Тікелей сызықтық түрлендіру - Direct linear transformation

Тікелей сызықтық түрлендіру (DLT) - ұқсастық қатынастарының жиынтығынан айнымалылар жиынын шешетін алгоритм:

үшін

қайда және белгілі векторлар, белгісіз скалярлық көбейтуге дейінгі теңдікті және бұл шешілетін белгісіздерді қамтитын матрица (немесе сызықтық түрлендіру).

Бұл қатынас түрі жиі пайда болады проективті геометрия. Практикалық мысалдар көріністегі 3D нүктелері мен олардың а-ның жазықтыққа проекциясы арасындағы байланысты қамтиды тесік камерасы,[1] және гомографиялар.

Кіріспе

Қарапайым сызықтық теңдеулер жүйесі

үшін

мысалы, оны матрицалық теңдеу ретінде қайта жазу арқылы шешуге болады матрицалар және векторларды қамтуы керек және олардың бағандарында. Бірегей шешім бар екенін ескере отырып, оны береді

Шешімдерді теңдеулер анықталған немесе аяқталған жағдайда сипаттауға болады.

Тікелей сызықтық түрлендіру мәселесін жоғарыда келтірілген стандартты жағдайдан ерекшелендіретін нәрсе - анықтаушы теңдеудің сол және оң жақтары тәуелді болатын белгісіз көбейту коэффициентімен ерекшеленуі мүмкін. к. Нәтижесінде, стандартты жағдайдағыдай есептеу мүмкін емес. Оның орнына ұқсастық қатынастары сызықтық біртекті теңдеулер түрінде қайта жазылады, оларды стандартты әдіспен шешуге болады. Ұқсастық теңдеулерін біртектес сызықтық теңдеулер ретінде қайта жазудың және оларды стандартты әдістермен шешудің комбинациясы деп аталады тікелей сызықтық түрлендіру алгоритмі немесе DLT алгоритмі. DLT Иван Сазерлендке жатқызылған.[2]

Мысал

Айталық . Келіңіздер және екі белгілі вектор болыңыз, және біз оны тапқымыз келеді матрица осындай

қайда теңдеуге қатысты белгісіз скалярлық коэффициент болып табылады к.

Белгісіз скалярлардан құтылу және біртекті теңдеулер алу үшін антиимметриялық матрицаны анықтаңыз

және теңдеудің екі жағын да көбейтіңіз сол жақтан

Бастап бұдан былай белгісіз скалярларды қамтымайтын келесі біртекті теңдеулер қолда бар

Шешу үшін осы теңдеулер жиынтығынан векторлардың элементтерін қарастырыңыз және және матрица :

,   , және

және жоғарыдағы біртекті теңдеу болады

үшін

Мұны матрица түрінде де жазуға болады:

үшін

қайда және екеуі де анықталған 6 өлшемді векторлар

және

Әзірге бізде 1 теңдеу және 6 белгісіз. Біртекті теңдеулер жиынтығын матрица түрінде жазуға болады

қайда Бұл белгілі векторларды ұстайтын матрица оның қатарында. Белгісіз анықтауға болады, мысалы, а дара мәннің ыдырауы туралы ; болып оңның сингулярлық векторы табылады нөлге тең сингулярлық мәнге сәйкес келеді. Бір рет матрицаның элементтері анықталды вектордан қайта құруға болады . Масштабтауына назар аударыңыз немесе маңызды емес (тек нөлге тең болмау керек), өйткені анықтаушы теңдеулер белгісіз масштабтауға мүмкіндік береді.

Іс жүзінде векторлар және ұқсастық теңдеулерінің тек шамамен жарамдылығын білдіретін шу болуы мүмкін. Нәтижесінде вектор болмауы мүмкін ол біртекті теңдеуді шешеді дәл. Бұл жағдайларда а ең кіші квадраттар шешімді таңдау арқылы қолдануға болады -ның ең кіші дара мәніне сәйкес келетін оң сингулярлы вектор ретінде

Жалпы жағдайлар

Жоғарыда келтірілген мысалда бар және , бірақ ұқсастық қатынастарын біртектес сызықтық теңдеулерге қайта жазудың жалпы стратегиясын екеуінің де ерікті өлшемдеріне дейін жалпылауға болады. және

Егер және алдыңғы өрнектер әлі де теңдеуге әкелуі мүмкін

үшін

қайда қазір Әрқайсысы к ішіндегі бір теңдеуді ұсынады белгісіз элементтері және осы теңдеулерді бірге жазуға болады белгілі үшін матрица және белгісіз 2q-өлшемді вектор Бұл векторды бұрынғыдай табуға болады.

Ең жалпы жағдайда және . Бұрынғымен салыстырғанда басты айырмашылығы - бұл матрица қазір және анти-симметриялы. Қашан мұндай матрицалардың кеңістігі енді бір өлшемді емес, ол өлшемді болады

Бұл дегеніміз-нің әрбір мәні к қамтамасыз етеді М типтегі біртекті теңдеулер

үшін және үшін

қайда Бұл Мкеңістігінің өлшемдік негізі симметрияға қарсы матрицалар.

Мысал б = 3

Бұл жағдайда б = 3 келесі үш матрица таңдауға болады

,   ,  

Осы нақты жағдайда біртекті сызықтық теңдеулерді келесі түрінде жазуға болады

үшін

қайда болып табылады векторлық айқас көбейтіндінің матрицалық көрінісі. Бұл соңғы теңдеудің векторлық мәні бар екеніне назар аударыңыз; сол жағы - нөл элементі .

Әрбір мәні к белгісіз элементтерінде үш біртекті сызықтық теңдеулерді ұсынады . Алайда, бері дәрежесі = 2, ең көп дегенде екі теңдеу сызықтық тәуелді емес. Демек, іс жүзінде үш матрицаның тек екеуін ғана қолдану кең таралған , мысалы, үшін м= 1, 2. Алайда теңдеулер арасындағы сызықтық тәуелділік тәуелді бұл дегеніміз, сәтсіз жағдайларда, мысалы, м= 2,3. Нәтижесінде, егер теңдеулер саны алаңдатпаса, матрица кезінде барлық үш теңдеулерді қолданған дұрыс болар салынған.

Алынған біртекті сызықтық теңдеулер арасындағы сызықтық тәуелділік жағдай үшін жалпы алаңдаушылық туғызады б > 2 және анти-симметриялы матрицалар жиынын азайту арқылы шешу керек немесе рұқсат беру арқылы анықтау үшін қажет болғаннан үлкенірек болу

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Абдель-Азиз, Ю.И .; Карара, Х.М. (2015-02-01). «Компаратор координаттарынан объектілік кеңістіктегі координаталарға тікелей сызықтық түрлендіру жақын аралықтағы фотограмметрияда». Фотограмметриялық инженерия және қашықтықтан зондтау. Американдық фотограмметрия және қашықтықтан зондтау қоғамы. 81 (2): 103–107. дои:10.14358 / pers.81.2.103. ISSN  0099-1112.
  2. ^ Сазерленд, Иван Э. (сәуір, 1974 ж.), «Үш өлшемді деректерді планшет арқылы енгізу», IEEE материалдары, 62 (4): 453–461, дои:10.1109 / PROC.1974.9449
  • Ричард Хартли және Эндрю Циссерман (2003). Компьютерлік көріністегі бірнеше көріністі геометрия. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0-521-54051-3.

Сыртқы сілтемелер