Følner реттілігі - Википедия - Følner sequence

Жылы математика, а Фельнер реттілігі үшін топ Бұл жүйелі туралы жиынтықтар белгілі бір шартты қанағаттандыру. Егер топтың өзіне қатысты әрекетіне қатысты Følner дәйектілігі болса, онда топ болады қол жетімді. Фольнер туралы жалпы түсінік торлар аналогты түрде анықтауға болады, және зерттеуге сәйкес келеді есептеусіз топтар. Følner дәйектілігі деп аталады Эрлинг Фельнер.

Анықтама

Топ берілген ${ displaystyle G}$ бұл әрекет етеді есептелетін жиынтықта ${ displaystyle X}$, әрекетке арналған Følner реттілігі - бұл ақырлы рет ішкі жиындар ${ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, dots}$ туралы ${ displaystyle X}$ ол сарқылған ${ displaystyle X}$ және кез-келген топ элементі әрекет еткенде «көп қозғалмаңыз». Дәл,

Әрқайсысы үшін ${ displaystyle x in X}$, кейбіреулері бар ${ displaystyle i}$ осындай ${ displaystyle x in F_ {j}}$ барлығына ${ displaystyle j> i}$, және

${ displaystyle lim _ {i to infty} { frac {| gF_ {i} , triangle , F_ {i} |} {| F_ {i} |}} = 0}$ барлық топ элементтері үшін ${ displaystyle g}$ жылы ${ displaystyle G}$.

Жоғарыда қолданылған белгілерді түсіндіру:

• ${ displaystyle gF_ {i} }$ жиынтықтың нәтижесі ${ displaystyle F_ {i} }$ сол жақта әрекет ету ${ displaystyle g}$. Ол форма элементтерінен тұрады ${ displaystyle gf}$ барлығына ${ displaystyle f}$ жылы ${ displaystyle F_ {i}}$.
• ${ displaystyle triangle}$ болып табылады симметриялық айырмашылық оператор, яғни, ${ displaystyle A үшбұрыш B}$ - жиындардың дәл біреуіндегі элементтер жиынтығы ${ displaystyle A}$ және ${ displaystyle B}$.
• ${ displaystyle | A |}$ болып табылады түпкілікті жиынтықтың ${ displaystyle A}$.

Сонымен, бұл анықтамада топтың кез-келген элементі үшін айтылатын нәрсе ${ displaystyle g}$, элементтерінің үлесі ${ displaystyle F_ {i} }$ ауыстырылған ${ displaystyle g}$ 0 ретінде барады ${ displaystyle i}$ үлкен болады.

А параметрінде жергілікті ықшам топ өлшем кеңістігінде әрекет ету ${ displaystyle (X, mu)}$ жалпы анықтама бар. Ақырлы болудың орнына жиынтықтарда ақырлы, нөлге тең емес өлшем болуы керек, сондықтан Følner талабы

• ${ displaystyle lim _ {i to infty} { frac { mu (gF_ {i} , triangle , F_ {i})} { mu (F_ {i})}} = 0}$,

дискретті жағдайға ұқсас. Стандартты жағдай - сол жаққа аударма арқылы әрекет ететін топтың жағдайы, бұл жағдайда, әдетте, қарастырылатын шара « Хаар өлшемі.

Мысалдар

• Кез келген ақырғы топ ${ displaystyle G}$ тривиальды түрде Følner реттілігі бар ${ displaystyle F_ {i} = G}$ әрқайсысы үшін ${ displaystyle i}$.
• Тобын қарастырайық бүтін сандар, қосу арқылы өздігінен әрекет ету. Келіңіздер ${ displaystyle F_ {i}}$ арасындағы бүтін сандардан тұрады ${ displaystyle -i}$ және ${ displaystyle i}$. Содан кейін ${ displaystyle gF_ {i}}$ арасындағы бүтін сандардан тұрады ${ displaystyle g-i}$ және ${ displaystyle g + i}$. Үлкен үшін ${ displaystyle i}$, симметриялық айырмашылық мөлшері бар ${ displaystyle 2g}$, ал ${ displaystyle F_ {i}}$ мөлшері бар ${ displaystyle 2i + 1}$. Алынған қатынас ${ displaystyle 2g / (2i + 1)}$, ол 0 ретінде өтеді ${ displaystyle i}$ үлкен болады.
• Følner реттілігінің бастапқы анықтамасымен есептелетін топ Følner реттілігіне ие егер және егер болса бұл қолайлы. Ан қол жетімді топ егер ол есептелетін болса ғана Følner дәйектілігі бар. Følner дәйектілігі бар топ тек қолайлы болған жағдайда ғана саналады.
• Жергілікті ықшам топ Følner дәйектілігіне ие (жалпыланған анықтамамен), егер ол қолайлы болса және екінші есептелетін.

Қолайлылықтың дәлелі^{[дәйексөз қажет ]}

Бізде топ бар ${ displaystyle G}$ және Følner реттілігі ${ displaystyle F_ {i}}$және біз өлшемді анықтауымыз керек ${ displaystyle mu}$ қосулы ${ displaystyle G}$, қайсысы философиялық тұрғыдан айтсақ, оның қанша екенін айтады ${ displaystyle G}$ кез келген ішкі жиын ${ displaystyle A}$ қабылдайды. Біздің Følner реттілігін қолданатын табиғи анықтама болар еді

${ displaystyle mu (A) = lim _ {i to infty} {| A cap F_ {i} | over | F_ {i} |}.}$

Әрине, бұл шектеу міндетті түрде болмайды. Осы техниканы жеңу үшін біз ультрафильтр ${ displaystyle U}$ интервалдарды қамтитын натурал сандар бойынша ${ displaystyle [n, infty)}$. Содан кейін біз ультралимит тұрақты емес шектеу:

${ displaystyle mu (A) = U- lim {| A cap F_ {i} | over | F_ {i} |}.}$

Ультралимиттер бізге қажет барлық қасиеттерге ие болады. Атап айтқанда,

1. ${ displaystyle mu}$ Бұл ықтималдық өлшемі. Бұл, ${ displaystyle mu (G) = U- lim 1 = 1}$, өйткені ультралимит тұрақты шектеумен болған кезде сәйкес келеді.
2. ${ displaystyle mu}$ болып табылады ақырғы қоспа. Бұл әдеттегі шектеулер сияқты ультралимиттер маршруты қосумен жүреді.
3. ${ displaystyle mu}$ болып табылады сол жақ өзгермейтін. Бұл содан бері

   ${ displaystyle left | {| gA cap F_ {i} | over | F_ {i} |} - {| A cap F_ {i} | астам | F_ {i} |} оң | = сол | {| A қақпақ g ^ {- 1} F_ {i} | over | F_ {i} |} - {| A cap F_ {i} | over | F_ {i} |} right |}$

   ${ displaystyle leq {| A cap (g ^ {- 1} F_ {i} , triangle , F_ {i}) | over | F_ {i} |} to 0} дейін$

Følner реттілігінің анықтамасы бойынша.

Әдебиеттер тізімі

• Эрлинг Фельнер (1955). «Банахтың орташа мәні толық топтарда». Mathematica Scandinavica. 3: 243–254.