Шектен тыс құндылықтар теориясы - Википедия - Extreme value theory

Экстремалды құндылықтар теориясы төтенше, сирек оқиғалардың қаупін модельдеу үшін қолданылады, мысалы 1755 Лиссабондағы жер сілкінісі.

Шектен тыс құндылықтар теориясы немесе экстремалды құндылықты талдау (EVA) -ның тармағы статистика экстремалды мәселелермен айналысады ауытқулар бастап медиана туралы ықтималдық үлестірімдері. Ол берілген тапсырыстан бағалауға тырысады үлгі берілген кездейсоқ шаманың, бұрын байқалғаннан гөрі төтенше жағдайлардың болу ықтималдығы. Экстремалды құндылықтарды талдау көптеген пәндерде кеңінен қолданылады, мысалы құрылымдық инженерия, қаржы, жер туралы ғылымдар, трафикті болжау және геологиялық инженерия. Мысалы, EVA өрісінде қолданылуы мүмкін гидрология сияқты ерекше су басу оқиғасының ықтималдығын бағалау үшін 100 жылдық су тасқыны. Сол сияқты, а толқын су, а жағалау инженері 50 жылдық толқынды бағалауға және құрылымды соған сәйкес жобалауға тырысады.

Мәліметтерді талдау

Экстремалды құндылықтарды талдау үшін екі тәсіл бар.

Бірінші әдіс алдын-ала қадам ретінде блок максимумдар (минимумдар) серияларын алуға негізделген. Көптеген жағдайларда «Жылдық Максималар Сериясын» (AMS) құра отырып, жылдық максимумдарды (минимумдарды) алу әдеттегі және ыңғайлы.

Екінші әдіс үздіксіз жазбадан мәндер белгілі бір шекті мәннен асып түсетін (белгілі бір шектен төмен түсетін) кез келген кезеңге жеткен шың мәндерін алуға негізделген. Әдетте бұл әдіс «Шекті асу» деп аталады ^[1] әдіс (POT).

AMS деректері үшін талдау ішінара нәтижелеріне сенуі мүмкін Фишер – Типпетт – Гнеденко теоремасы, дейін жалпыланған төтенше құндылықтарды бөлу фитингке таңдалуда.^[2][3] Алайда, іс жүзінде, тарату ауқымын кеңірек таңдау үшін әртүрлі процедуралар қолданылады. Мұндағы теорема өте үлкен коллекцияның минимумға немесе максимумға шекті үлестірулеріне қатысты тәуелсіз кездейсоқ шамалар сол таралудан. Бір жыл ішіндегі кездейсоқ оқиғалардың саны едәуір шектеулі болуы мүмкін екенін ескере отырып, бақыланатын БАЖ деректерін талдау көбінесе жалпыланған экстремалды шамаларды бөлуден (GEVD) бөлуге әкелетіні таңқаларлық емес.^[4]

POT деректері үшін талдау екі үлестіруді қамтуы мүмкін: бірін қарастырған уақыт ішіндегі оқиғалар санына, ал екіншісінен асып кету мөлшеріне.

Біріншісіне ортақ болжам - бұл Пуассонның таралуы, бірге Паретоның жалпыланған таралуы асып кету үшін қолданылады. A құйрық негізінде болуы мүмкін Пиккандар-Балкема-де-Хаан теоремасы.^[5][6]

Новак^[7] шекті кездейсоқ емес жағдайға дейін «POT әдісі» терминін сақтайды және оны кездейсоқ шекті асып кету жағдайынан ажыратады.

Қолданбалар

Экстремалды құндылықтар теориясының қолданылуына мыналардың ықтималдығын бөлуді болжау жатады:

• Экстремалды су тасқыны; Мөлшері толқындар
• Торнадо ошақтары ^[8]
• Экологиялық популяциялардың максималды мөлшері ^[9]
• Дәрілердің жанама әсерлері (мысалы, Химелагатран )
• Үлкен мөлшерде сақтандыру шығындар
• Меншікті капиталға қатысты тәуекелдер; Күн сайынғы нарықтық тәуекел
• Кезіндегі мутациялық оқиғалар эволюция
• Үлкен дала өрттері^[10]
• Құрылымдарға экологиялық жүктемелер^[11]
• Адамдардың ең жылдам жұмыс істей алатын уақытын бағалаңыз 100 метр жүгіру^[12] және басқа да спорттық пәндер бойынша қойылымдар.^[13][14]
• Құбырдың ақаулары шұңқырлы коррозия.
• Аномальды IT-трафик трафигі, шабуылдаушылардың маңызды деректерге жетуіне жол бермейді
• Жол қауіпсіздігін талдау ^[15][16]
• Сымсыз байланыс ^[17]
• Эпидемия^[18]

