Серпімді соқтығысу - Elastic collision

Бұл мақала үшін қосымша дәйексөздер қажет тексеру. Өтінемін көмектесіңіз осы мақаланы жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді дерек көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы және алынып тасталуы мүмкін. Дереккөздерді табу: «Серпімді соқтығысу»  – жаңалықтар  · газеттер  · кітаптар  · ғалым  · JSTOR (Қыркүйек 2020) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Әзірше қара дененің сәулеленуі (көрсетілмеген) жүйеден қашпайды, жылу қоздырғышындағы атомдар серпімді коллизияларға ұшырайды. Орташа алғанда, екі атом бір-бірінен соқтығысқанға дейінгі кинетикалық энергиямен бірдей қалпына келеді. Бес атом қызыл түске боялған, сондықтан олардың қозғалу жолдары оңай көрінеді.

Ан серпімді соқтығысу жалпы екі дененің кездесуі кинетикалық энергия екі дененің бірдей күйінде қалады. Идеал, керемет серпімді соқтығыста кинетикалық энергияның жылу, шу немесе потенциалдық энергия сияқты басқа түрлерге таза түрленуі болмайды.

Шағын заттардың соқтығысуы кезінде алдымен кинетикалық энергия түрленеді потенциалды энергия байланысты итергіш күш бөлшектер арасында (бөлшектер осы күшке қарсы қозғалғанда, яғни күш пен салыстырмалы жылдамдық арасындағы бұрыш доғал болғанда), онда бұл потенциалдық энергия қайтадан кинетикалық энергияға айналады (бөлшектер осы күшпен қозғалғанда, яғни күш және салыстырмалы жылдамдық жедел).

Соқтығысу атомдар мысалы, серпімді Резерфорд артқа шашырау.

Серпімді соқтығысудың пайдалы ерекше жағдайы - бұл екі дененің массасы тең болған кезде, бұл жағдайда олар өз импульсін ауыстырады.

The молекулалар - ерекшеленеді атомдар - а газ немесе сұйықтық сирек кездесетін серпімді қақтығыстар өте сирек кездеседі, өйткені кинетикалық энергия молекулалардың трансляциялық қозғалысы мен олардың ішкі қозғалысы арасында алмасады еркіндік дәрежесі әр соқтығысқан сайын. Кез-келген сәтте соқтығысудың жартысы әртүрлі дәрежеде серпімді емес қақтығыстар (жұп соқтығысқаннан кейін олардың ілгерілемелі қозғалыстарында бұрынғыдан гөрі аз кинетикалық энергияға ие), ал жартысын «супер-серпімді» деп айтуға болады (ие Көбірек соқтығысқаннан кейінгі кинетикалық энергия бұрынғыға қарағанда). Барлық үлгі бойынша орта есеппен молекулалық қақтығыстарды серпімді деп санауға болады Планк заңы қара дене фотондарына жүйеден энергия алып тастауға тыйым салады.

Макроскопиялық денелер жағдайында керемет серпімді соқтығысулар - бұл ешқашан толық іске асырылмаған, бірақ бильярд шарлары сияқты объектілердің өзара әрекеттесуімен жуықталған идеал.

Энергияны қарастырған кезде мүмкін айналу энергиясы соқтығысқанға дейін және / немесе одан кейін де рөл ойнауы мүмкін.

Теңдеулер

Бір өлшемді Ньютон

Медиа ойнату

Профессор Уолтер Левин бір өлшемді серпімді қақтығыстарды түсіндіру

Серпімді соқтығыста импульс те, кинетикалық энергия да сақталады.^[1] Массалары бар 1 және 2 бөлшектерді қарастырайық м₁, м₂және жылдамдықтар сен₁, сен₂ соқтығысу алдында, v₁, v₂ соқтығысқаннан кейін. Барлығын сақтау импульс соқтығысқанға дейін және соған байланысты:^[1]

${ displaystyle , ! m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}.}$

Тотальды сақтау кинетикалық энергия арқылы өрнектеледі:^[1]

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} m_ {1} u_ {1} ^ {2} + { tfrac {1} {2}} m_ {2} u_ {2} ^ {2} = { tfrac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + { tfrac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2}.}$

Бұл теңдеулерді табу үшін тікелей шешуге болады ${ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$ қашан ${ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}$ белгілі:^[2]

${ displaystyle { begin {array} {ccc} v_ {1} & = & displaystyle { frac {m_ {1} -m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {1 } + { frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {2} [. 5em] v_ {2} & = & displaystyle { frac {2m_ {1} } {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {1} + { frac {m_ {2} -m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {2} end {массив}}}$

Егер екі масса да бірдей болса, бізде маңызды емес шешім бар:

${ displaystyle v_ {1} = u_ {2}}$

${ displaystyle v_ {2} = u_ {1}}$.

