Кунц алгебрасы - Википедия - Cuntz algebra

Математикада Кунц алгебрасы , атындағы Йоахим Канц, болып табылады әмбебап С * -алгебра жасаған изометрия шексіз өлшемді Гильберт кеңістігі белгілі бір қатынастарды қанағаттандыру.[1] Бұл алгебралар а-ның алғашқы нақты мысалдары ретінде енгізілді бөлінетін шексіз қарапайым C * -алгебра, бұл Гильберт кеңістігі ретінде, изометриялық болып табылады реттік кеңістік

және оның ешқандай жабық мұраттары жоқ. Бұл алгебралар қарапайым шексіз С * алгебраларын зерттеуге негіз болады, өйткені кез-келген алгебрада кез-келген берілген n, бар субалгебра квотент ретінде.

Анықтамалар

Келіңіздер n ≥ 2 және болуы а бөлінетін Гильберт кеңістігі. Қарастырайық C * -алгебра жиынтық арқылы жасалады

туралы изометрия (яғни ) әрекет ету қанағаттанарлық

Бұл әмбебап С * алгебрасы деп аталады Кунц алгебрасы, деп белгіленеді .

A қарапайым C * -алгебра дейді таза шексіз егер әрқайсысы болса тұқым қуалайтын С * -субальгебра оның шексіздігі. - бөлінетін, қарапайым, таза шексіз С * -алгебра. Кез келген қарапайым шексіз С * алгебрасында бар субалгебра болады квотент ретінде.

Қасиеттері

Жіктелуі

Кунц алгебралары жұптасып изоморфты емес, яғни. және изоморфты емес nм. The Қ0 тобы болып табылады , циклдік топ тәртіп n - бастап Қ0 Бұл функция, және изоморфты емес.

Бетон С * -алгебралары мен әмбебап С * -алгебра арасындағы байланыс

Теорема. С * -алгебрасы әмбебап С * -алгебасына изоморфты болып табылады жасаған n генераторлар с1... сn қатынастарға бағынады смен* смен = 1 барлығы үшін мен және ∑ сменсмен* = 1.

Теореманың дәлелі келесі фактпен байланысты: кез-келген С * алгебрасы n изометрия с1... сn ортогоналды диапазондарда UHF алгебрасы түрі n. Атап айтқанда формасындағы сөздермен қамтылған

* -Субальгебра , болу шамамен ақырлы өлшемді, бірегей C * -нормасына ие. Субалгебра кеңістігінің рөлін атқарады Фурье коэффициенттері алгебра элементтері үшін. Кунцке байланысты негізгі техникалық лемма - алгебрадағы элемент нөлге тең, егер оның барлық Фурье коэффициенттері жоғалып кетсе ғана. Мұны қолдана отырып, квота картасының екенін көрсетуге болады дейін инъективті, бұл теореманы дәлелдейді.

UHF алгебрасы бір емес субальгебрасы бар канондық изоморфты болып табылады өзі: Мn тікелей жүйені анықтау кезеңі , рейтинг-1 проекциясын қарастырыңыз e11, матрица жоғарғы сол жақ бұрышта 1 және басқа жерде нөлге тең. Бұл проекцияны тура жүйе арқылы көбейтіңіз. Мnк тікелей жүйенің сатысы, оның дәрежесі бар nк - 1 болжам. Ішінде тікелей шек, бұл проекцияны береді P жылы . Бұрыш

изоморфты болып табылады . Карталарды бейнелейтін * -эндоморфизм үстінде изометрия арқылы жүзеге асырылады с1, яғни Φ (·) = с1(·)с1*. шын мәнінде қиылысқан өнім туралы эндоморфизммен.

Жалпылау

Кунц алгебралары көптеген тәсілдермен жалпыланған. Солардың ішінде маңыздысы Кунц-Кригер алгебралары, график С * -алгебралар және k-график С * -алгебралар.

Қолданбалы математика

Жылы сигналдарды өңдеу, а ішкі жолақты сүзгі дәл қайта құрумен Кунц алгебрасының көріністері пайда болады. Сол сүзгі де мультирешендік талдау құрылыс вейвлет теория.[2]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Кунц, Йоахим (1977). «Қарапайым $ C ^ * $ - изометриялар тудыратын алгебралар». Математикалық физикадағы байланыс. 57 (2): 173–185. ISSN  0010-3616.
  2. ^ Йоргенсен, Палле Э. Т .; Жаяу жүру жолы, Брайан. Талдау және ықтималдық: толқындар, сигналдар, фракталдар. Математика бойынша магистратура мәтіндері. 234. Шпрингер-Верлаг. ISBN  0-387-29519-4.