Тарих

Экстремалды құндылықтар теориясының өрісін алғашқылар құрды Леонард Типпетт (1902–1985). Типпетт жұмысқа орналастырылды Британдық мақта саласын зерттеу қауымдастығы, онда ол мақта жібін мықты ету үшін жұмыс істеді. Оқу барысында ол жіптің беріктігі оның әлсіз талшықтарының беріктігімен басқарылатындығын түсінді. Көмегімен Фишер, Типпет тәуелсіз айнымалылар болатын экстремалдардың таралуын сипаттайтын үш асимптотикалық шекті алды. Эмиль Джулиус Гумбель бұл теорияны 1958 жылғы кітабында кодтады Шектен тыс статистика, оның ішінде Гумбель үлестірімдері оның есімі бар. Бұл нәтижелер айнымалылар арасындағы шамалы корреляцияға жол беруге дейін кеңейтілуі мүмкін, бірақ классикалық теория дисперсия тәртібінің күшті корреляциясына таралмайды. Ерекше қызығушылық тудыратын бір әмбебаптық класы - бұл журналмен байланысты өрістер, онда корреляциялар логарифмдік арақашықтыққа қарай ыдырайды.

Шектік құндылықтар теориясына қатысты тарихи маңызды басылымдардың қысқаша мазмұнын мақалада табуға болады Статистикадағы жарияланымдардың тізімі.

Бір мәнді теория

Келіңіздер ${ displaystyle X_ {1}, нүктелер, X_ {n}}$ тізбегі болуы керек тәуелсіз және бірдей бөлінген кездейсоқ шамалар жинақталған үлестіру функциясы F және рұқсат етіңіз ${ displaystyle M_ {n} = max (X_ {1}, нүкте, X_ {n})}$ максимумды белгілеңіз.

Теориялық тұрғыдан максимумның дәл бөлінуін алуға болады:

${ displaystyle { begin {aligned} Pr (M_ {n} leq z) & = Pr (X_ {1} leq z, dots, X_ {n} leq z) & = Pr (X_ {1} leq z) cdots Pr (X_ {n} leq z) = (F (z)) ^ {n}. End {aligned}}}$

Байланысты индикатор функциясы ${ displaystyle I_ {n} = I (M_ {n}> z)}$ Бұл Бернулли процесі сәттілік ықтималдығымен ${ displaystyle p (z) = 1- (F (z)) ^ {n}}$ бұл шамасына байланысты ${ displaystyle z}$ экстремалды оқиға. Ішіндегі экстремалды оқиғалардың саны ${ displaystyle n}$ осылайша сынақтар а биномдық тарату және оқиға орын алғанға дейінгі сынақтар саны а геометриялық үлестіру күтілетін мәні мен бірдей ретті стандартты ауытқуымен ${ displaystyle O (1 / p (z))}$.

Іс жүзінде бізде тарату функциясы болмауы мүмкін ${ displaystyle F}$ Бірақ Фишер – Типпетт – Гнеденко теоремасы асимптотикалық нәтиже береді. Егер тұрақты тізбектер болса ${ displaystyle a_ {n}> 0}$ және ${ displaystyle b_ {n} in mathbb {R}}$ осындай

${ displaystyle Pr {(M_ {n} -b_ {n}) / a_ {n} leq z } оң жақ G (z)}$

сияқты ${ displaystyle n rightarrow infty}$ содан кейін

${ displaystyle G (z) propto exp left [- (1+ zeta z) ^ {- 1 / zeta} right]}$

қайда ${ displaystyle zeta}$ таралудың құйрық пішініне байланысты. G келесілердің біріне жатадыдеградациялық таралу отбасылар:

Вейбулл заңы: ${ displaystyle G (z) = { begin {case} exp left {- left (- left ({ frac {zb} {a}} right) right) ^ { alpha} оң } & z$болған кезде ${ displaystyle M_ {n}}$ ақырғы жоғарғы шегі бар жеңіл құйрығы бар. Сондай-ақ, 3 тип деп те аталады.

