Кулондық толқындық функция - Coulomb wave function

Жылы математика, а Кулондық толқындық функция шешімі болып табылады Кулондық толқын теңдеуі, атындағы Шарль-Августин де Кулон. Олар мінез-құлқын сипаттау үшін қолданылады зарядталған бөлшектер ішінде Кулондық потенциал және тұрғысынан жазуға болады біріктірілген гиперггеометриялық функциялар немесе Whittaker функциялары ойдан шығарылған аргумент.

Кулондық толқын теңдеуі

Массаның жалғыз зарядталған бөлшегі үшін кулондық толқын теңдеуі ${displaystyle m}$ болып табылады Шредингер теңдеуі бірге Кулондық потенциал^[1]

${displaystyle сол жақта (-hbar ^ {2} {frac {abla ^ {2}} {2m}} + {frac {Zhbar calpha} {r}}ight) psi _ {vec {k}} ({vec {r}}) = {frac {hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} psi _ {vec {k}} ({vec {r) }}) ,,}$

қайда ${displaystyle Z = Z_ {1} Z_ {2}}$ бөлшек пен өріс көзінің зарядтарының көбейтіндісі болып табылады қарапайым заряд, ${displaystyle Z = -1}$ сутегі атомы үшін), ${displaystyle альфа}$ болып табылады ұсақ құрылым тұрақты, және ${displaystyle hbar ^ {2} k ^ {2} / (2m)}$ бұл бөлшектің энергиясы. Бұл теңдеуді параболалық координаттарда шешу арқылы шешімді - кулондық толқын функциясын табуға болады

${displaystyle xi = r + {vec {r}} cdot {hat {k}}, quad zeta = r- {vec {r}} cdot {hat {k}} qquad ({hat {k}} = {vec {k }} / к).}$

Таңдалған шекаралық шарттарға байланысты шешім әр түрлі формада болады. Шешімдердің екеуі^[2][3]

${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(pm)} ({vec {r}}) = Gamma (1pm ieta) e ^ {- pi eta / 2} e ^ {i {vec {k}} cdot {vec {r}}} M (mp ieta, 1, pm ikr-i {vec {k}} cdot {vec {r}}) ,,}$

қайда ${displaystyle M (a, b, z) equiv {} _ {1}! F_ {1} (a; b; z)}$ болып табылады біріктірілген гиперггеометриялық функция, ${displaystyle eta = Zmcalpha / (hbar k)}$ және ${displaystyle Gamma (z)}$ болып табылады гамма функциясы. Мұнда қолданылатын екі шекаралық шарт

${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(pm)} ({vec {r}})қараңғы e ^ {i {vec {k}} cdot {vec {r}}} qquad ({vec {k}} cdot {vec {r}}қара түнгі түс))}$

сәйкес келетін ${displaystyle {vec {k}}}$- бағдарланған жазық-толқындық асимптотикалық күйлер бұрын немесе кейін оның өріс көзіне сәйкесінше оның шығу тегі. Функциялар ${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(pm)}}$ формуласы бойынша бір-бірімен байланысты

${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(+)} = psi _ {- {vec {k}}} ^ {(-) *} ,.}$

Толқындардың жартылай кеңеюі

Толқындық функция ${displaystyle psi _ {vec {k}} ({vec {r}})}$ бұрыштан тәуелсіз радиалды функцияларды алу үшін ішінара толқындарға кеңейтуге болады (яғни бұрыштық негізге қатысты) ${displaystyle w_ {ell} (және т.б.,хо)}$. Мұнда ${displaystyleхо = кр}$.

