Динамикалық орта-өріс теориясы - Dynamical mean-field theory

Динамикалық орта-өріс теориясы (DMFT) - электронды құрылымын анықтау әдісі өзара тығыз байланысты материалдар. Мұндай материалдарда қолданылатын тәуелсіз электрондардың жуықтауы тығыздықтың функционалдық теориясы және әдеттегідей жолақ құрылымы есептеулер, үзілістер. Динамикалық орта-өріс теориясы, электрондар арасындағы жергілікті өзара әрекеттесуді мазасыздандыратын емдеу, бос электрон газ шегі және конденсацияланған физика.^[1]

DMFT а картасынан тұрады көп денелі көп денеге арналған тор проблемасы жергілікті қоспа моделі деп аталатын проблема.^[2] Тор мәселесі жалпы шешілмейтін болса, қоспаның моделі әдетте әртүрлі схемалар арқылы шешіледі. Картаның өзі жуықтауды білдірмейді. Кәдімгі DMFT схемаларында жасалған жалғыз жуықтама - бұл торды қабылдау өзіндік энергия импульске тәуелсіз (жергілікті) шама болу. Бұл жуықтау шектерде шектерде дәл болады үйлестіру.^[3]

DMFT-тің басты жетістіктерінің бірі - сипаттау фазалық ауысу металл мен а Мот оқшаулағышы күші болған кезде электрондық корреляциялар ұлғайтылды. Ол нақты материалдарға сәтті қолданылды жергілікті тығыздықты жуықтау тығыздықтың функционалдық теориясы.^[4][5]

Өріс теориясының арақатынасы

Торлы кванттық модельдердің DMFT өңдеуі ұқсас орта-өріс теориясы (MFT) сияқты классикалық модельдерді емдеу Үлгілеу.^[6] Исинг моделінде тордың есебі тиімді бір учаскенің есебіне түсірілген, оның магниттелуі тордың магниттелуін тиімді «орташа өріс» арқылы көбейту болып табылады. Бұл шарт өзін-өзі үйлестіру шарты деп аталады. Онда бір алаңдағы бақылаушылар тордың «жергілікті» бақыланатын заттарын тиімді өріс арқылы көбейтуі керек екендігі көрсетілген. N-site Ising Hamiltonian-ді аналитикалық жолмен шешу қиын болса да (бүгінгі таңда аналитикалық шешімдер 1D және 2D жағдайлары үшін ғана бар), бір сайттық мәселе оңай шешіледі.

Сол сияқты, DMFT тор проблемасын бейнелейді (мысалы The Хаббард моделі бір сайттың проблемасына. DMFT-де жергілікті бақыланатын жергілікті болып табылады Жасыл функция. Осылайша, DMFT үшін өзіндік үйлесімділік шарты - бұл қоспа Грин функциясы тордың жергілікті Green функциясын тиімді орташа өріс арқылы көбейтеді, бұл DMFT-де будандастыру функциясы болып табылады ${ displaystyle Delta ( tau)}$ қоспаның моделі. DMFT өз атауын орташа өріс болғандықтан қарыздар ${ displaystyle Delta ( tau)}$ уақытқа байланысты немесе динамикалық. Бұл сонымен қатар Ising MFT мен DMFT арасындағы үлкен айырмашылықты көрсетеді: Ising MFT N-спин проблемасын бір сайтты, бір спинді есептерге бейнелейді. DMFT торлы мәселені бір учаскедегі проблемаға түсіреді, бірақ соңғысы электронды-электронды корреляцияның әсерінен уақытша ауытқуды түсіретін N-денелік мәселе болып қалады.

Хаббард моделі үшін DMFT сипаттамасы

DMFT картасы

Бір орбиталық Хаббард моделі

Хаббард моделі ^[7] қарама-қарсы спиннің электрондары арасындағы өзара әрекеттесуді бір параметр бойынша сипаттайды, ${ displaystyle U}$. Хаббард Гамильтониан келесі формада болуы мүмкін:

${ displaystyle H _ { text {Hubbard}} = t sum _ { langle ij rangle sigma} c_ {i sigma} ^ { dagger} c_ {j sigma} + U sum _ {i} n_ {i uparrow} n_ {i downarrow}}$

мұнда, спинді басу кезінде 1/2 индекс ${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle c_ {i} ^ { қанжар}, c_ {i}}$ сайтта локализацияланған орбитальда электронды құру және жою операторларын белгілеу ${ displaystyle i}$, және ${ displaystyle n_ {i} = c_ {i} ^ { қанжар} c_ {i}}$.