Гумбель заңы: ${ displaystyle G (z) = exp left {- exp left (- сол ({ frac {zb} {a}} right) right) right } { text {for} } z in mathbb {R}.}$ болған кезде ${ displaystyle M_ {n}}$ экспоненциалды құйрығы бар. Сондай-ақ 1 тип деп те аталады

Фреш заңы: ${ displaystyle G (z) = { begin {case} 0 & z leq b exp left {- left ({ frac {zb} {a}} right) ^ {- alpha} оң } & z> b. end {жағдайлар}}}$ болған кезде ${ displaystyle M_ {n}}$ бар ауыр құйрық (полиномдық ыдырауды қосқанда). Сондай-ақ 2 тип деп те аталады.

Барлық жағдайда, ${ displaystyle alpha> 0}$.

Көп өзгермелі теория

Экстремалды құндылықтар теориясы бірнеше айнымалыларда шешілуі керек қосымша мәселелерді ұсынады. Туындайтын проблемалардың бірі - экстремалды жағдайға не жататынын көрсету керек.^[19] Бұл бір айнымалы жағдайда тікелей болғанымен, көп айнымалы жағдайда мұны жүзеге асырудың біржақты әдісі жоқ. Негізгі проблема мынада: нақты бағаланған сандар жиынтығына тапсырыс беру мүмкін болғанымен, векторлар жиынтығына тапсырыс берудің табиғи тәсілі жоқ.

Мысал ретінде, бір айнымалы жағдайда, бақылаулар жиынтығы келтірілген ${ displaystyle x_ {i}}$ бақылаулардың максималды (немесе минималды) мөлшерін қолдану арқылы ең экстремалды оқиғаны табу оңай. Алайда, екі вариантты жағдайда, бақылаулар жиынтығы берілген ${ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$, ең экстремалды оқиғаны қалай табуға болатындығы бірден анық емес. Біреуі мәндерді өлшеді делік ${ displaystyle (3,4)}$ белгілі бір уақытта және мәндер ${ displaystyle (5,2)}$ кейінірек. Осы оқиғалардың қайсысы экстремалды деп саналады? Бұл сұраққа әмбебап жауап жоқ.

Көп айнымалы жағдайдағы тағы бір мәселе - шектеулі модель бір айнымалы жағдайдағыдай толық тағайындалмаған. Бірмәнді жағдайда модель (GEV таралуы ) үш параметрді қамтиды, олардың мәні теориямен болжанбаған және үлестірімді мәліметтерге сәйкестендіру арқылы алынуы керек. Көп айнымалы жағдайда модель тек белгісіз параметрлерді ғана емес, сонымен қатар нақты формасы теориямен белгіленбеген функцияны да қамтиды. Алайда, бұл функция белгілі бір шектеулерге бағынуы керек.^[20][21]

Қолданудың мысалы ретінде мұхитты зерттеуге екі мәнді экстремалды құндылықтар теориясы қолданылды.^[19][22]

Сондай-ақ қараңыз

• Өте қауіпті
• Ауа-райының күрт өзгеруі
• Фишер – Типпетт – Гнеденко теоремасы
• Жалпы құнды шекті үлестіру
• Ауытқудың үлкен теориясы
• Көбірек
• Паретоның таралуы
• Пиккандар-Балкема-де-Хаан теоремасы
• Сирек оқиғалар
• Weibull таралуы

Бұл мақалада жалпы тізімі бар сілтемелер, бірақ бұл негізінен тексерілмеген болып қалады, өйткені ол сәйкесінше жетіспейді кірістірілген дәйексөздер. Көмектесіңізші жақсарту осы мақала таныстыру дәлірек дәйексөздер. (Қыркүйек 2010) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Ескертулер