Бұл денелердің бір-біріне алғашқы жылдамдықтарын алмастыруына сәйкес келеді.^[2]

Күтуге болатындай, шешім барлық жылдамдықтарға константаны қосу кезінде инвариантты болады, бұл тұрақты трансляциялық жылдамдықпен санақ жүйесін қолданумен бірдей. Шынында да, теңдеулерді шығару үшін алдымен белгілі жылдамдықтардың бірі нөлге тең болатындай етіп санау жүйесін өзгертіп, жаңа санақ жүйесіндегі белгісіз жылдамдықтарды анықтап, бастапқы санақ жүйесіне қайта оралуға болады.

Мысалдар

Шар 1: массасы = 3 кг, жылдамдығы = 4 м / с

Шар 2: массасы = 5 кг, жылдамдығы = −6 м / с

Соқтығысқаннан кейін:

1-доп: жылдамдық = −8,5 м / с

Доп 2: жылдамдық = 1,5 м / с

Тағы бір жағдай:

Тең емес массалардың серпімді соқтығысуы.

Төменде массаның тең жағдайлары келтірілген, ${ displaystyle m_ {1} = m_ {2}}$.

Тең массалардың серпімді соқтығысуы

Қозғалыстағы санақ жүйесімен жүйеде массалардың серпімді соқтығысуы

Шектеу жағдайында қайда ${ displaystyle m_ {1}}$ қарағанда әлдеқайда үлкен ${ displaystyle m_ {2}}$мысалы, пинг-понг қалақшасы пинг-понг допына соғылған немесе жол талғамайтын көлік қоқыс жәшігіне соғылған кезде, ауыр салмақ жылдамдықты әрең өзгертеді, ал жеңіл салмақ секіріп, оның жылдамдығын ауырға қарағанда шамамен екі есе артқа айналдырады.^[3]

Үлкен жағдайда ${ displaystyle u_ {1}}$, мәні ${ displaystyle v_ {1}}$ егер массалар шамамен бірдей болса: әлдеқайда жеңіл бөлшектерді соғу жылдамдықты айтарлықтай өзгертпейді, ал ауырырақ бөлшектерді соғу жылдам бөлшектердің жоғары жылдамдықпен кері серпілуіне әкеледі. Сондықтан а нейтронды модератор (баяулайтын орта) жылдам нейтрондар, осылайша оларды айналдыру жылу нейтрондары қолдауға қабілетті а тізбекті реакция ) - нейтрондарды оңай сіңірмейтін жеңіл ядролары бар атомдарға толы материал: ең жеңіл ядролардың массасы шамамен бірдей нейтрон.

Ерітінді шығару

Жоғарыда келтірілген теңдеулерді шығару үшін ${ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$, кинетикалық энергияны және импульс теңдеулерін өзгертіңіз:

${ displaystyle m_ {1} (v_ {1} ^ {2} -u_ {1} ^ {2}) = m_ {2} (u_ {2} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}) )}$

${ displaystyle m_ {1} (v_ {1} -u_ {1}) = m_ {2} (u_ {2} -v_ {2})}$

Жоғарғы теңдеудің әр жағын төменгі теңдеудің әр жағына бөлу және қолдану ${ displaystyle { tfrac {a ^ {2} -b ^ {2}} {(a-b)}} = a + b}$, береді:

${ displaystyle v_ {1} + u_ {1} = u_ {2} + v_ {2} quad Rightarrow quad v_ {1} -v_ {2} = u_ {2} -u_ {1}}$.

Яғни, бір бөлшектің екінші бөлшекке қатысты салыстырмалы жылдамдығы соқтығысу арқылы өзгертіледі.

