Экспоненциалды объект - Exponential object

Жылы математика, атап айтқанда категория теориясы, an экспоненциалды объект немесе карта нысаны а-ның категориялық қорытуы болып табылады кеңістік жылы жиынтық теориясы. Санаттар барлығымен ақырлы өнімдер және экспоненциалды объектілер деп аталады декарттық жабық санаттар. Санаттар (мысалы ішкі категориялар туралы Жоғары) іргелес өнімдерсіз әлі де болуы мүмкін экспоненциалды заң.^[1][2]

Анықтама

Келіңіздер ${ displaystyle mathbf {C}}$ санат бол, рұқсат ет ${ displaystyle Z}$ және ${ displaystyle Y}$ болуы нысандар туралы ${ displaystyle mathbf {C}}$және рұқсат етіңіз ${ displaystyle mathbf {C}}$ барлығы бар екілік өнімдер бірге ${ displaystyle Y}$. Нысан ${ textstyle Z ^ {Y}}$ бірге морфизм ${ textstyle mathrm {eval} қос нүкте (Z ^ {Y} рет Y) оң жақ Z}$ болып табылады экспоненциалды объект егер кез-келген объект үшін болса ${ displaystyle X}$ және морфизм ${ textstyle g қос нүкте X есе Y -дан Z-ге дейін}$ бірегей морфизм бар ${ textstyle lambda g қос нүкте X ден Z ^ {Y}}$ (деп аталады транспозициялау туралы ${ displaystyle g}$) келесі схема маршруттар:

Бұл бірегей тапсырма ${ displaystyle lambda g}$ әрқайсысына ${ displaystyle g}$ орнатады изоморфизм туралы үй жиынтықтары, ${ textstyle mathrm {Hom} (X есе Y, Z) cong mathrm {Hom} (X, Z ^ {Y}).}$

Егер ${ textstyle Z ^ {Y}}$барлық нысандар үшін бар ${ displaystyle Z, Y}$ жылы ${ displaystyle mathbf {C}}$, содан кейін функция ${ displaystyle (-) ^ {Y} қос нүкте mathbf {C} -ден mathbf {C}}$ нысандар бойынша анықталды ${ displaystyle Z mapsto Z ^ {Y}}$ және көрсеткілерде ${ displaystyle (f colon X to Z) mapsto (f ^ {Y} colon X ^ {Y} to Z ^ {Y})}$, Бұл оң жақ қосылыс өнім функциясына ${ displaystyle - рет Y}$. Осы себепті морфизмдер ${ displaystyle lambda g}$ және ${ displaystyle g}$ кейде деп аталады экспоненциалды қосылыстар бір-бірінің.^[3]

Теңдеудің анықтамасы

Сонымен қатар, экспоненциалды объектіні теңдеулер арқылы анықтауға болады:

• Бар болуы ${ displaystyle lambda g}$ операцияның болуымен кепілдендірілген ${ displaystyle lambda -}$.
• Жоғарыдағы сызбалардың коммутативтілігіне теңдік кепілдік береді ${ displaystyle forall g қос нүкте X есе Y -дан Z-ге дейін, mathrm {eval} circ ( lambda g times mathrm {id} _ {Y}) = g}$.
• Бірегейлігі ${ displaystyle lambda g}$ теңдікпен кепілдендірілген ${ displaystyle forall h қос нүкте X -дан Z ^ {Y}, lambda ( mathrm {eval} circ (h times mathrm {id} _ {Y})) = h}$.

Әмбебап меншік

Экспоненциалды ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ арқылы беріледі әмбебап морфизм өнім функциясынан ${ displaystyle - рет Y}$ объектіге ${ displaystyle Z}$. Бұл әмбебап морфизм объектіден тұрады ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ және морфизм ${ textstyle mathrm {eval} қос нүкте (Z ^ {Y} рет Y) оң жақ Z}$.