Келесі болжамдар жасалды:

• бір ғана орбита электронды қасиеттерге ықпал етеді (мысалы, суперөткізгіштегі мыс атомдары болуы мүмкін) купрат, кімнің ${ displaystyle d}$-жолақтар дегенеративті емес),
• орбитальдардың локализацияланғандығы соншалық, жақын көршілер ғана секіреді ${ displaystyle t}$ ескеріледі

Көмекші мәселе: Андерсон қоспасының моделі

Хаббард моделі әдеттегі тербелісті кеңейту әдістері бойынша шешілмейді. DMFT бұл торлы модельді деп аталатын картаға түсіреді Андерсон қоспасыздық моделі (AIM). Бұл модель бір сайттың (қоспаның) электронды деңгейлердің «ваннасымен» өзара әрекеттесуін сипаттайды (жою және құру операторлары сипаттайды) ${ displaystyle a_ {p sigma}}$ және ${ displaystyle a_ {p sigma} ^ { қанжар}}$) будандастыру функциясы арқылы. Біздің бір сайтты модельге сәйкес келетін Андерсон моделі - бұл айналмалы 1/2 индексті басуға арналған хамильтониялық формуласы бар, бір орбиталық Андерсон қоспасының моделі. ${ displaystyle sigma}$, бұл:

${ displaystyle H _ { text {AIM}} = underbrace { sum _ {p} epsilon _ {p} a_ {p} ^ { dagger} a_ {p}} _ {H _ { text {bath} }} + underbrace { sum _ {p sigma} left (V_ {p} ^ { sigma} c _ { sigma} ^ { қанжар} a_ {p sigma} + hc оң)} _ { H _ { text {mix}}} + underbrace {Un _ { uparrow} n _ { downarrow} - mu left (n _ { uparrow} + n _ { downarrow} right)} _ {H _ { text {loc}}}}$

қайда

• ${ displaystyle H _ { text {bath}}}$ корреляцияланбаған электрондық деңгейлерді сипаттайды ${ displaystyle epsilon _ {p}}$ монша
• ${ displaystyle H _ { text {loc}}}$ қос электронды энергетикалық шығындармен әрекеттесетін қоспаны сипаттайды ${ displaystyle U}$
• ${ displaystyle H _ { text {mix}}}$ қоспалар мен ванна арасындағы будандастыруды (немесе байланыстыруды) будандастыру терминдері арқылы сипаттайды ${ displaystyle V_ {p} ^ { sigma}}$

Осы модельдің Matsubara Green функциясы анықталады ${ displaystyle G _ { text {imp}} ( tau) = - langle Tc ( tau) c ^ { dagger} (0) rangle}$, толығымен параметрлермен анықталады ${ displaystyle U, mu}$ және будандастыру функциясы деп аталады ${ displaystyle Delta _ { sigma} (i omega _ {n}) = sum _ {p} { frac {| V_ {p} ^ { sigma} | ^ {2}} {i omega _ {n} - epsilon _ {p}}}}$, бұл ойдан шығарылған уақыт Фурье-түрлендіру ${ displaystyle Delta _ { sigma} ( tau)}$.