1. ^ Leadbetter, M. R. (1991). «» Шекті асу «модельдеу негізінде». Статистика және ықтималдық хаттары. 12 (4): 357–362. дои:10.1016/0167-7152(91)90107-3.
2. ^ Фишер мен Типпетт (1928)
3. ^ Гнеденко (1943)
4. ^ Embrechts, Klüppelberg және Mikosch (1997)
5. ^ Пикандар (1975)
6. ^ Балкема және де Хаан (1974)
7. ^ Новак (2011)
8. ^ | дои = 10.1126 / ғылым.aah7393
9. ^ Батт, Райан Д .; Ағаш ұстасы, Стивен Р .; Ives, Anthony R. (наурыз 2017). «Көлдер экожүйесіндегі экстремалды оқиғалар». Лимнология және океанография хаттары. 2 (3): 63. дои:10.1002 / lol2.10037.
10. ^ Альвардо (1998, 68-бет)
11. ^ Макконен (2008)
12. ^ Дж. Einmahl & S.G.W.R. Smeets (2009), «Экстремалды теория арқылы 100 метрлік әлем рекордтары» (PDF), Орталықтың пікірталас қағазы, Тилбург университеті, 57, мұрағатталған түпнұсқа (PDF) 2016-03-12, алынды 2009-08-12CS1 maint: авторлар параметрін қолданады (сілтеме)
13. ^ Д.Гембрис, Дж.Тейлор және Д.Сутер (2002), «Жеңіл атлетикадағы тенденциялар және кездейсоқ ауытқулар», Табиғат, 417 (6888): 506, Бибкод:2002 ж. 4117..506G, дои:10.1038 / 417506a, hdl:2003/25362, PMID  12037557, S2CID  13469470CS1 maint: авторлар параметрін қолданады (сілтеме)
14. ^ Д.Гембрис, Дж.Тейлор және Д.Сутер (2007), «Спорттық жазбалардың эволюциясы: Статистикалық эффекттер мен нақты жақсартулар», Қолданбалы статистика журналы, 34 (5): 529–545, дои:10.1080/02664760701234850, hdl:2003/25404, S2CID  55378036CS1 maint: авторлар параметрін қолданады (сілтеме)
15. ^ Сонгчитрукса, П .; Tarko, A. P. (2006). «Қауіпсіздікті бағалаудағы экстремалды құндылықтар теориясының тәсілі». Апаттарды талдау және алдын алу. 38 (4): 811–822. дои:10.1016 / j.aap.2006.02.003. PMID  16546103.
16. ^ Орсини, Ф .; Гечеле, Г .; Гастальди М .; Rossi, R. (2019). «Айналмалы жолдардағы соқтығысуды болжау: экстремалды құндылықтар теориясының тәсілдерін салыстырмалы түрде зерттеу». Transportmetrica A: Көлік ғылымдары. 15 (2): 556–572. дои:10.1080/23249935.2018.1515271. S2CID  158343873.
17. ^ Ц. Цинос, Ф. Фукалас, Т. Хаттаб және Л. Лай, «Тасымалдаушыларды біріктіру жүйелеріне арнаны таңдау туралы. «IEEE Transaction on Communication, 66 т., № 2, ақпан 2018 ж.) 808-818.
18. ^ Вонг, Феликс; Коллинз, Джеймс Дж. (2020-11-02). «Коронавирустың көбеюі май құйрықты екендігінің дәлелі». Ұлттық ғылым академиясының материалдары. дои:10.1073 / pnas.2018490117. ISSN  0027-8424. PMID  33139561.
19. ^ ^{а б} Мортон, И.Д .; Bowers, J. (желтоқсан 1996). «Көп мәнді оффшорлық ортадағы экстремалды құндылықтарды талдау». Мұхитты қолданбалы зерттеу. 18 (6): 303–317. дои:10.1016 / s0141-1187 (97) 00007-2. ISSN  0141-1187.
20. ^ Бейрлант, қаңтар; Гигебур, Юрий; Тейгельс, Джозеф; Сегерс, Йохан (2004-08-27). Шектен тыс статистика: теориясы және қолданылуы. Wiley Series - ықтималдық және статистика. Чичестер, Ұлыбритания: Джон Вили және ұлдары, Ltd. дои:10.1002/0470012382. ISBN  9780470012383.
21. ^ Колес, Стюарт (2001). «Экстремалды құндылықтарды статистикалық модельдеуге кіріспе». Статистикадағы Springer сериясы. дои:10.1007/978-1-4471-3675-0. ISBN  978-1-84996-874-4. ISSN  0172-7397.
22. ^ Закары, С .; Фелд, Г .; Уорд, Г .; Вольфрам, Дж. (Қазан 1998). «Офшорлық ортадағы көпөлшемді экстраполяция». Мұхитты қолданбалы зерттеу. 20 (5): 273–295. дои:10.1016 / s0141-1187 (98) 00027-3. ISSN  0141-1187.