${displaystyle psi _ {vec {k}} ({vec {r}}) = {frac {4pi} {r}} sum _ {ell = 0} ^ {infty} sum _ {m = -ell} ^ {ell } i ^ {ell} w_ {ell} (және,ho) Y_ {ell} ^ {m} ({hat {r}}) Y_ {ell} ^ {mast} ({hat {k}}),}$

Кеңеюдің жалғыз мүшесін белгілі бір сфералық гармоникамен скалярлық көбейту арқылы бөлуге болады

${displaystyle psi _ {kell m} ({vec {r}}) = int psi _ {vec {k}} ({vec {r}}) Y_ {ell} ^ {m} ({hat {k}}) d {hat {k}} = R_ {kell} (r) Y_ {ell} ^ {m} ({hat {r}}), qquad R_ {kell} (r) = 4pi i ^ {ell} w_ {ell } (және т.б.,хо) / р.}$

Толық емес толқынның теңдеуі ${displaystyle w_ {ell} (және т.б.,хо)}$ Кулондық толқын теңдеуіндегі лаплацианы сфералық координаттарда қайта жазу және теңдеуді белгілі бір проекциялау арқылы алуға болады сфералық гармоникалық ${displaystyle Y_ {ell} ^ {m} ({hat {r}})}$

${displaystyle {frac {d ^ {2} w_ {ell}} {dho ^ {2}}} + сол жақ (1- {frac {2eta} {ho}} - {frac {ell (ell +1)} {хо ^ {2}}}ight) w_ {ell} = 0 ,.}$

Шешімдерді кулондық (ішінара) толқындық функциялар немесе кулондық сфералық функциялар деп те атайды. Қойу ${displaystyle z = -2iхо}$ Кулон толқынының теңдеуін -ге өзгертеді Уиттейкер теңдеуі, сондықтан Кулон толқынының функцияларын Уиттакер функциялары арқылы ойдан шығарылған дәлелдермен өрнектеуге болады ${displaystyle M _ {- ieta, ell +1/2} (- 2iхо)}$ және ${displaystyle W _ {- ieta, ell +1/2} (- 2iхо)}$. Соңғысын біріктірілген гиперггеометриялық функциялар ${displaystyle M}$ және ${displaystyle U}$. Біреуі арнайы шешімдерді анықтайды ^[4]

${displaystyle H_ {ell} ^ {(pm)} (және т.б.,ho) = mp 2i (-2) ^ {ell} e ^ {pi eta / 2} e ^ {pm isigma _ {ell}}ho ^ {ell +1} e ^ {pm iho} U (ell + 1pm ieta, 2ell + 2, mp 2iхо) ,,}$

қайда

${displaystyle sigma _ {ell} = arg Gamma (l + 1 + ieta)}$

кулондық фаза ығысуы деп аталады. Біреуі нақты функцияларды анықтайды

${displaystyle F_ {ell} (және т.б.,хо) = {frac {1} {2i}} қалды (H_ {ell} ^ {(+)} (eta,ho) -H_ {ell} ^ {(-)} (және т.б.,хо)жақсы) ,,}$

${displaystyle G_ {ell} (және т.б.,ho) = {frac {1} {2}} қалды (H_ {ell} ^ {(+)} (eta,ho) + H_ {ell} ^ {(-)} (eta,хо)ight).}$

Атап айтқанда, бар

${displaystyle F_ {ell} (және т.б.,ho) = {frac {2 ^ {ell} e ^ {- pi eta / 2} | гамма (ell + 1 + ieta) |} {(2ell +1)!}}ho ^ {ell +1} e ^ {iho} M (ell + 1 + ieta, 2ell + 2, -2iхо),}$

Кулонның сфералық функциясының асимптотикалық әрекеті ${displaystyle H_ {ell} ^ {(pm)} (және т.б.,хо)}$, ${displaystyle F_ {ell} (және т.б.,хо)}$, және ${displaystyle G_ {ell} (және т.б.,хо)}$ жалпы алғанда ${displaystyleхо}$ болып табылады

${displaystyle H_ {ell} ^ {(pm)} (және т.б.,хо) sim e ^ {pm i heta _ {ell} (хо)} ,,}$

