Дөңес өлшем - Википедия - Convex measure

Жылы өлшеу және ықтималдықтар теориясы жылы математика, а дөңес өлшем Бұл ықтималдық өлшемі бұл - еркін түрде - кез-келген «аралық» жиынтыққа көп масса бермейді өлшенетін жиынтықтар A және B оған қарағанда A немесе B жеке-жеке. Ықтималдығын салыстырудың бірнеше әдісі бар A және B және аралық жиынтықты жасауға болады, бұл дөңестіктің көптеген анықтамаларына әкеледі, мысалы шұңқыр, гармоникалық дөңес, және тағы басқа. The математик Кристер Борелл бойынша дөңес шараларды егжей-тегжейлі зерттеудің ізашары болды жергілікті дөңес кеңістіктер 1970 жылдары.^[1][2]

Жалпы анықтама және ерекше жағдайлар

Келіңіздер X болуы а жергілікті дөңес Хаусдорф векторлық кеңістік, және ықтималдық өлшемін қарастырыңыз μ үстінде Борел σ-алгебра туралы X. ≤ түзету с ≤ 0, және үшін анықтаңыз сен, v ≥ 0 және 0 ≤ λ ≤ 1,

${ displaystyle M_ {s, lambda} (u, v) = { begin {case} ( lambda u ^ {s} + (1- lambda) v ^ {s}) ^ {1 / s} & { text {if}} - infty$

Ішкі жиындар үшін A және B туралы X, біз жазамыз

${ displaystyle lambda A + (1- lambda) B = { lambda x + (1- lambda) y x x in A, in y in B }}$

олар үшін Минковский сомасы. Осы белгімен, шара μ деп айтылады с- дөңес^[1] егер барлық Borel өлшенетін ішкі жиындар үшін A және B туралы X және барлығы 0 ≤ λ ≤ 1,

${ displaystyle mu ( lambda A + (1- lambda) B) geq M_ {s, lambda} ( mu (A), mu (B)).}$

Ерекше жағдай с = 0 - теңсіздік

${ displaystyle mu ( lambda A + (1- lambda) B) geq mu (A) ^ { lambda} mu (B) ^ {1- lambda},}$

яғни

${ displaystyle log mu ( lambda A + (1- lambda) B) geq lambda log mu (A) + (1- lambda) log mu (B).}$

Осылайша, 0-дөңес өлшем а-мен бірдей нәрсе логарифмдік ойыс өлшем.

Қасиеттері

Сыныптары с- дөңес шаралар ұя ретінде өсіп келе жатқан отбасын құрайды с −∞ дейін азаяды »

${ displaystyle s leq t { text {and}} mu { text {is}} t { text {-convex}} меңзейді mu { text {is}} s { text {-convex }}}$

немесе баламалы

${ displaystyle s leq t білдіреді {s { text {-қоңыр өлшемдері}} } supseteq {t { text {-dөңес өлшемдер}} }.}$

Осылайша, −∞-дөңес өлшемдердің жиынтығы осындай класс болып табылады, ал 0-дөңес өлшемдер (логарифмдік ойыс өлшемдер) ең кіші класс болып табылады.

Өлшемнің дөңестігі μ қосулы n-өлшемді Евклид кеңістігі Rⁿ жоғарыдағы мағынада оның дөңес болуымен тығыз байланысты ықтималдық тығыздығы функциясы.^[2] Әрине, μ болып табылады с- егер бар болса ғана дөңес абсолютті үздіксіз шара ν ықтималдық тығыздығы функциясымен ρ кейбіреулерінде R^к сондай-ақ μ болып табылады алға итеру қосулы ν астында сызықтық немесе аффиндік карта және ${ displaystyle e_ {s, k} circ rho colon mathbb {R} ^ {k} to mathbb {R}}$ Бұл дөңес функция, қайда

${ displaystyle e_ {s, k} (t) = { begin {case} t ^ {s / (1-sk)} & { text {if}} - infty$

Дөңес шаралар а нөлдік заң: егер G - векторлық кеңістіктің өлшенетін аддитивті кіші тобы X (яғни өлшенетін сызықтық ішкі кеңістік), содан кейін ішкі өлшем туралы G астында μ,

${ displaystyle mu _ { ast} (G) = sup { mu (K) mid K subeteq G { text {and}} K { text {is compact}} },}$

0 немесе 1 болуы керек. (Бұл жағдайда μ Бұл Радон өлшемі, демек ішкі тұрақты, шара μ және оның ішкі өлшемі сәйкес келеді, сондықтан μ-шамасы G 0 немесе 1 болса.)^[1]

Әдебиеттер тізімі

1. ^ ^{а б в} Борелл, Кристер (1974). «Жергілікті дөңес кеңістіктегі дөңес шаралар». Кеме Мат. 12 (1–2): 239–252. дои:10.1007 / BF02384761. ISSN  0004-2080.
2. ^ ^{а б} Борелл, Кристер (1975). «Функциялары дөңес г.-ғарыш». Кезең. Математика. Венгр. 6 (2): 111–136. дои:10.1007 / BF02018814. ISSN  0031-5303.