Әдебиеттер тізімі

• Абарбанель, Х .; Коунин, С .; Левин, Х .; Макдональд, Г .; Rothaus, O. (қаңтар 1992), «Климатқа қатысты төтенше оқиғалардың статистикасы» (PDF), JASON, JSR-90-30S, алынды 2015-03-03
• Альварадо, Эрнесто; Сандберг, Дэвид V .; Пикфорд, Стюарт Г. (1998), «Үлкен орман өрттерін экстремалды оқиғалар ретінде модельдеу» (PDF), Солтүстік-батыс ғылымы, 72: 66–75, мұрағатталған түпнұсқа (PDF) 2009-02-26, алынды 2009-02-06
• Балкема, А .; Лоренс (1974), «Үлкен жаста қалдық өмір сүру уақыты», Ықтималдық шежіресі, 2 (5): 792–804, дои:10.1214 / aop / 1176996548, JSTOR  2959306
• Берри К.В. (1975). Қолданбалы ғылымдағы статистикалық әдістер. Джон Вили және ұлдары.
• Castillo E. (1988) Инженерліктегі шекті құндылықтар теориясы. Academic Press, Inc. Нью-Йорк. ISBN  0-12-163475-2.
• Кастилло, Э., Хади, А.С., Балакришнан, Н. және Сарабия, Дж. (2005) Экстремалды құндылық және онымен байланысты модельдер инженерия мен ғылымда, Wiley сериялары ықтималдықтар мен статистикаларда Wiley, Hoboken, New Jersey. ISBN  0-471-67172-X.
• Coles S. (2001) Экстремалды құндылықтарды статистикалық модельдеуге кіріспе. Спрингер, Лондон.
• Embrechts P., Клюппелберг С. және Микош Т. (1997) Сақтандыру және қаржы саласындағы экстремалды оқиғаларды модельдеу. Берлин: Көктемгі Верлаг
• Фишер, Р.А .; Типпетт, Л.Х. (1928), «Үлгінің ең үлкен және ең кіші мүшесінің жиілігін бөлудің шектеулі түрлері», Proc. Camb. Фил. Soc., 24 (2): 180–190, Бибкод:1928PCPS ... 24..180F, дои:10.1017 / s0305004100015681
• Гнеденко, Б.В. (1943), «Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aleatoire», Математика жылнамалары, 44 (3): 423–453, дои:10.2307/1968974, JSTOR  1968974
• Гумбель, Э.Дж. (1935), «Les valeurs extrêmes des distribution Statistics» (PDF), Annales de l'Institut Анри Пуанкаре, 5 (2): 115–158, алынды 2009-04-01
• Гумбель, Э.Дж. (2004) [1958], Шектен тыс статистика, Минеола, Нью-Йорк: Довер, ISBN  978-0-486-43604-3
• Макконен, Л. (2008), «Төтенше құндылықтарды талдау мәселелері», Құрылымдық қауіпсіздік, 30 (5): 405–419, дои:10.1016 / j.strusafe.2006.12.001
• Лидбеттер, М.Р (1991), «« Шекті асу »модельдеу негізінде», Статистика және ықтималдық туралы хаттар, 12 (4): 357–362, дои:10.1016/0167-7152(91)90107-3
• Leadbetter MR, Lindgren G. and Rootzen H. (1982) Кездейсоқ тізбектер мен процестердің шекті мәндері және байланысты қасиеттері. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк.
• Линдгрен, Г .; Rootzen, H. (1987), «Экстремалды құндылықтар: теория және техникалық қолдану», Скандинавия статистикасы, теориясы және қолданбалы журналы, 14: 241–279
• Новак С.Я. (2011) Қаржыландыруға болатын шекті құндылық әдістері. Chapman & Hall / CRC Press, Лондон. ISBN  978-1-4398-3574-6
• Pickands, J (1975), «Төтенше тәртіп статистикасын қолданатын статистикалық қорытынды», Статистика жылнамалары, 3: 119–131, дои:10.1214 / aos / 1176343003

Бағдарламалық жасақтама

• R-дегі ең жоғарғы құндылық статистикасы - R-де экстремалды құндылық статистикасына арналған пакеттер
• ExtremeStats.jl - Джулиядағы экстремалды құндылықтар статистикасы
• Extremes.jl - Джулиядағы экстремалды құндылықтар статистикасы

Сыртқы сілтемелер

• Экстремалды құндылық теориясы сіздің мойныңызды сақтай алады Математикалық емес қарапайым кіріспе (pdf)
• Стационарлық және демонстрациялық экстремалды құндылықты талдаудың бастапқы коды Калифорния университеті, Ирвин
• Экстремалды құндылық теориясын қаржыға қолдану қадамдары: шолу
• Les valeurs extrêmes des үлестіру статистикасы 1933–34 жылдары Э. Дж.Гумбель өткізген конференцияларға толық мәтінді қол жетімділік, француз тілінде (pdf)