Мысалдар

Ішінде жиынтықтар санаты, экспоненциалды объект ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ - бұл барлық функциялар жиынтығы ${ displaystyle Y to Z}$.^[4] Карта ${ displaystyle mathrm {eval} қос нүкте (Z ^ {Y} есе Y) -ден Z} -ге дейін$ бұл тек бағалау картасы, бұл жұпты жібереді ${ displaystyle (f, y)}$ дейін ${ displaystyle f (y)}$. Кез-келген карта үшін ${ displaystyle g қос нүкте (X есе Y) оң жақ Z}$ карта ${ displaystyle lambda g қос нүкте X ден Z ^ {Y}}$ болып табылады қисық нысаны ${ displaystyle g}$:

${ displaystyle lambda g (x) (y) = g (x, y). ,}$

A Алгебра ${ displaystyle H}$ тек шектелген тор барлық экспоненциалды нысандары бар. Мағынаны білдіру, ${ displaystyle Y Rightarrow Z}$, үшін балама жазба болып табылады ${ displaystyle Z ^ {Y}}$. Жоғарыда келтірілген қосымша нәтижелер импликацияға айналады (${ displaystyle Rightarrow: H H-ден H} дейін}$) болу оң жақ қосылыс дейін кездесу (${ displaystyle wedge: H times H to H}$). Бұл қосымша ретінде жазуға болады ${ displaystyle (- wedge Y) dashv (Y Rightarrow -)}$немесе толығырақ:

$${ displaystyle (- wedge Y): H { stackrel { longrightarrow} { underset { longleftarrow} { top}}} H: (Y Rightarrow -)}$$

Ішінде топологиялық кеңістіктер категориясы, экспоненциалды объект ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ бар болған жағдайда бар ${ displaystyle Y}$ Бұл жергілікті ықшам Хаусдорф кеңістігі. Бұл жағдайда кеңістік ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ барлығының жиынтығы үздіксіз функциялар бастап ${ displaystyle Y}$ дейін ${ displaystyle Z}$ бірге ықшам және ашық топология. Бағалау картасы жиындар санатымен бірдей; ол жоғарыдағы топологиямен үздіксіз.^[5] Егер ${ displaystyle Y}$ жергілікті шағын Хаусдорф емес, экспоненциалды объект болмауы мүмкін (кеңістік ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ әлі де бар, бірақ ол экспоненциалды объект бола алмауы мүмкін, өйткені бағалау функциясы үздіксіз болмауы керек). Осы себептен топологиялық кеңістіктер санаты декартиялық жабық бола алмайды, алайда жергілікті ықшам топологиялық кеңістіктер де картезианалық емес, өйткені жабық емес ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ жергілікті ықшам кеңістіктер үшін ықшам болмауы керек ${ displaystyle Z}$ және ${ displaystyle Y}$. Кеңістіктің декартиялық жабық категориясы, мысалы, толық ішкі санат арқылы созылған ықшам құрылған Hausdorff кеңістігі.

Жылы функционалды бағдарламалау тілдері, морфизм ${ displaystyle operatorname {eval}}$ жиі болады деп аталады ${ displaystyle operatorname {apply}}$ және синтаксис ${ displaystyle lambda g}$ жиі болады жазылған ${ displaystyle operatorname {curry} (g)}$. Морфизм ${ displaystyle operatorname {eval}}$ Мұнымен шатастыруға болмайды бағалау кейбірінде жұмыс істейді бағдарламалау тілдері, келтірілген өрнектерді бағалайды.

Сондай-ақ қараңыз

• Жабық моноидты категория

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Адамек, Джизи; Хорст Геррлих; Джордж Стрекер (2006) [1990]. Реферат және бетон категориялары (мысықтардың қуанышы). Джон Вили және ұлдары.
• Аводи, Стив (2010). «6 тарау: экспоненциалдар». Санаттар теориясы. Оксфорд Нью-Йорк: Оксфорд университетінің баспасы. ISBN  978-0199237180.
• МакЛейн, Сондерс (1998). «4 тарау: қосымшалар». Жұмыс істейтін математикке арналған категориялар. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0387984032.

Сыртқы сілтемелер

• Интерактивті веб-парақ экспоненциалды объектілердің және басқа категориялық конструкциялардың мысалдарын жасайды. Жазылған Джоселин Пейн.