${displaystyle F_ {ell} (және т.б.,хо) sim sin heta _ {елл} (хо) ,,}$

${displaystyle G_ {ell} (және т.б.,хо) sim cos heta _ {ell} (хо) ,,}$

қайда

${displaystyle heta _ {ell} (хо) =журнал-журнал (2хо) - {frac {1} {2}} ell pi + sigma _ {ell} ,.}$

Шешімдер ${displaystyle H_ {ell} ^ {(pm)} (және т.б.,хо)}$ кіріс және шығыс сфералық толқындарға сәйкес келеді. Шешімдер ${displaystyle F_ {ell} (және т.б.,хо)}$ және ${displaystyle G_ {ell} (және т.б.,хо)}$ нақты болып табылады және тұрақты және біркелкі емес кулондық толқындық функциялар деп аталады.Атап айтқанда, толқындық функция үшін толқындардың келесі жартылай кеңеюі бар ${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(+)} ({vec {r}})}$ ^[5]

${displaystyle psi _ {vec {k}} ^ {(+)} ({vec {r}}) = {frac {4pi} {ho}} sum _ {ell = 0} ^ {infty} sum _ {m = -ell} ^ {ell} i ^ {ell} e ^ {isigma _ {ell}} F_ {ell} (eta,ho) Y_ {ell} ^ {m} ({hat {r}}) Y_ {ell} ^ {mast} ({hat {k}}) ,,}$

Кулон функциясының қасиеттері

Берілген бұрыштық импульс үшін радиалды бөліктер ортонормальды. Толқындық сан шкаласында қалыпқа келтірілгенде (к-шкаласы), үздіксіз радиалды толқын функциялары қанағаттандырады ^[6][7]

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {kell} ^ {ast} (r) R_ {k'ell} (r) r ^ {2} dr = delta (k-k ')}$

Үздіксіз толқындық функциялардың басқа жалпы қалыпқа келтірілуі толқынды сандар шкаласы бойынша (${displaystyle k / 2pi}$- масштаб),

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {kell} ^ {ast} (r) R_ {k'ell} (r) r ^ {2} dr = 2pi delta (k-k ') ,,}$

және энергетикалық шкала бойынша

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {Eell} ^ {ast} (r) R_ {E'ell} (r) r ^ {2} dr = delta (E-E '),}.$

Алдыңғы бөлімде анықталған радиалды толқын функциялары қалыпқа келтірілген

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {kell} ^ {ast} (r) R_ {k'ell} (r) r ^ {2} dr = {frac {(2pi) ^ {3}} { k ^ {2}}} атырау (k-k ')}$

қалыпқа келтірудің салдары ретінде

${displaystyle int psi _ {vec {k}} ^ {ast} ({vec {r}}) psi _ {{vec {k}} '} ({vec {r}}) d ^ {3} r = ( 2pi) ^ {3} атырау ({vec {k}} - {vec {k}} '),}$

Кулондық толқынның үздіксіз (немесе шашыраңқы) функциялары да барлығына ортогоналды Кулонмен байланысқан күйлер^[8]

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} R_ {kell} ^ {ast} (r) R_ {nell} (r) r ^ {2} dr = 0}$

сол жеке мемлекет болғандықтан гермит операторы ( хамильтондық ) әртүрлі меншікті мәндермен.

Әрі қарай оқу

• Бэтмен, Гарри (1953), Жоғары трансценденттік функциялар (PDF), 1, McGraw-Hill.
• Джагер, Дж. С .; Хулме, Х.Р (1935), «Электрондар мен позитрондар өндірісіндегі γ-сәулелердің ішкі түрленуі», Лондон Корольдік Қоғамының еңбектері. А сериясы, математика және физика ғылымдары, 148 (865): 708–728, Бибкод:1935RSPSA.148..708J, дои:10.1098 / rspa.1935.0043, ISSN  0080-4630, JSTOR  96298
• Слейтер, Люси Джоан (1960), Біріктірілген гиперггеометриялық функциялар, Кембридж университетінің баспасы, МЫРЗА  0107026.

Әдебиеттер тізімі