Фано әртүрлілігі - Fano variety

Жылы алгебралық геометрия, а Фано әртүрлілігі, енгізген Джино Фано ішінде (Фано 1934, 1942 ), Бұл толық әртүрлілік X кімдікі антиканоникалық байлам Қ_X^* болып табылады жеткілікті. Бұл анықтамада мынаны болжауға болады X болып табылады тегіс өріс үстінде, бірақ минималды модельдік бағдарлама сияқты әртүрлі ерекше типтегі Фано сорттарын зерттеуге әкелді Терминал немесе клт даралық.

Мысалдар

Фано сорттарының негізгі мысалы болып табылады проективті кеңістіктер: антиканоникалық сызық байламы туралы Pⁿ өріс үстінде к болып табылады O(n+1), бұл өте мол (күрделі сандардың үстінде, оның қисықтық болып табылады n + 1 рет Фубини – Оқу симплектикалық форма).
Келіңіздер Д. тегіс кодименция-1 кіші түрлілігі Pⁿ. The қосымша формула мұны білдіреді Қ_Д. = (Қ_X + Д.)|_Д. = (−(n+1)H + градус (Д.H) |_Д., қайда H гиперпланет класы болып табылады. The беткі қабат Д. сондықтан Fano, егер де (Д.) < n+1.
Жалпы, тегіс толық қиылысу гипер беткейлердің n-өлшемді проекциялық кеңістік - бұл Fano, егер олардың дәрежелерінің қосындысы ең көп болса ғана n.
Салмақталған проекциялық кеңістік P(а₀,...,а_n) сингуляр (клт ) Фано әртүрлілігі. Бұл генераторлары дәрежесі бар деңгейленген көпмүшелік сақинамен байланысты проективті схема а₀,...,а_n. Егер бұл жақсы қалыптасқан болса, жоқ деген мағынада n сандардың а жалпы коэффициенті 1-ден үлкен болса, онда олардың гипер беткейлерінің кез-келген толық қиылысы олардың дәрежелерінің қосындысынан кіші болады а₀+...+а_n бұл Fano әртүрлілігі.
Сызықтық алгебралық топ бойынша біртектес сипаттамалық нөлдегі барлық проективті әртүрлілік - Фано.

Кейбір қасиеттер

Көптеген желілік байламдардың болуы X дегенге тең X болу проективті әртүрлілік, сондықтан Fano әртүрлілігі әрқашан проективті. Фано әртүрлілігі үшін X күрделі сандардың үстінен Кодира жоғалып бара жатқан теорема дегенді білдіреді шоқ когомологиясы топтар ${ displaystyle H ^ {j} (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ туралы құрылым құрылымы үшін жоғалу ${ displaystyle j> 0}$ . Атап айтқанда, Тодд тұқымы ${ displaystyle chi (X, { mathcal {O}}) = sum (-1) ^ {j} h ^ {j} (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ автоматты түрде тең ${ displaystyle j = 1,2}$ осы жоғалып кеткен мәлімдеме жағдайлары бізге бірінші Черн класы изоморфизмді тудырады ${ displaystyle c_ {1}: P (X) to H ^ {2} (X, mathbb {Z})}$ .

Яу шешімі бойынша Калаби болжам, тегіс кешенді әртүрлілік Kähler позитивті Ricci қисаюының өлшемдерін, егер ол Fano болса ғана қабылдайды. Майерс теоремасы сондықтан бізге әмбебап қақпақ Fano коллекторы ықшам, сондықтан тек ақырғы жабын болуы мүмкін. Алайда, біз Fano коллекторының Todd тұқымы 1-ге тең болуы керек екенін көрдік, өйткені бұл коллектордың әмбебап қақпағына да қатысты болады және Todd тұқымы шектеулі қақпақтардың астында мультипликативті болғандықтан, кез-келген Fano коллекторы жай қосылған.

Әрбір Fano әртүрлілігінде әлдеқайда оңай факт Kodaira өлшемі −∞.

Кампана және Коллар –Мияока –Мори алгебралық жабық өрістегі тегіс Фано әртүрлілігі екенін көрсетті ұтымды тізбек қосылған; яғни кез келген екі тұйықталған нүктелер тізбегімен байланысуы мүмкін рационалды қисықтар.^[1]Коллар-Мияока-Мори, сонымен қатар, сипаттамалық нөлдің алгебралық жабық өрісіндегі берілген өлшемдегі тегіс Фано сорттары шектелген жанұяны құрайтындығын көрсетті, демек, оларды көптеген алгебралық сорттардың нүктелері бойынша жіктейді.^[2] Атап айтқанда, әр өлшемдегі Fano сорттарының тек көптеген деформация кластары бар. Осы тұрғыдан алғанда, Fano сорттары, мысалы, сорттарының басқа кластарына қарағанда әлдеқайда ерекше жалпы тип.

