың жылдамдығы, серпімді материалдағы кернеулер, токтың электрлік және магниттік өрістері сияқты көптеген физикалық қасиеттерді сипаттайды.^[1] Олар сондай-ақ электромагнетизм және ауырлық күші сияқты табиғаттың негізгі күштерін сипаттайды.^[2]^[3] Өрістердің кванттық теориясында «бөлшектердің» бөлшектері немесе жүйелері электрондар және фотондар өрістермен байланысты, олар шексіз еркіндік дәрежесіне (бөлшектер механикасындағы ақырғы дәрежелерден айырмашылығы) және болуы мүмкін айнымалы бөлшектер сандарына мүмкіндік береді. құрылды немесе жойылды.

Жалпы ережелер

Шығу тегі

Әдетте өріс теңдеулері постуляцияланады (сияқты Эйнштейн өрісінің теңдеулері және Шредингер теңдеуі, бұл барлық кванттық өріс теңдеулерінің негізінде) немесе эксперименттер нәтижелерінен алынған (мысалы Максвелл теңдеулері ). Олардың жарамдылық деңгейі - эксперимент нәтижелерін дұрыс болжау және келісу дәрежесі.

Теориялық тұрғыдан өріс теңдеулерін шеңберінде тұжырымдауға болады Лагранж өрісі теориясы, Гамильтондық өріс теориясы, және өрістің теориялық тұжырымдамалары стационарлық әрекет принципі.^[4] Сәйкес Лагранж немесе Гамильтония тығыздығын, берілген жүйеде өрістердің функциясын, сондай-ақ олардың туындыларын ескере отырып, стационарлық әрекет принципі өріс теңдеуін алады.

Симметрия

Классикалық және кванттық теорияларда өріс теңдеулері фондық физикалық теорияның симметриясын қанағаттандырады. Көбіне Галилеялық симметрия жылдамдықтар үшін (таралатын өрістер) жарықтан әлдеқайда аз. Бөлшектер мен өрістер жарыққа жақын жылдамдықта таралғанда, Лоренц симметриясы - бұл ең кең таралған параметрлердің бірі, өйткені теңдеу және оның шешімдері арнайы салыстырмалылыққа сәйкес келеді.

Тағы бір симметрия пайда болады еркіндікті өлшеу, бұл өріс теңдеулеріне тән. Өзара әрекеттесуге сәйкес өрістер болуы мүмкін калибрлі өрістер, бұл оларды потенциалдан алуға болатындығын білдіреді және потенциалдардың белгілі бір мәндері өрістің бірдей мәніне сәйкес келеді.

Жіктелуі

Өріс теңдеулерін көптеген жолдармен классификациялауға болады: классикалық немесе кванттық, релелативті емес немесе релятивистік. айналдыру немесе масса өрістің және өрістің құрамдас бөліктерінің саны және олардың координаталық түрлендіру кезінде қалай өзгеретіндігі (мысалы, скалярлық өрістер, векторлық өрістер, тензор өрістері, спинорлық өрістер, бұралу өрістері және т.б.). Олар сондай-ақ дифференциалдық теңдеулердің жіктелуін мұра ете алады сызықтық немесе бейсызықтық, ең жоғары туынды реті, немесе тіпті бөлшек дифференциалдық теңдеулер. Габариттік өрістер келесідей жіктелуі мүмкін топтық теория, сияқты абель немесе бейабельдік.

Толқындар

Өріс теңдеулері толқындық теңдеулердің негізінде жатыр, өйткені мезгіл-мезгіл өзгеретін өрістер толқындар тудырады. Толқындық теңдеулерді өріс теңдеулері деп санауға болады, оларды көбінесе өріс теңдеулерінен алуға болады. Сонымен қатар, стационарлық әрекет принципін қолдана отырып, сәйкес Лагранж немесе Гамильтон тығыздықтарын алуға болады.

Мысалы, Максвелл теңдеулерін шығаруға пайдалануға болады біртекті емес электромагниттік толқын теңдеулері, және Эйнштейн өрісінің теңдеулерінен үшін теңдеулер шығаруға болады гравитациялық толқындар.

Өріс теңдеулеріне қосымша теңдеулер

Физикадағы әрбір дербес дифференциалдық теңдеу (PDE) автоматты түрде «өріс теңдеуі» деп аталмайды, тіпті өрістер қатысса да. Олар берілген физикалық жүйеге қосымша шектеулер беретін қосымша теңдеулер.

"Үздіксіздік теңдеулері « және »диффузиялық теңдеулер «сипаттаңыз көлік құбылыстары дегенмен, олар көлік процестеріне әсер ететін өрістерді қамтуы мүмкін.