Енді жоғарыдағы формулалар үшін сызықтық теңдеулер жүйесін шешуден шығады ${ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$қатысты ${ displaystyle m_ {1}, m_ {2}, u_ {1}, u_ {2}}$ тұрақты ретінде:

${ displaystyle left {{ begin {array} {rcrcc} v_ {1} & - & v_ {2} & = & u_ {2} -u_ {1} m_ {1} v_ {1} & + & m_ {2} v_ {2} & = & m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}. End {array}} right.}$

Бір рет ${ displaystyle v_ {1}}$ анықталды, ${ displaystyle v_ {2}}$ симметрия арқылы табуға болады.

Жаппай жақтау орталығы

Масса центріне қатысты екі жылдамдық соқтығысу арқылы өзгереді: ауыр бөлшек массаның центріне қарай баяу қозғалады да, сол баяу жылдамдықпен кері секіреді, ал жеңіл бөлшек масса центріне қарай жылдам қозғалады және секіреді сол жоғары жылдамдықпен артқа.

Жылдамдығы масса орталығы соқтығысуымен өзгермейді. Мұны көру үшін массаның центрін қарастырыңыз ${ displaystyle t}$ соқтығысқанға дейін және уақыт ${ displaystyle t '}$ соқтығысқаннан кейін:

${ displaystyle { bar {x}} (t) = { frac {m_ {1} x_ {1} (t) + m_ {2} x_ {2} (t)} {m_ {1} + m_ { 2}}}}$

${ displaystyle { bar {x}} (t ') = { frac {m_ {1} x_ {1} (t') + m_ {2} x_ {2} (t ')} {m_ {1} + м_ {2}}}}$.

Демек, соқтығысқанға дейінгі және кейінгі масса центрінің жылдамдықтары:

${ displaystyle v _ { bar {x}} = { frac {m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${ displaystyle v _ { bar {x}} '= { frac {m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$.

Нуматорлары ${ displaystyle v _ { bar {x}}}$ және ${ displaystyle v _ { bar {x}} '}$ соқтығысқанға дейінгі және кейінгі жалпы импульс. Импульс сақталғандықтан, бізде бар ${ displaystyle v _ { bar {x}} = v _ { bar {x}} '}$.

Бірөлшемді релятивистік

Сәйкес арнайы салыстырмалылық,

${ displaystyle p = { frac {mv} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$

Мұндағы p массасы бар кез-келген бөлшектің импульс импульсін, v жылдамдықты, ал с - жарық жылдамдығын білдіреді.

Ішінде импульс шеңберінің орталығы мұндағы жалпы импульс нөлге тең,

${ displaystyle p_ {1} = - p_ {2}}$

${ displaystyle p_ {1} ^ {2} = p_ {2} ^ {2}}$

${ displaystyle { sqrt {m_ {1} ^ {2} c ^ {4} + p_ {1} ^ {2} c ^ {2}}} + { sqrt {m_ {2} ^ {2} c ^ {4} + p_ {2} ^ {2} c ^ {2}}} = E}$

${ displaystyle p_ {1} = pm { frac { sqrt {E ^ {4} -2E ^ {2} m_ {1} ^ {2} c ^ {4} -2E ^ {2} m_ {2 } ^ {2} c ^ {4} + m_ {1} ^ {4} c ^ {8} -2m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} c ^ {8} + m_ {2 } ^ {4} c ^ {8}}} {2cE}}}$

${ displaystyle u_ {1} = - v_ {1}}$.

Мұнда ${ displaystyle m_ {1}, m_ {2}}$ұсыну демалыс массасы екі соқтығысқан дененің, ${ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}$олардың соқтығысқанға дейінгі жылдамдығын, ${ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$олардың соқтығысқаннан кейінгі жылдамдықтары, ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}}$олардың моменттері, ${ displaystyle c}$ болып табылады жарық жылдамдығы вакуумда және ${ displaystyle E}$ екі дененің жалпы энергиясын, тыныштық массаларының және кинетикалық энергиялардың қосындысын білдіреді.

