Рационалды функциялар үшін интеграция әдісі.
Туралы мақалалар топтамасының бөлігі |
Есеп |
---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эйлерді ауыстыру форманың интегралдарын бағалау әдісі болып табылады
![{ displaystyle int R (x, { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}) , dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8039552da1359e55122a07d4a3875b8f33c88f)
қайда
-ның рационалды функциясы болып табылады
және
. Мұндай жағдайларда интегралды Эйлердің алмастыруларын қолдану арқылы рационалды функцияға өзгертуге болады.[1]
Эйлердің бірінші ауыстыруы
Эйлердің бірінші алмастыруы қашан қолданылады
. Біз ауыстырамыз
![{ displaystyle { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = pm x { sqrt {a}} + t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96c437d96aa9e353c74184cac4c63b35ac87bca)
және үшін өрнекті шешіңіз
. Бізде сол бар
және бұл
термині ұтымды түрде көрінеді
.
Бұл алмастыруда оң немесе теріс таңбаны таңдауға болады.
Эйлердің екінші ауыстыруы
Егер
, біз аламыз
![{ displaystyle { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = xt pm { sqrt {c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a171a5ce7034ed4150b72f411d7ad6d1504bcb)
Біз шешеміз
жоғарыдағы сияқты және табыңыз![{ displaystyle x = { frac { pm 2t { sqrt {c}} - b} {a-t ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130291e8fb094109982f1f15fb568da419102d71)
Тағы да, оң немесе теріс белгіні таңдауға болады.
Эйлердің үшінші ауыстыруы
Егер көпмүше болса
нақты тамыры бар
және
, біз таңдай аламыз
. Бұл өнім береді
және алдыңғы жағдайлардағыдай, біз интегралды түгелдей рационалды түрде өрнектей аламыз
.
Мысалдар жұмыс істеді
Эйлерді бірінші ауыстыруға арналған мысалдар
Бір
Интегралда
біз бірінші ауыстыру мен жиынтығын қолдана аламыз
, осылайша
![{ displaystyle x = { frac {t ^ {2} -c} {2t}} quad quad dx = { frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2}}} , dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9dc9f517e8dfeb612a450bd80cd0644cb9d82a)
![sqrt {x ^ 2 + c} = - frac {t ^ 2-c} {2t} + t = frac {t ^ 2 + c} {2t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1f32a86d6447dcbf71d0b3bfef6aeb718c20b3)
Тиісінше, біз мыналарды аламыз:
![{ displaystyle int { frac { dx} { sqrt {x ^ {2} + c}}} = int { frac { frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2} }} { frac {t ^ {2} + c} {2t}}} , dt = int ! { frac { dt} {t}} = ln | t | + C = ln | x + { sqrt {x ^ {2} + c}} | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e7535c350cfd2aab7a9aa053895f717e1d9313)
Істер
формулаларды беріңіз
![{ displaystyle { begin {aligned} int { frac { dx} { sqrt {x ^ {2} +1}}} & = { mbox {arsinh}} (x) + C [6pt ] int { frac { dx} { sqrt {x ^ {2} -1}}} & = { mbox {arcosh}} (x) + C qquad (x> 1) end {aligned} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba7bf29d04c278d8e2783f7a6e67c3b8a143776)
Екі
Мәнін табу үшін
![{ displaystyle int { frac {1} {x { sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e8d8283800eb90363da59ccc5267320f03a05a)
біз табамыз
Эйлердің бірінші алмастыруын қолдана отырып,
. Теңдеудің екі жағын да квадратқа бөлу бізге мүмкіндік береді
, одан
шарттар жойылады. Шешу
өнімділік
![{ displaystyle x = { frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084c2ae6034b546bbd505ddb27c23a796b23f122)
Сол жерден біз дифференциалдарды табамыз
және
байланысты
![{ displaystyle dx = { frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ec223693085f3895a77ea3e31f43f6f3f121ea)
Демек,
![{ displaystyle { begin {aligned} int { frac {dx} {x { sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}}} & = int { frac { frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} {({ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}) ({ frac {-t ^ { 2} + 4t + 4} {4-2t}})}} dt [6pt] & = 2 int { frac {dt} {t ^ {2} +4}} = tan ^ {- 1 } солға ({ frac {t} {2}} оңға) + C && t = { sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x [6pt] & = tan ^ {- 1 } солға ({ frac {{ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x} {2}} оңға) + C соңы {тураланған}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416135ec0f98e3c50b1a8c6dc10d4073211c791b)
Эйлерді екінші ауыстыруға арналған мысалдар
Интегралда
![{ displaystyle int ! { frac {dx} {x { sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54702557947f3719d0a492169c4a26740acbbac0)
біз екінші ауыстыру мен жиынтығын қолдана аламыз
. Осылайша
