Ағайынның проблемалары - Cousin problems

Жылы математика, Ағайынның проблемалары деген екі сұрақ бар бірнеше күрделі айнымалылар, болуына қатысты мероморфты функциялар жергілікті деректер тұрғысынан көрсетілген. Олар ерекше жағдайларда енгізілген Пьер Кузин 1895 ж. Олар қазір кез-келген үшін қойылды және шешілді күрделі көпжақты М, шарттары бойынша М.

Екі мәселе үшін де ашық қақпақ туралы М жиынтықтар бойынша Uмен мероморфты функциямен қатар беріледі fмен әрқайсысында Uмен.

Бірінші туыс мәселесі

The бірінші туыс мәселесі немесе қоспа туысы проблемасы әрбір айырмашылық деп болжайды

Бұл голоморфтық функция, ол анықталған жерде. Ол мероморфты функцияны сұрайды f қосулы М осындай

болып табылады голоморфты қосулы Uмен; басқаша айтқанда, бұл f бөліседі жекеше берілген жергілікті функцияның әрекеті. Берілген шарт анық қажетті Бұл үшін; сондықтан мәселе жеткілікті ме деген сұраққа жауап береді. Бір айнымалының жағдайы - болып табылады Миттаг-Леффлер теоремасы тіректерді тағайындау туралы, қашан М -ның ашық жиынтығы күрделі жазықтық. Риман беті Теория көрсеткендей, кейбір шектеулер бар М қажет болады. Мәселені әрқашан а шешуге болады Штейн коллекторы.

Бірінші туыс мәселесін терминдер тұрғысынан түсінуге болады шоқ когомологиясы келесідей. Келіңіздер Қ болуы шоқ мероморфты функциялардың және O бойынша голоморфты функциялар шоғыры М. Ғаламдық бөлім туралы Қ ғаламдық бөлімге өтеді үлестірілген шоқтың Қ/O. Қарама-қарсы сұрақ - бұл бірінші туыс мәселесі: жаһандық бөлімі берілген Қ/O, жаһандық бөлімі бар ма Қ ол қайдан пайда болады? Мәселе картаның бейнесін сипаттауда

Бойынша ұзақ дәл когомологиялық реттілік,

дәл, сондықтан бірінші кохомологиялық топ болған жағдайда бірінші туыс мәселесі шешіледі H1(М,O) жоғалады. Атап айтқанда, Картан теоремасы B, егер Кузен мәселесі әрқашан шешілсе, егер М бұл Штейн коллекторы.

Екінші туыс мәселесі

The екінші туыс мәселесі немесе мультипликативті туыс мәселесі әрбір қатынас деп болжайды

жоғалып кетпейтін голоморфтық функция, мұнда ол анықталады. Ол мероморфты функцияны сұрайды f қосулы М осындай

голоморфты және жойылмайтын болып табылады. Екінші туыс мәселесі - бұл көп өлшемді жалпылау Вейерштрасс теоремасы белгіленген нөлдермен бір айнымалы голоморфтық функцияның болуы туралы.

Қабылдау арқылы бұл проблемаға шабуыл логарифмдер, оны аддитивті проблемаға дейін азайту үшін, бірінші түрінде кедергі кездеседі Черн класы (тағы қараңыз) экспоненциалды шоқтар тізбегі ). Пучок теориясы тұрғысынан, рұқсат етіңіз ешқайда жоғалып кетпейтін голоморфты функциялардың шоғыры болыңыз және бірдей нөлге тең емес мероморфты функциялар шоғыры. Бұл екеуі де абель топтары және үлестірілген шоқ жақсы анықталған. Мультипликативті Кузен мәселесі квоталық картаның бейнесін анықтауға тырысады

Берілгенге байланысты ұзын нақты шоқ когомология тізбегі

сондықтан туысқанның екінші мәселесі барлық жағдайда шешіледі Алынған шоқ микробтар шоғыры болып табылады Картье бөлгіштері қосулы М. Әрбір глобальды бөлім мероморфты функциямен жасалады ма деген сұрақ әрқайсысын анықтауға тең келеді сызық байламы қосулы М болып табылады болмашы.

Когомологиялық топ бойынша мультипликативті құрылым үшін когомологиялық топпен салыстыруға болады логарифмді қабылдау арқылы оның аддитивті құрылымымен. Яғни, шоқтардың нақты дәйектілігі бар

мұндағы сол жақ талшық - бұл жергілікті тұрақты талшық . Деңгейінде логарифмді анықтауға кедергі H1 ішінде , ұзақ дәл когомологиялық реттіліктен

Қашан М Стейн коллекторы, ортаңғы көрсеткі изоморфизм, өйткені үшін сондықтан Кузеннің екінші мәселесі әрқашан шешілетін болуы үшін қажетті және жеткілікті шарт сол болады

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Chirka, EM (2001) [1994], «Нағашылар проблемалары», Математика энциклопедиясы, EMS Press.
  • Кузен П. (1895), «Sur les fonctions de n айнымалылар « (PDF), Acta Math., 19: 1–62, дои:10.1007 / BF02402869.
  • Ганнинг, Роберт С .; Росси, Гюго (1965), Бірнеше күрделі айнымалылардың аналитикалық функциялары, Prentice Hall.