Жүйенің толық энергиясы мен импульсі сақталатындықтан және олардың тыныштық массалары өзгермейтіндіктен, соқтығысатын дененің импульсін соқтығысатын денелердің тыныштық массалары, толық энергиясы мен толық импульсі шешетіні көрсетілген. Қатысты импульс шеңберінің орталығы, соқтығысқан әрбір дененің импульсі соқтығысқаннан кейін шамасын өзгертпейді, бірақ оның қозғалыс бағытын өзгертеді.

Салыстыру классикалық механика, макроскопиялық объектілерге қарағанда әлдеқайда баяу қозғалатын нақты нәтижелер береді жарық жылдамдығы, соқтығысатын екі дененің толық импульсі кадрға тәуелді. Ішінде импульс шеңберінің орталығы, классикалық механика бойынша,

${ displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} = {0} , !}$

${ displaystyle m_ {1} u_ {1} ^ {2} + m_ {2} u_ {2} ^ {2} = m_ {1} v_ {1} ^ {2} + m_ {2} v_ {2} ^ {2} , !}$

${ displaystyle { frac {(m_ {2} u_ {2}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + { frac {(m_ {2} u_ {2}) ^ {2}} { 2м_ {2}}} = { frac {(m_ {2} v_ {2}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + { frac {(m_ {2} v_ {2}) ^ { 2}} {2м_ {2}}} , !}$

${ displaystyle (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {2} u_ {2}) ^ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {2} v_ {2}) ^ {2} , !}$

${ displaystyle u_ {2} = - v_ {2} , !}$

${ displaystyle { frac {(m_ {1} u_ {1}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + { frac {(m_ {1} u_ {1}) ^ {2}} { 2м_ {2}}} = { frac {(m_ {1} v_ {1}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + { frac {(m_ {1} v_ {1}) ^ { 2}} {2м_ {2}}} , !}$

${ displaystyle (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {1} u_ {1}) ^ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {1} v_ {1}) ^ {2} , !}$

${ displaystyle u_ {1} = - v_ {1} , !}$

Бұл релятивистік есеппен сәйкес келеді ${ displaystyle u_ {1} = - v_ {1}}$, басқа айырмашылықтарға қарамастан.

Ерекше салыстырмалылықтағы постулаттардың бірінде импульстің сақталуы сияқты физика заңдары барлық инерциялық санақ жүйелерінде инвариантты болуы керек делінген. Жалпы импульс ерікті болуы мүмкін жалпы инерциялық кадрда,

${ displaystyle { frac {m_ {1} ; u_ {1}} { sqrt {1-u_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + { frac {m_ {2} ; u_ {2}} { sqrt {1-u_ {2} ^ {2} / c ^ {2}}}} = { frac {m_ {1} ; v_ {1}} { sqrt { 1-v_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + { frac {m_ {2} ; v_ {2}} { sqrt {1-v_ {2} ^ {2} / c ^ {2}}}} = p_ {T}}$

${ displaystyle { frac {m_ {1} c ^ {2}} { sqrt {1-u_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + { frac {m_ {2} c ^ {2}} { sqrt {1-u_ {2} ^ {2} / c ^ {2}}}} = { frac {m_ {1} c ^ {2}} { sqrt {1-v_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + { frac {m_ {2} c ^ {2}} { sqrt {1-v_ {2} ^ {2} / c ^ {2 }}}} = E}$

Біз қозғалатын екі денені жалпы импульс болатын бір жүйе ретінде қарастыра аламыз ${ displaystyle p_ {T}}$, жалпы энергия ${ displaystyle E}$ және оның жылдамдығы ${ displaystyle v_ {c}}$ - бұл оның масса центрінің жылдамдығы. Импульс импульсінің центріне қатысты жалпы импульс нөлге тең. Мұны көрсетуге болады ${ displaystyle v_ {c}}$ береді:

${ displaystyle v_ {c} = { frac {p_ {T} c ^ {2}} {E}}}$

Енді импульс шеңберінің центріндегі соқтығысуға дейінгі жылдамдықтар ${ displaystyle u_ {1} '}$ және ${ displaystyle u_ {2} '}$ мыналар:

${ displaystyle u_ {1} '= { frac {u_ {1} -v_ {c}} {1 - { frac {u_ {1} v_ {c}} {c ^ {2}}}}}}$