Бұл будандастыру функциясы ваннаға және одан секіретін электрондардың динамикасын сипаттайды. Ол жасыл динамиканы көбейту керек, сондықтан Гриннің қоспасы жергілікті тордың функциясымен бірдей болады. Бұл өзара әрекеттеспейтін Грин функциясымен байланысты:

${ displaystyle ({ mathcal {G}} _ {0}) ^ {- 1} (i omega _ {n}) = i omega _ {n} + mu - Delta (i omega _ { н})}$ (1)

Андерсонның қоспалық моделін шешу өзара әрекеттесетін Грин функциясы сияқты бақыланатын заттарды есептеп шығарудан тұрады ${ displaystyle G (i omega _ {n})}$ берілген будандастыру функциясы үшін ${ displaystyle Delta (i omega _ {n})}$ және ${ displaystyle U, mu}$. Бұл қиын, бірақ шешілмейтін мәселе. Сияқты AIM шешудің бірнеше әдісі бар

• The Сандық ренормализация тобы
• Нақты қиғаштау
• Итеративті толқудың теориясы
• Қиылыспайтын жуықтау
• Монте-Карло үздіксіз уақыт кванты алгоритмдер

Өзіндік дәйектілік теңдеулері

Өзіндік консистенция шарты Грин функциясын қажет етеді ${ displaystyle G _ { mathrm {imp}} ( tau)}$ жергілікті Грин функциясымен сәйкес келеді ${ displaystyle G_ {ii} ( tau) = - langle Tc_ {i} ( tau) c_ {i} ^ { қанжар} (0) rangle}$:

${ displaystyle G _ { mathrm {imp}} (i omega _ {n}) = G_ {ii} (i omega _ {n}) = sum _ {k} { frac {1} {i омега _ {n} + mu - эпсилон (к) - Сигма (k, i omega _ {n})}}}$

қайда ${ displaystyle Sigma (k, i omega _ {n})}$ тордың өзіндік энергиясын білдіреді.

DMFT жуықтауы: тордың өзіндік энергиясы

Жалғыз DMFT жуықтаулары (Андерсон моделін шешу үшін жасалатын жуықтамадан басқа) тордың кеңістіктегі ауытқуларын ескермеуінен тұрады өзіндік энергия, оны өзін-өзі энергияның қоспасына теңестіру арқылы:

${ displaystyle Sigma (k, i omega _ {n}) approx Sigma _ {imp} (i omega _ {n})}$

Бұл жуықтау шексіз координациясы бар торлар шекарасында дәл болады, яғни әр сайттың көршілерінің саны шексіз болады. Шынында да, тордың өзіндік энергиясының диаграммалық кеңеюінде шексіз координация шегіне өткенде тек жергілікті диаграммалар ғана тіршілік ететіндігін көрсетуге болады.

Осылайша, классикалық орта-өріс теорияларындағыдай, DMFT өлшемділік (демек, көршілер саны) көбейген сайын дәлірек болады деп болжануда. Басқаша айтқанда, төмен өлшемдер үшін кеңістіктегі ауытқулар DMFT жуықтамасын аз сенімді етеді.

DMFT циклі

Жергілікті тордың функциясын табу үшін будандастыру функциясын анықтауы керек, оған сәйкес келетін қоспаның функциясы ізделініп жатқан жергілікті грин функциясымен сәйкес келеді. Бұл мәселені шешудің кең тараған тәсілі - алға рекурсияны қолдану. әдісі, дәлірек айтсақ ${ displaystyle U}$, ${ displaystyle mu}$ және температура ${ displaystyle T}$:

1. Болжаммен бастаңыз ${ displaystyle Sigma (k, i omega _ {n})}$ (әдетте, ${ displaystyle Sigma (k, i omega _ {n}) = 0}$)
2. DMFT жуықтамасын жасаңыз: ${ displaystyle Sigma (k, i omega _ {n}) approx Sigma _ { mathrm {imp}} (i omega _ {n})}$
3. Жергілікті Green функциясын есептеңіз ${ displaystyle G _ { mathrm {loc}} (i omega _ {n})}$
4. Орташа динамикалық өрісті есептеңіз ${ displaystyle Delta (i omega) = i omega _ {n} + mu -G _ { mathrm {loc}} ^ {- 1} (i omega _ {n}) - Sigma _ { mathrm {imp}} (i omega _ {n})}$
5. AIM-ді Green-дің жаңа қоспасы үшін шешіңіз ${ displaystyle G _ { mathrm {imp}} (i omega _ {n})}$, оның өзіндік энергиясын бөліп алу: ${ displaystyle Sigma _ { mathrm {imp}} (i omega _ {n}) = ({ mathcal {G}} _ {0}) ^ {- 1} (i omega _ {n}) - (G _ { mathrm {imp}}) ^ {- 1} (i omega _ {n})}$
6. 2-қадамға конвергенция болғанға дейін, дәл сол кезде оралыңыз ${ displaystyle G _ { mathrm {imp}} ^ {n} = G _ { mathrm {imp}} ^ {n + 1}}$.