Кішкентай өлшемдер бойынша жіктеу

Келесі талқылау күрделі сандардың тегіс Fano сорттарына қатысты.

Fano қисығы изоморфты дейін проекциялық сызық.

Фано бетін а деп те атайды дель-Пезцо беті. Кез-келген дель-пезцо беті де изоморфты P¹ × P¹ немесе ең көп дегенде 8 нүктеде жарылған проекциялық жазықтыққа, олар жалпы жағдайда болуы керек. Нәтижесінде олардың барлығы рационалды.

3 өлшемде рационалды емес, мысалы, кубтық 3-қатпарлы Fano тегіс күрделі сорттары бар P⁴ (бойынша Клеменс - Грифитс ) және квартикалық 3-қатпарлар P⁴ (бойынша Исковских - Манин ). Исковских (1977, 1978, 1979 ) тегіс Фано 3-қатпарларын екіншіге жіктеді Бетти нөмірі 1-ден 17 сыныпқа, және Мори және Мукай (1981) 88 деформация класын тауып, Betti нөмірі кем дегенде 2-ге тең тегіс жіктерді жіктеді. Тегіс Fano 3 қатпарларының жіктелуінің толық мазмұны келтірілген Исковских және Прохоров (1999).

Сондай-ақ қараңыз

Пішіндердің периодтық кестесі барлық Fano сорттарын үш, төрт және бес өлшемдерге жіктеу жобасы.

Сыртқы сілтемелер

Фанография - үш өлшемді Фано сорттарының жіктелуін көзбен зерттеуге арналған құрал.

Ескертулер

^ Дж.Коллар. Алгебралық сорттардағы рационалды қисықтар. Теорема V.2.13.
^ Дж.Коллар. Алгебралық сорттардағы рационалды қисықтар. Қорытынды V.2.15.

Әдебиеттер тізімі

Фано, Джино (1934), «Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli», Proc. Интернат. Конгресс математиктері (Болонья), 4, Заничелли, 115–119 бб
Фано, Джино (1942), «Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche», Mathematici Helvetici түсініктемелері, 14: 202–211, дои:10.1007 / BF02565618, ISSN 0010-2571, МЫРЗА 0006445^{[тұрақты өлі сілтеме ]}
Исковских, В.А. (1977), «Fano threefolds. I», Математика. КСРО Изв., 11 (3): 485–527, дои:10.1070 / IM1977v011n03ABEH001733, ISSN 0373-2436, МЫРЗА 0463151
Исковских, В.А. (1978), «Фано 3-қатпар II», Математика КСР Изв., 12 (3): 469–506, дои:10.1070 / im1978v012n03abeh001994, МЫРЗА 0463151
Исковских, В.А. (1979), «Үш өлшемді алгебралық сорттардың антиканоникалық модельдері», Математиканың өзекті мәселелері, т. 12 (орыс), VINITI, Мәскеу, 59–157 б., МЫРЗА 0537685
Исковских, В. А .; Прохоров, Ю. Г. (1999), «Фано сорттары», А.Н.Паршинде; I. R. Shafarevich (ред.), Алгебралық геометрия, V. Математикалық энциклопедия. Ғылыми еңбек, 47, Шпрингер-Верлаг, 1–247 б., ISBN 3-540-61468-0, МЫРЗА 1668579
Коллар, Янос (1996), Алгебралық сорттардағы рационалды қисықтар, Берлин, Гайдельберг: Шпрингер-Верлаг, дои:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, МЫРЗА 1440180
Куликов, Викс.С. (2001) [1994], «Фано_әртүрлілігі», Математика энциклопедиясы, EMS Press
Мори, Шигефуми; Мұқай, Шігеру (1981), «Fano 3-қатпарларының жіктелуі B₂≥2", Mathematica қолжазбасы, 36 (2): 147–162, дои:10.1007 / BF01170131, ISSN 0025-2611, МЫРЗА 0641971
Мори, Шигефуми; Мұқай, Шігеру (2003), «Эрратум:» Фано 3-қатпарлардың жіктелуі Б₂≥2"", Mathematica қолжазбасы, 110 (3): 407, дои:10.1007 / s00229-002-0336-2, ISSN 0025-2611, МЫРЗА 1969009

[1] Дж.Коллар. Алгебралық сорттардағы рационалды қисықтар. Теорема V.2.13.

[2] Дж.Коллар. Алгебралық сорттардағы рационалды қисықтар. Қорытынды V.2.15.

[1]

[2]