Дехн-Сомервилл теңдеулері - Dehn–Sommerville equations

Математикада Дехн-Сомервилл теңдеулері әр түрлі өлшемдегі а сандары арасындағы сызықтық қатынастардың толық жиынтығы қарапайым политоп. 4 және 5 өлшемді политоптар үшін олар табылды Макс Дехн 1905 ж. Олардың жалпы формасы белгіленді Дункан Сомервилл 1927 ж. Дехн-Сомервилл теңдеулерін үшін симметрия шарты ретінде келтіруге болады сағ-вектор қарапайым политоптың және бұл соңғы комбинаторика әдебиеттеріндегі стандартты тұжырымға айналды. Аналогты теңдеулер қосарланған қарапайым политоптар.

Мәлімдеме

Келіңіздер P болуы а г.-өлшемді қарапайым политоп. Үшін мен = 0, 1, ..., г. - 1, рұқсат етіңіз f_мен санын белгілеңіз мен-өлшемді жүздер туралы P. Кезектілік

${displaystyle f (P) = (f_ {0}, f_ {1}, ldots, f_ {d-1})}$

деп аталады f-вектор политоптың P. Сонымен қатар, орнатыңыз

${displaystyle f _ {- 1} = 1, f_ {d} = 1.}$

Содан кейін кез-келген үшін к = −1, 0, ..., г. - 2, келесі Ден-Сомервилл теңдеуі ұстайды:

${displaystyle sum _ {j = k} ^ {d-1} (- 1) ^ {j} {inom {j + 1} {k + 1}} f_ {j} = (- 1) ^ {d-1 } f_ {k}.}$

Қашан к = −1, бұл фактіні білдіреді Эйлерге тән а (г. - 1) -өлшемді қарапайым сфера 1 + (−1) тең^г. − 1.

Дех-Сомервилл теңдеулері әр түрлі к тәуелсіз емес. Тұратын максималды тәуелсіз жиынтықты таңдаудың бірнеше әдісі бар ${extstyle сол жақта [{frac {d + 1} {2}} ight]}$ теңдеулер. Егер г. теңдеуі болса да к = 0, 2, 4, ..., г. - 2 тәуелсіз. Тағы бір тәуелсіз жиын теңдеулерден тұрады к = −1, 1, 3, ..., г. - 3. Егер г. тең болса, онда к = −1, 1, 3, ..., г. - 2 бір тәуелсіз жиынды және бар теңдеулерді құрайды к = −1, 0, 2, 4, ..., г. - 3 басқа.

Эквивалентті тұжырымдар

Соммервилл осы теңдеулерді айтудың басқа әдісін тапты:

${displaystyle sum _ {i = -1} ^ {k-1} (- 1) ^ {d + i} {inom {di-1} {dk}} f_ {i} = sum _ {i = -1} ^ {dk-1} (- 1) ^ {i} {inom {di-1} {k}} f_ {i},}$

мұндағы 0 ≤ k ≤¹⁄₂(d-1). Деген ұғымды енгізу арқылы мұны жеңілдетуге болады сағ-вектор P. Үшін к = 0, 1, ..., г., рұқсат етіңіз

${displaystyle h_ {k} = sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {k-i} {inom {d-i} {k-i}} f_ {i-1}.}$

Кезектілік

${displaystyle h (P) = (h_ {0}, h_ {1}, ldots, h_ {d})}$

деп аталады сағ-вектор туралы P. The f- вектор және сағ-вектор қатынас арқылы бір-бірін ерекше анықтайды

${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {d} f_ {i-1} (t-1) ^ {di} = sum _ {k = 0} ^ {d} h_ {k} t ^ {dk}. }$

Сонда Дехн-Сомервилл теңдеулерін жай ғана келесідей етіп келтіруге болады

${displaystyle h_ {k} = h_ {d-k} quad {ext {for}} 0leq kleq d.}$

0 The k ≤ теңдеулер¹⁄₂(d-1) тәуелсіз, ал қалғандары оларға тең.

Ричард Стэнли компоненттеріне түсінік берді сағ- қарапайым дөңес политоптың векторы P тұрғысынан проективті торик әртүрлілігі X байланысты (қосарланған)P. Атап айтқанда, олар жұп өлшемдері қиылысқан когомология топтарыX:

${displaystyle h_ {k} = dim _ {mathbb {Q}} оператор аты {IH} ^ {2k} (X, mathbb {Q})}$

(тақ қиылысқан когомология топтары X барлығы нөлге тең). Бұл тілде Дехн-Сомвервилл теңдеулерінің соңғы формасы, симметриясы сағ-вектор, бұл көрінісі Пуанкаре дуальдылығы қиылысу когомологиясындаX.

Әдебиеттер тізімі

• Бранко Грюнбаум, Дөңес политоптар. Екінші басылым. Математикадағы магистратура мәтіндері, 221, Springer, 2003 ж ISBN  0-387-00424-6
• Ричард Стэнли, Комбинаторика және коммутативті алгебра. Екінші басылым. Математикадағы прогресс, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, MA, 1996. x + 164 бб. ISBN  0-8176-3836-9
• Дункан Сомервилл (1927) N өлшемді кеңістіктегі политоптың бұрыштық қосындылары мен көлемін байланыстыратын қатынастар Корольдік қоғамның еңбектері А сериясы 115: 103–19, веб-сілтеме JSTOR.
• Г.Зиглер, Политоптар туралы дәрістер, Спрингер, 1998. ISBN  0-387-94365-X