Егер «құрылтай теңдеуі «PDE формасын алады және өрістерді қамтиды, оны өріс теңдеуі деп атай алмайды, өйткені өрістердің динамикалық мінез-құлқын реттемейді. Олар берілген өрісте бір өрісті екінші өріске жатқызады. Құрылымдық теңдеулер өріспен бірге қолданылады заттың әсерін ескеру қажет болғандағы теңдеулер.

Классикалық өріс теңдеуі

Классикалық өріс теңдеулері пайда болады үздіксіз механика (оның ішінде эластодинамика және сұйықтық механикасы ), жылу беру, электромагнетизм, және гравитация.

Өрістердің негізгі классикалық теңдеулеріне жатады

Ньютонның бүкіләлемдік тартылыс заңы релелативті емес гравитация үшін.
Эйнштейн өрісінің теңдеулері үшін релятивистік гравитация
Максвелл теңдеулері электромагнетизм үшін.

Негізгі заңдардан алынған маңызды теңдеулерге мыналар жатады:

Навье - Стокс теңдеулері сұйықтық ағыны үшін.

Өмірдің бір бөлігі ретінде математикалық модельдеу процестер, өрістің классикалық теңдеулері басқаларымен бірге жүреді қозғалыс теңдеулері, күй теңдеулері, құрылтай теңдеулері, және үздіксіздік теңдеулері.

Өрістің кванттық теңдеуі

Өрістердің кванттық теориясында бөлшектерді қанағаттандыратын кванттық өрістер сипатталады Шредингер теңдеуі. Олар сондай-ақ құру және жою операторлары қанағаттандыратын коммутациялық қатынастар және бағынышты спин-статистика теоремасы.

Жағдайларының ерекше жағдайлары релятивистік кванттық өріс теңдеулері қосу^[5]

The Клейн-Гордон теңдеуі спин-0 бөлшектері үшін
The Дирак теңдеуі спин-1/2 бөлшектері үшін
The Баргман-Вигнер теңдеулері кез-келген айналдыру бөлшектері үшін

Өрістің кванттық теңдеулерінде қолдану әдеттегідей импульс бөлшектердің орналасуының координаталарының орнына бөлшектердің компоненттері, өрістер орналасқан импульс кеңістігі және Фурье түрлендіреді оларды позициямен байланыстырыңыз.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

^ Феттер, А.Л .; Walecka, J. D. (1980). Бөлшектердің теориялық механикасы және континуа. Довер. 439, 471 бет. ISBN 978-0-486-43261-8.
^ Джексон, Дж. Д. (1975) [1962]. Классикалық электродинамика (2-ші басылым). Джон Вили және ұлдары. б.218. ISBN 0-471-43132-X.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
^ Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Өрістердің классикалық теориясы. Теориялық физика курсы. 2 (4-ші басылым). Баттеруорт – Гейнеманн. б. 297. ISBN 0-7506-2768-9.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
^ Голдштейн, Герберт (1980). «12 тарау: Үздіксіз жүйелер мен өрістер». Классикалық механика (2-ші басылым). Сан-Франциско, Калифорния: Аддисон Уэсли. бет.548, 562. ISBN 0201029189.
^ Охлссон, Т (2011). Релятивистік кванттық физика: кеңейтілген кванттық механикадан кіріспе кванттық өріс теориясына дейін. Кембридж университетінің баспасы. 23, 42, 44 беттер. ISBN 978-1-139-50432-4.

Сыртқы сілтемелер

Дж. Wevers (1999). «Физика формуляры» (PDF). Алынған 27 желтоқсан 2016.
Гленн Элерт (1998). «Жиі қолданылатын теңдеулер». Алынған 27 желтоқсан 2016.

[1] Феттер, А.Л .; Walecka, J. D. (1980). Бөлшектердің теориялық механикасы және континуа. Довер. 439, 471 бет. ISBN 978-0-486-43261-8.

[2] Джексон, Дж. Д. (1975) [1962]. Классикалық электродинамика (2-ші басылым). Джон Вили және ұлдары. б.218. ISBN 0-471-43132-X.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

[3] Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Өрістердің классикалық теориясы. Теориялық физика курсы. 2 (4-ші басылым). Баттеруорт – Гейнеманн. б. 297. ISBN 0-7506-2768-9.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

[4] Голдштейн, Герберт (1980). «12 тарау: Үздіксіз жүйелер мен өрістер». Классикалық механика (2-ші басылым). Сан-Франциско, Калифорния: Аддисон Уэсли. бет.548, 562. ISBN 0201029189.

[5] Охлссон, Т (2011). Релятивистік кванттық физика: кеңейтілген кванттық механикадан кіріспе кванттық өріс теориясына дейін. Кембридж университетінің баспасы. 23, 42, 44 беттер. ISBN 978-1-139-50432-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]