${ displaystyle u_ {2} '= { frac {u_ {2} -v_ {c}} {1 - { frac {u_ {2} v_ {c}} {c ^ {2}}}}}}$

${ displaystyle v_ {1} '= - u_ {1}'}$

${ displaystyle v_ {2} '= - u_ {2}'}$

${ displaystyle v_ {1} = { frac {v_ {1} '+ v_ {c}} {1 + { frac {v_ {1}' v_ {c}} {c ^ {2}}}}} }$

${ displaystyle v_ {2} = { frac {v_ {2} '+ v_ {c}} {1 + { frac {v_ {2}' v_ {c}} {c ^ {2}}}}} }$

Қашан ${ displaystyle u_ {1} ll c}$ және ${ displaystyle u_ {2} ll c}$,

${ displaystyle p_ {T}}$ ≈ ${ displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}}$

${ displaystyle v_ {c}}$ ≈ ${ displaystyle { frac {m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${ displaystyle u_ {1} '}$ ≈ ${ displaystyle u_ {1} -v_ {c}}$ ≈ ${ displaystyle { frac {m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {1} -m_ {1} u_ {1} -m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = { frac {m_ {2} (u_ {1} -u_ {2})} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${ displaystyle u_ {2} '}$ ≈ ${ displaystyle { frac {m_ {1} (u_ {2} -u_ {1})} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {1} '}$ ≈ ${ displaystyle { frac {m_ {2} (u_ {2} -u_ {1})} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {2} '}$ ≈ ${ displaystyle { frac {m_ {1} (u_ {1} -u_ {2})} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {1}}$ ≈ ${ displaystyle v_ {1} '+ v_ {c}}$ ≈ ${ displaystyle { frac {m_ {2} u_ {2} -m_ {2} u_ {1} + m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = { frac {u_ {1} (m_ {1} -m_ {2}) + 2m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {2}}$ ≈ ${ displaystyle { frac {u_ {2} (m_ {2} -m_ {1}) + 2m_ {1} u_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

Сондықтан, соқтығысатын екі дененің де жылдамдығы жарық жылдамдығынан (~ 300 млн. М / с) әлдеқайда төмен болған кезде классикалық есептеу орындалады.

Гиперболалық функцияларды қолданатын релятивистік туынды

Біз деп аталатынды қолданамыз жылдамдық параметрі ${ displaystyle s}$ (әдетте деп аталады жылдамдық ) алу :

${ displaystyle v / c = { mbox {tanh}} (s)}$

сондықтан біз аламыз

${ displaystyle { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = { mbox {sech}} (s)}$

Релятивистік энергия мен импульс келесі түрде көрінеді:

${ displaystyle E = { frac {mc ^ {2}} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = mc ^ {2} { mbox {cosh}} (-тар)}$

${ displaystyle p = { frac {mv} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = mc { mbox {sinh}} (s) }$

Соқтығысатын энергия мен импульстің теңдеулерінің қосындылары ${ displaystyle {m_ {1}}}$ және ${ displaystyle {m_ {2}}}$, (жылдамдықтар)${ displaystyle {v_ {1}}}$, ${ displaystyle {v_ {2}}}$, ${ displaystyle {u_ {1}}}$,${ displaystyle {u_ {2}}}$ жылдамдық параметрлеріне сәйкес келеді ${ displaystyle {s_ {1}}}$, ${ displaystyle {s_ {2}}}$, ${ displaystyle {s_ {3}}}$, ${ displaystyle {s_ {4}}}$), барабар қуатқа бөлінгеннен кейін ${ displaystyle {c}}$ мыналар:

${ displaystyle m_ {1} { mbox {cosh}} (s_ {1}) + m_ {2} { mbox {cosh}} (s_ {2}) = m_ {1} { mbox {cosh}} (s_ {3}) + m_ {2} { mbox {cosh}} (s_ {4})}$

${ displaystyle m_ {1} { mbox {sinh}} (s_ {1}) + m_ {2} { mbox {sinh}} (s_ {2}) = m_ {1} { mbox {sinh}} (s_ {3}) + m_ {2} { mbox {sinh}} (s_ {4})}$

