Дельта-конвергенция - Delta-convergence

Математикада, Дельта-конвергенция, немесе Δ-конвергенция, - ішіндегі конвергенция режимі метрикалық кеңістіктер, әдеттегі метрикалық конвергенцияға қарағанда әлсіз және ұқсас (бірақ айырмашылығы) әлсіз конвергенция жылы Банах кеңістігі. Жылы Гильберт кеңістігі, Дельта-конвергенция және әлсіз конвергенция сәйкес келеді. Жалпы кеңістік класы үшін, әлсіз конвергенцияға ұқсас, кез-келген шектелген дәйектілікте Дельта-конвергентті тізбегі болады. Дельта конвергенциясын алғаш рет Тек-Чеонг Лим енгізді,^[1] және, көп ұзамай, атымен конвергенция, Тадеуш Куцумов.^[2]

Анықтама

Бірізділік ${ displaystyle (x_ {k})}$ метрикалық кеңістікте ${ displaystyle (X, d)}$ Δ -ге жақындатқыш деп аталады ${ displaystyle x in X}$ егер әрқайсысы үшін болса ${ displaystyle y in X}$, ${ displaystyle limsup (d (x_ {k}, x) -d (x_ {k}, y)) leq 0}$.

Банах кеңістігіндегі сипаттама

Егер ${ displaystyle X}$ Бұл біркелкі дөңес және біркелкі тегіс Банах кеңістігі, екілік картаға түсірілген ${ displaystyle x mapsto x ^ {*}}$ берілген ${ displaystyle | x | = | x ^ {*} |}$, ${ displaystyle langle x ^ {*}, x rangle = | x | ^ {2}}$, содан кейін реттілік ${ displaystyle (x_ {k}) subset X}$ Delta-конвергентті болып табылады ${ displaystyle x}$ егер және егер болса ${ displaystyle (x_ {k} -x) ^ {*}}$ қос кеңістіктегі нөлге әлсіз жақындайды ${ displaystyle X ^ {*}}$ (қараңыз ^[3]). Атап айтқанда, Дельта-конвергенция және әлсіз конвергенция сәйкес келеді, егер ${ displaystyle X}$ бұл Гильберт кеңістігі.

Опциондық меншік

Әлсіз конвергенция мен Дельта-конвергенцияның сәйкес келуі біркелкі дөңес Банах кеңістігі үшін белгілі, Опциондық меншік^[3]

Дельта-ықшамдық теоремасы

Т.С.Лимнің Delta-ықшамдылық теоремасы^[1] егер болса ${ displaystyle (X, d)}$ болып табылады асимптотикалық толық метрикалық кеңістік, содан кейін әрбір шектелген реттілік ${ displaystyle X}$ Delta-конвергенттік септігі бар.

Дельта-ықшамдылық теоремасы -ке ұқсас Банач - Алаоглу теоремасы әлсіз конвергенция үшін, бірақ Банач-Алаоглу теоремасынан айырмашылығы (бөлінбейтін жағдайда) оның дәлелі таңдау аксиомасына байланысты емес.

Асимптотикалық орталық және асимптотикалық толықтығы

Ан асимптотикалық орталық реттілік ${ displaystyle (x_ {k}) _ {k in mathbb {N}}}$, егер ол бар болса, шегі болып табылады Чебышевтің орталықтары ${ displaystyle c_ {n}}$ қысқартылған дәйектілікке арналған ${ displaystyle (x_ {k}) _ {k geq n}}$. Метрикалық кеңістік деп аталады асимптотикалық толық, егер ондағы кез-келген шектелген дәйектілік асимптотикалық орталыққа ие болса.

Асимптотикалық толықтығының жеткілікті шарты ретінде біркелкі дөңес

Дельта-ықшамдылық теоремасындағы асимптотикалық толықтығының шарты біркелкі дөңес Банач кеңістіктерімен, ал жалпы Дж.Стаплс анықтаған біркелкі айналмалы метрикалық кеңістіктермен қанағаттандырылады.^[4]

Әрі қарай оқу

• Уильям Кирк, Насир Шахзад, Қашықтық кеңістігінде бекітілген нүкте теориясы. Springer, Cham, 2014. xii + 173 бб.
• Г.Девилланова, С.Солимини, Ч.Тинтарев, Метрикалық кеңістіктердегі әлсіз конвергенция туралы, Сызықтық емес талдау және оңтайландыру туралы (Б.С. Мордухович, С. Рейх, А.Ж. Заславски, Редакторлар), 43-64, Қазіргі заманғы математика 659, AMS, Провиденс, Р.И. , 2016 ж.

Әдебиеттер тізімі