Бұрмалау проблемасы - Distortion problem

Жылы функционалдық талдау, математика бөлімі бұрмалау проблемасы қаншалықты мүмкін болатындығын анықтау болып табылады бұрмалау берілген өлшем бірлігі Банах кеңістігі баламалы норманы қолдану. Банах кеңістігі X баламалы норма болған жағдайда λ-бұрмаланатын деп аталады |х| қосулы X барлық шексіз өлшемді ішкі кеңістіктер үшін Y жылы X,

${ displaystyle sup _ {y_ {1}, y_ {2} in Y, | y_ {i} | = 1} { frac {| y_ {1} |} {| y_ {2} |} } geq lambda}$

(қараңыз бұрмалау (математика) ). Банахтың әрбір кеңістігі тривиальды түрде 1 бұрмаланатынына назар аударыңыз. Банах кеңістігі бұрмаланатын деп аталады, егер ол кейбір λ> 1 үшін λ-бұрмаланса, ал егер кез-келген for үшін бұрмаланса, оны ерікті түрде бұрмаланатын деп атайды. Бұрмаланушылық алғаш рет 1960 жылы Банах кеңістігінің маңызды қасиеті ретінде пайда болды, ол оны зерттеді Джеймс (1964) және Милман (1971).

Джеймс мұны дәлелдеді в₀ және ℓ¹ бұрмаланбайды. Милман егер екенін көрсетті X изоморфты көшірмесін қамтымайтын Банах кеңістігі в₀ немесе ℓ^б кейбіреулер үшін 1 ≤ б < ∞ (қараңыз реттік кеңістік ), содан кейін кейбір шексіз өлшемді ішкі кеңістік X бұрмаланған. Сонымен, бұрмалану мәселесі қазір бірінші кезекте кеңістіктерге қызығушылық тудырады^б, олардың барлығы бөлінетін және біркелкі дөңес, үшін 1 < б < ∞.

Бөлінетін және біркелкі дөңес кеңістіктерде бұрмаланушылық әр нақты бағаланады ма, жоқ па деген сияқты жалпы сұраққа баламалы болып көрінеді. Липшиц функциясы ƒ сферада анықталған X шексіз өлшемді ішкі кеңістіктің сферасында тұрақталады, яғни a ∈ нақты саны бар ма R әрбір δ> 0 үшін шексіз өлшемді ішкі кеңістік болатындай етіп Y туралы X, сондықтан | а -ƒ(ж) <δ, барлығы үшін ж ∈ Y, ||ж|| = 1. Бірақ бұл нәтижеден шығады Odell & Schlumprecht (1994) бұл on¹ Lipschitz функциялары тұрақтанбайды, дегенмен бұл кеңістік бұрмаланбайды Джеймс (1964). Бөлінетін жерде Гильберт кеңістігі, бұрмалану мәселесі оң арақашықтықпен бөлінген бірлік сфераның ішкі жиындары бар ма және сонда да шексіз өлшемді тұйық ішкі кеңістікті қиып өтеді ме дегенге эквивалентті. Банах кеңістігінің көптеген қасиеттерінен айырмашылығы, бұрмалану мәселесі басқа Банах кеңістігіндегі сияқты Гильберт кеңістігінде де қиын сияқты. Бөлінетін Гильберт кеңістігінде, ал басқалары үшін ℓ^б- бос орындар, 1

Odell & Schlumprecht (1994), кім көрсетті ℓ² арқылы салынған бірінші белгілі ерікті бұрмаланатын кеңістікті қолдана отырып, бұрмаланған болып табылады Шлумпрехт (1991).

Сондай-ақ қараңыз

• Цирельсон кеңістігі
• Банах кеңістігі

Әдебиеттер тізімі

• Джеймс, Р.С. (1964), «Банах кеңістігі біркелкі емес», Математика жылнамалары, 80 (2): 542–550, дои:10.2307/1970663.
• Милман (1971), «Банах кеңістігінің геометриясы II, бірлік сферасының геометриясы», Ресейлік математикалық зерттеулер, 26: 79–163, Бибкод:1971RuMaS..26 ... 79M, дои:10.1070 / RM1971v026n06ABEH001273.
• Odell, E; Шлумпрехт, Th. (2003), «Бұрмалану және асимптотикалық құрылым», Джонсонда; Линденстраус (ред.), Банах кеңістігінің геометриясы туралы анықтама, 2 том, Elsevier, ISBN  978-0-444-51305-2.
• Одель, Э .; Шлумпрехт, Th. (1993), «Гильберт кеңістігінің бұрмалану мәселесі», Геом. Функция. Анал., 3: 201–207, дои:10.1007 / BF01896023, ISSN  1016-443X, МЫРЗА  1209302.
• Одель, Э .; Шлумпрехт, Th. (1994), «Бұрмалау проблемасы», Acta Mathematica, 173: 259–281, дои:10.1007 / BF02398436, ISSN  0001-5962, МЫРЗА  1301394.
• Шлумпрехт, Th. (1991), «Банахтың ерікті бұрмаланатын кеңістігі», Израиль математика журналы, 76: 81–95, arXiv:математика / 9201225, дои:10.1007 / bf02782845, ISSN  0021-2172, МЫРЗА  1177333.