![{ displaystyle x = { frac {1-2 { sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} qquad dx = { frac {2 { sqrt {2}} t ^ { 2} -2t-2 { sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777405e6af1c688d2bb755e94e7203b18c9b1aed)
және
![{ displaystyle { sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = { frac {1-2 { sqrt {2t}}} {t ^ {2} +1}} t + { sqrt { 2}} = { frac {- { sqrt {2}} t ^ {2} + t + { sqrt {2}}} {t ^ {2} +1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd2fd25f58b82240e4ac24367d92d362c5c6913)
Тиісінше, біз мыналарды аламыз:
![{ displaystyle { begin {aligned} int { frac {dx} {x { sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}}} & = int { frac { frac {2 { sqrt {2}} t ^ {2} -2t-2 { sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} {{ frac {1-2 { sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} { frac {- { sqrt {2}} t ^ {2} + t + { sqrt {2}}} {t ^ {2} + 1}}}} dt [6pt] & = int ! { Frac {-2} {- 2 { sqrt {2}} t + 1}} dt = { frac {1} { sqrt {2}}} int { frac {-2 { sqrt {2}}} {- 2 { sqrt {2}} t + 1}} dt [6pt] & = { frac {1} { sqrt {2}}} ln { Biggl |} 2 { sqrt {2}} t-1 { Biggl |} + C = { frac { sqrt {2}} {2}} ln { Biggl |} 2 { sqrt {2}} { frac {{ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} - { sqrt {2}}} {x}} - 1 { Biggl |} + C end {тураланған}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0037b1792c19a38efef1e1977b8265b909158422)
Эйлерді үшінші ауыстыруға арналған мысалдар
Бағалау
![{ displaystyle int ! { frac {x ^ {2}} { sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accc45df3da8c878b180948d6b1426637aca4c95)
біз үшінші ауыстыру мен жиынтығын қолдана аламыз
. Осылайша
![{ displaystyle x = { frac {-2t ^ {2} -1} {- t ^ {2} -1}} qquad dx = { frac {2t} {(- t ^ {2} -1 ) {{2}}} , dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b78c7b129c360a901c35ba3cbf43270c413c61)
және
![{ displaystyle { sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}} = (x-2) t = { frac {t} {- t ^ {2} -1.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d100d27d4215003b0955d52f54deb5931839cfa)
Келесі,
![{ displaystyle int { frac {x ^ {2}} { sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} dx = int { frac {({ frac {-2t ^ {) 2} -1} {- t ^ {2} -1}}) ^ {2} { frac {2t} {(- t ^ {2} -1) ^ {2}}}} { frac {t } {- t ^ {2} -1}}} dt = int { frac {2 (-2t ^ {2} -1) ^ {2}} {((- t ^ {2} -1) ^ {2}) ^ {3}}} dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55189f1721824b65c73197af850a599272e0be1)
Көріп отырғанымыздай, бұл бөлшек бөлшектердің көмегімен шешілетін ұтымды функция.
Жалпылау
Эйлердің алмастыруларын ойдан шығарылған сандарды пайдалануға мүмкіндік беру арқылы жалпылауға болады. Мысалы, интегралда
, ауыстыру
пайдалануға болады. Күрделі сандардың кеңеюі Эйлерді алмастырудың барлық түрін квадрат бойынша коэффициенттерге қарамастан қолдануға мүмкіндік береді.
Эйлердің алмастыруларын функциялардың үлкен класына жалпылауға болады. Пішіннің интегралдарын қарастырыңыз
![{ displaystyle int R_ {1} { Big (} x, { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} { Big)} , log { Big (} R_ {2} {) Үлкен (} x, { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} { Big)} { Big)} , dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e271c834837fdf033eb629a544bdd6bc5494452)
қайда
және
-ның рационалды функциялары болып табылады
және
. Бұл интегралды алмастыру арқылы түрлендіруге болады
басқа интегралға
![{ displaystyle int { tilde {R}} _ {1} (t) log { big (} { tilde {R}} _ {2} (t) { big)} , dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d79352aff557a64be5e6d7cc6e2080f5908c2ee)
қайда
және
енді жай рационалды функциялар болып табылады
. Асылында, факторизация және бөлшек бөлшектің ыдырауы интегралды қарапайым терминдерге бөлу үшін қолдануға болады, оларды аналитикалық жолмен интеграциялауға болады дилогарифм функциясы.[2]
Сондай-ақ қараңыз
Математика порталы
Әдебиеттер тізімі
- ^ Н.Пискунов, Diferentsiaal- ja integraalarvutus korgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Киржаст Вальгус, Таллин (1965). Ескерту: Эйлерді алмастыруды ресейлік есептеу оқулықтарының көпшілігінде табуға болады.
- ^ Цвиллингер, Даниэль. Интеграция туралы анықтама. 1992: Джонс пен Бартлетт. 145–146 бет. ISBN 978-0867202939.CS1 maint: орналасқан жері (сілтеме)
Бұл мақалада Эйлердің интеграцияға арналған ауыстырулар туралы материалы бар PlanetMath бойынша лицензияланған Creative Commons Attribution / Share-Alike лицензиясы.