және тәуелді теңдеу, жоғарыдағы теңдеулердің қосындысы:

${ displaystyle m_ {1} e ^ {s_ {1}} + m_ {2} e ^ {s_ {2}} = m_ {1} e ^ {s_ {3}} + m_ {2} e ^ {s_ {4}}}$

«энергия» -дан «импульс» теңдеуінің екі жағын да алып тастаңыз және сәйкестікті қолданыңыз ${ displaystyle { mbox {cosh}} ^ {2} (s) - { mbox {sinh}} ^ {2} (s) = 1}$, қарапайымдылықтан кейін:

${ displaystyle 2m_ {1} m_ {2} ({ mbox {cosh}} (s_ {1}) { mbox {cosh}} (s_ {2}) - { mbox {sinh}} (s_ {2) }) { mbox {sinh}} (s_ {1})) = 2m_ {1} m_ {2} ({ mbox {cosh}} (s_ {3}) { mbox {cosh}} (s_ {4) }) - { mbox {sinh}} (s_ {4}) { mbox {sinh}} (s_ {3}))}$

нөлдік емес масса үшін гиперболалық тригонометриялық сәйкестікті қолдана отырып cosh (a – b) = cosh (a) cosh (b) - sinh (b) sinh (a) аламыз:

${ displaystyle { mbox {cosh}} (s_ {1} -s_ {2}) = { mbox {cosh}} (s_ {3} -s_ {4})}$

функциялар ретінде ${ displaystyle { mbox {cosh}} (-тар)}$ тіпті біз екі шешімді аламыз:

${ displaystyle s_ {1} -s_ {2} = s_ {3} -s_ {4}}$

${ displaystyle s_ {1} -s_ {2} = - s_ {3} + s_ {4}}$

қарапайым емес шешімге әкелетін соңғы теңдеуден біз шешеміз ${ displaystyle s_ {2}}$ және тәуелді теңдеуге ауыстырамыз, аламыз ${ displaystyle e ^ {s_ {1}}}$ содан соң ${ displaystyle e ^ {s_ {2}}}$, Бізде бар:

${ displaystyle e ^ {s_ {1}} = e ^ {s_ {4}} { frac {m_ {1} e ^ {s_ {3}} + m_ {2} e ^ {s_ {4}}} {m_ {1} e ^ {s_ {4}} + m_ {2} e ^ {s_ {3}}}}}$

${ displaystyle e ^ {s_ {2}} = e ^ {s_ {3}} { frac {m_ {1} e ^ {s_ {3}} + m_ {2} e ^ {s_ {4}}} {m_ {1} e ^ {s_ {4}} + m_ {2} e ^ {s_ {3}}}}}$

Бұл есептің шешімі, бірақ жылдамдық параметрлерімен көрінеді. Жылдамдыққа шешім алу үшін орнын ауыстыру:

${ displaystyle v_ {1} / c = { mbox {tanh}} (s_ {1}) = { frac {e ^ {s_ {1}} - e ^ {- s_ {1}}} {e ^ {s_ {1}} + e ^ {- s_ {1}}}}}$

${ displaystyle v_ {2} / c = { mbox {tanh}} (s_ {2}) = { frac {e ^ {s_ {2}} - e ^ {- s_ {2}}} {e ^ {s_ {2}} + e ^ {- s_ {2}}}}}$

Алдыңғы шешімдерді ауыстырыңыз және ауыстырыңыз:${ displaystyle e ^ {s_ {3}} = { sqrt { frac {c + u_ {1}} {c-u_ {1}}}}}$ және ${ displaystyle e ^ {s_ {4}} = { sqrt { frac {c + u_ {2}} {c-u_ {2}}}}}$, ұзақ түрлендіруден кейін:${ displaystyle Z = { sqrt {(1-u_ {1} ^ {2} / c ^ {2}) (1-u_ {2} ^ {2} / c ^ {2})}}}$Біз алып жатырмыз:

${ displaystyle v_ {1} = { frac {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} u_ {2} Z + 2m_ {2} ^ {2} c ^ {2} u_ {2} - ( m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) u_ {1} u_ {2} ^ {2} + (m_ {1} ^ {2} -m_ {2} ^ {2}) c ^ {2} u_ {1}} {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} Z-2m_ {2} ^ {2} u_ {1} u_ {2} - (m_ {1} ^ {) 2} -m_ {2} ^ {2}) u_ {2} ^ {2} + (m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) c ^ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {2} = { frac {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} u_ {1} Z + 2m_ {1} ^ {2} c ^ {2} u_ {1} - ( m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) u_ {1} ^ {2} u_ {2} + (m_ {2} ^ {2} -m_ {1} ^ {2}) c ^ {2} u_ {2}} {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} Z-2m_ {1} ^ {2} u_ {1} u_ {2} - (m_ {2} ^ {) 2} -m_ {1} ^ {2}) u_ {1} ^ {2} + (m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) c ^ {2}}}}$.

Екі өлшемді

Екі өлшемдегі екі соқтығысқан дене үшін әр дененің жалпы жылдамдығын екі перпендикуляр жылдамдыққа бөлу керек: бірі жанасу денелерінің ортақ қалыпты беттеріне жанасу, екіншісі соқтығысу сызығы бойымен. Соқтығысу тек соқтығысу сызығы бойында күш беретін болғандықтан, соқтығысу нүктесіне жанасатын жылдамдықтар өзгермейді. Соқтығысу сызығының бойындағы жылдамдықтарды бір өлшемді соқтығысу сияқты теңдеулерде қолдануға болады. Содан кейін соңғы жылдамдықтарды екі жаңа компоненттік жылдамдықтардан есептеуге болады және олар соқтығысу нүктесіне байланысты болады. Екі денелі қақтығыстарды зерттеу көптеген денелер үшін а шеңберінде жүргізіледі екі өлшемді газ.

Екі өлшемді серпімді соқтығысу

Ішінде импульс шеңберінің орталығы кез-келген уақытта екі дененің жылдамдықтары қарама-қарсы бағытта, шамалары массаға кері пропорционалды болады. Серпімді соқтығысу кезінде бұл шамалар өзгермейді. Бағыттар денелердің пішіндеріне және әсер ету нүктесіне байланысты өзгеруі мүмкін. Мысалы, сфералар жағдайында бұрыш екі дененің центрлерінің (параллель) жолдарының арасындағы қашықтыққа байланысты. Бағыттың нөлдік емес кез келген өзгеруі мүмкін: егер бұл қашықтық нөлге тең болса, жылдамдықтар соқтығысу кезінде өзгертіледі; егер ол сфералар радиусының қосындысына жақын болса, екі дене аз ғана ауытқиды.

Екінші бөлшек соқтығысқанға дейін тыныштықта болады деп есептесек, екі бөлшектің ауытқу бұрыштары, ${ displaystyle vartheta _ {1}}$ және ${ displaystyle vartheta _ {2}}$, ауытқу бұрышымен байланысты ${ displaystyle theta}$ масса центрінің жүйесінде^[4]

${ displaystyle tan vartheta _ {1} = { frac {m_ {2} sin theta} {m_ {1} + m_ {2} cos theta}}, qquad vartheta _ {2} = { frac {{ pi} - { theta}} {2}}.}$

Бөлшектердің соқтығысқаннан кейінгі жылдамдықтарының шамалары:

${ displaystyle v '_ {1} = v_ {1} { frac { sqrt {m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2} + 2m_ {1} m_ {2} cos theta}} {m_ {1} + m_ {2}}}, qquad v '_ {2} = v_ {1} { frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} sin { frac { theta} {2}}.}$

Екі қозғалатын объектімен екі өлшемді соқтығысу

Бірінші шардың соңғы х және у жылдамдықтарының компоненттерін келесідей есептеуге болады:^[5]

${ displaystyle { begin {aligned} v '_ {1x} & = { frac {v_ {1} cos ( theta _ {1} - varphi) (m_ {1} -m_ {2}) + 2m_ {2} v_ {2} cos ( theta _ {2} - varphi)} {m_ {1} + m_ {2}}} cos ( varphi) + v_ {1} sin ( theta _ {1} - varphi) cos ( varphi + { frac { pi} {2}}) [0.8em] v '_ {1y} & = { frac {v_ {1} cos ( theta _ {1} - varphi) (m_ {1} -m_ {2}) + 2m_ {2} v_ {2} cos ( theta _ {2} - varphi)} {m_ {1} + m_ {2}}} sin ( varphi) + v_ {1} sin ( theta _ {1} - varphi) sin ( varphi + { frac { pi} {2}}) соңы {тураланған}}}$