Қолданбалар

Жергілікті тордың функциясы және басқа да қоспалардың бақылануы корреляция функциясы ретінде бірқатар физикалық шамаларды есептеу үшін пайдаланылуы мүмкін ${ displaystyle U}$, өткізу қабілеттілігі, толтыру (химиялық потенциал ${ displaystyle mu}$) және температура ${ displaystyle T}$:

• The спектрлік функция (бұл жолақ құрылымын береді)
• The кинетикалық энергия
• сайттың екі адамға толуы
• жауап беру функциялары (сығылу, оптикалық өткізгіштік, меншікті жылу)

Атап айтқанда, екі орындықтың төмендеуі ${ displaystyle U}$ ұлғайту - бұл Мотт көшуінің қолтаңбасы.

DMFT кеңейтімдері

DMFT-де бірнеше кеңейтімдер бар, олар жоғарыда көрсетілген формализмді көп орбиталық, көп сайтты мәселелерге дейін кеңейтеді.

Көп орбиталық кеңейту

DMFT-ді көптеген орбитальдары бар Хаббард модельдеріне таратуға болады, атап айтқанда форманың электрондарымен өзара әрекеттесуімен ${ displaystyle U _ { alpha beta} n _ { alpha} n _ { beta}}$ қайда ${ displaystyle alpha}$ және ${ displaystyle beta}$ әр түрлі орбитальдарды белгілейді. -Мен тіркесімі тығыздықтың функционалдық теориясы (DFT + DMFT)^[4][8] содан кейін корреляцияланған материалдарды шынайы есептеуге мүмкіндік береді.^[9]

Кеңейтілген DMFT

Кеңейтілген DMFT локальді емес өзара әрекеттесу үшін жергілікті қоспаның өзіндік энергиясын береді, демек DMFT-ны жалпы модельдерге қолдануға мүмкіндік береді, мысалы t-J моделі.

DMFT кластері

DMFT жуықтауын жақсарту үшін Хаббард моделін қосылыстың өзіндік энергиясына кеңістіктік тәуелділікті қосуға мүмкіндік беретін көп сайтты қоспа (кластер) проблемасы бойынша бейнелеуге болады. Кластерлерде төмен температурада 4-тен 8-ге дейін және жоғары температурада 100-ге дейін учаскелер болады.

Диаграммалық кеңейтулер

Өзіндік энергияның DMFT-ден тыс кеңістіктегі тәуелділіктерін, соның ішінде фазалық ауысу маңындағы ұзақ мерзімді корреляцияларды аналитикалық және сандық әдістерді біріктіру арқылы алуға болады. Динамикалық шыңға жуықтаудың бастапқы нүктесі^[10] және қос фермионды тәсіл жергілікті болып табылады екі бөлшектік шың.

Тепе-теңдік емес

DMFT тепе-теңдік емес тасымалдауды және оптикалық қозуды зерттеу үшін қолданылған. Мұнда AIM сенімді есептеу Тепе-теңдіктен тыс жасыл функция үлкен проблема болып қалады.

Әдебиеттер мен ескертпелер

Сондай-ақ қараңыз

• Бір-бірімен өте тығыз байланысты материал

Сыртқы сілтемелер

• Бір-бірімен тығыз байланысты материалдар: динамикалық орта-өріс теориясының түсініктері Г.Котлиар және Д.Воллхардт
• Бір-бірімен тығыз байланысты материалдарға LDA + DMFT тәсілі туралы дәрістер Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Воллхардт және Александр Лихтенштейн (ред.)
• ДМФТ 25-ке арналған дәрістер: Шексіз өлшемдер Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Воллхардт және Александр Лихтенштейн (ред.)