Эллиптикалық когомология - Elliptic cohomology

Жылы математика, эллиптикалық когомология Бұл когомология теориясы мағынасында алгебралық топология. Бұл байланысты эллиптикалық қисықтар және модульдік формалар.

Тарих және мотивация

Тарихи тұрғыдан эллиптикалық когомология зерттеу нәтижесінде пайда болды эллиптикалық тұқымдастар. Атия мен Хирцебрух бұны білген ${displaystyle S ^ {1}}$ спин коллекторына тегіс және тривиальды емес әсер етеді, содан кейін Дирак операторы жоғалады. 1983 жылы, Виттен бұл жағдайда белгілі бір бұралған Dirac операторының эквиваленттік индексі кем дегенде тұрақты болады деп болжайды. Бұл басқа да проблемаларға әкелді ${displaystyle S ^ {1}}$- эллиптикалық тұқымдарды енгізу арқылы Оханин шеше алатын коллекторлы реакциялар. Өз кезегінде Виттен бұларды (болжамды) индекс теориясымен байланыстырды еркін цикл кеңістіктер. Ландвебер, Стонг және өзінің бастапқы түрінде ойлап тапқан эллиптикалық когомология Равенель 1980 жылдардың аяғында эллиптикалық тектегі кейбір мәселелерді түсіндіру және дифференциалдық операторлардың отбасыларының индекс теориясының контексттік мазмұнын ұсыну үшін ұсынылды. Кейбір мағынада оны жуықтау ретінде қарастыруға болады K теориясы бос цикл кеңістігінің.

Анықтамалар мен құрылымдар

Когомология теориясын атаңыз ${displaystyle A ^ {*}}$ тіпті мерзімді болса ${displaystyle A ^ {i} = 0}$ өйткені мен тақ және кері элемент болады ${displaystyle u ^ A ^ {2}}$. Бұл теориялар а күрделі бағдар, ол а береді ресми топтық құқық. Формалды топтық заңдардың ерекше қайнар көзі болып табылады эллиптикалық қисықтар. Когомологиялық теория А

${displaystyle A ^ {0} = R}$

аталады эллиптикалық егер ол тіпті периодты болса және оның формальды топтық заңы эллиптикалық қисықтың Е-ге тең формальды топтық заңына изоморфты болса, R. осындай эллиптикалық когомология теорияларының кәдімгі құрылысы Landweber нақты функционалдық теоремасы. Егер Е формальды топтық заңы Ландвеберде дәл болса, эллиптикалық когомология теориясын анықтауға болады (ақырлы комплекстер бойынша)

${displaystyle A ^ {*} (X) = MU ^ {*} (X) otimes _ {MU ^ {*}} R [u, u ^ {- 1}].,}$

Франке Ландвебер дәлдігін орындау үшін қажетті шартты анықтады:

1. R тегіс болуы керек ${displaystyle mathbb {Z}}$
2. Төмендетілмейтін компонент жоқ X туралы ${displaystyle {ext {Spec}} R / pR}$, онда талшық ${displaystyle E_ {x}}$ болып табылады суперсингулярлық әрқайсысы үшін ${displaystyle xin X}$

Бұл жағдайларды эллиптикалық тұқымдастарға қатысты көптеген жағдайларда тексеруге болады. Сонымен қатар, шарттар әмбебап жағдайда карта мағынасында орындалады модульдер стегі модульдер стегіне эллиптикалық қисықтар ресми топтар

${displaystyle {mathcal {M}} _ {1,1} o {mathcal {M}} _ {fg}}$

болып табылады жалпақ. Бұл а береді алдын-ала аффинге қатысты когомологиялық теориялар схемалар эллиптикалық қисықтардың модульдер қабатының үстінен тегіс. Ғаламдық бөлімдерді алу арқылы әмбебап эллиптикалық когомология теориясын алуға ұмтылыс топологиялық модульдік формалар.

Әдебиеттер тізімі

• Франке, Дженс (1992), «Эллиптикалық когомологияның құрылысы туралы», Mathematische Nachrichten, 158 (1): 43–65, дои:10.1002 / mana.19921580104.
• Ландвебер, Питер С. (1988), «Эллиптикалық жанр: кіріспе шолу», Landweber, P. S. (ред.), Аллебралық топологиядағы эллиптикалық қисықтар және модульдік формалар, Математикадан дәрістер, 1326, Берлин: Шпрингер, 1–10 б., ISBN  3-540-19490-8.
• Ландвебер, Питер С. (1988), «Эллиптикалық когомология және модульдік формалар», Ландвеберде П.С. (ред.), Аллебралық топологиядағы эллиптикалық қисықтар және модульдік формалар, Математикадан дәрістер, 1326, Берлин: Шпрингер, 55-68 бет, ISBN  3-540-19490-8.
• Ландвебер, П.С .; Ravenel, D. & Stong, R. (1995), «Эллиптикалық қисықтармен анықталған периодты когомология теориялары», Cenkl, M. & Miller, H. (ред.), Centech Centennial 1993 ж, Contemp. Математика., 181, Бостон: Amer. Математика. Soc., 317–338 б., ISBN  0-8218-0296-8.
• Лури, Джейкоб (2009), «Эллиптикалық когомологияға шолу», Баас, Нильс; Фридландер, Эрик М .; Яхрен, Бьорн; т.б. (ред.), Алгебралық топология: Абель симпозиумы 2007 ж, Берлин: Шпрингер, 219–277 б., дои:10.1007/978-3-642-01200-6, hdl:2158/373831, ISBN  978-3-642-01199-3.