қайда v₁ және v₂ - бұл объектілердің екі жылдамдығының скалярлық өлшемдері, м₁ және м₂ олардың массасы, θ₁ және θ₂ олардың қозғалыс бұрыштары, яғни ${ displaystyle v_ {1x} = v_ {1} cos theta _ {1}, ; v_ {1y} = v_ {1} sin theta _ {1}}$ (тікелей оңға қарай жылжу дегеніміз -45 ° немесе 315 ° бұрыш), ал кіші phi (φ) - байланыс бұрышы. (Екінші доптың x және y жылдамдықтарын алу үшін барлық '1' жазуларын '2' жазуларымен ауыстыру керек.)

Бұл теңдеу екі дененің өзара әрекеттесуі жанасу бұрышы бойымен оңай есептелетіндігінен алынған, яғни объектілердің жылдамдықтарын бір өлшемде х және у осін айналдыру арқылы жанасу бұрышымен параллель айналдыру арқылы есептеуге болады. нысандар, содан кейін жылдамдықтардың шынайы х және у компоненттерін алу үшін бастапқы бағытқа бұрылды^{[6][7][8][9][10][11]}

Бұрышсыз кескінде өзгертілген жылдамдықтар центрлердің көмегімен есептеледі х₁ және х₂ байланыс кезінде

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {v} '_ {1} & = mathbf {v} _ {1} - { frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2} }} { frac { langle mathbf {v} _ {1} - mathbf {v} _ {2}, , mathbf {x} _ {1} - mathbf {x} _ {2} rangle} { | mathbf {x} _ {1} - mathbf {x} _ {2} | ^ {2}}} ( mathbf {x} _ {1} - mathbf {x} _ {2}), mathbf {v} '_ {2} & = mathbf {v} _ {2} - { frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}} } { frac { langle mathbf {v} _ {2} - mathbf {v} _ {1}, , mathbf {x} _ {2} - mathbf {x} _ {1} rangle} { | mathbf {x} _ {2} - mathbf {x} _ {1} | ^ {2}}} ( mathbf {x} _ {2} - mathbf {x} _ {1}) end {aligned}}}$

мұнда бұрыштық жақшалар ішкі өнім (немесе нүктелік өнім ) екі вектордың.

Сондай-ақ қараңыз

• Соқтығысу
• Серпімді емес соқтығысу
• Реституция коэффициенті

Әдебиеттер тізімі

Жалпы сілтемелер

• Реймонд, Дэвид Дж. «10.4.1 Серпімді қақтығыстар». Кіріспе физикаға түбегейлі заманауи тәсіл: 1 том: Іргелі принциптер. Socorro, NM: New Mexico Tech Press. ISBN  978-0-9830394-5-7.

Сыртқы сілтемелер

• Дененің соқтығысуының үш өлшемділігі оның ішінде сақтау заңдарын қолданатын туынды
• VNE қатты дененің соқтығысуын модельдеу С-да серпімді қақтығыстарды іске асыруы бар шағын ашық көзі бар 3D қозғалтқышы
• 2-өлшемді соқтығысты елестетіңіз Пайдаланушы реттейтін қалпына келтіру коэффициентімен және бөлшектердің жылдамдығымен 2-бөлшек соқтығысудың еркін имитациясы (Adobe Shockwave қажет)
• Тригонометриясыз 2-өлшемді серпімді қақтығыстар 2 өлшемді серпімді соқтығысуды векторларды қолдану арқылы қалай есептеу керектігін түсіндіру
• Bouncescope Пайдаланушы конфигурацияланатын ондаған объектінің серпімді соқтығысуының еркін тренажері
• Допты Flash-пен соқтығысуымен басқару Кез-келген сфералар арасындағы серпімді қақтығыстарды басқаруға арналған флэш сценарий
• Эластикалық соқтығысуды шығару
• Егер шарлардың жылдамдығы 0-ге тең болса, соқтығысудың серпімді формуласын шығару