Конформальды цикл ансамблі - Википедия - Conformal loop ensemble

Ұялы торға сыни перколяция кезінде алтыбұрыштың әрқайсысы бірдей ықтималдықпен дербес қызыл немесе қара түске боялады. Қара кластерді қызыл кластерден бөлетін кез-келген интерфейс жасыл түспен көрсетілген. Бұл кездейсоқ интерфейстер жиынтығы CLE-ге сәйкес келеді6 тордың аралықтары нөлге ауысқанда.
SLE-ге жақындаған кездейсоқ интерфейсті анықтау үшін біз алтыбұрыштардың түстерін домен шекарасы бойынша бекітеміз. Бұл процедура қызыл алтыбұрыштарды қара алтыбұрыштардан бөлетін бір интерфейсті анықтайды. Бұл жол заң бойынша SLE-ге жақындайды6 тордың аралықтары нөлге ауысқанда.

A конформды цикл ансамблі (CLEκ) - бұл жазықтықтың қарапайым жалғанған, ашық ішкі бөлігіндегі қиылыспайтын ілмектердің кездейсоқ жиынтығы. Бұл ілмектердің кездейсоқ жиынтығы κ параметрімен индекстеледі, ол 8/3 пен 8 аралығындағы кез келген нақты сан болуы мүмкін. CLEκ . циклінің нұсқасы болып табылады Шрамм-Левнер эволюциясы: SLEκ бір дискретті кездейсоқ интерфейсті модельдеуге арналған, ал CLEκ интерфейстердің толық жиынтығын модельдейді.

Көптеген жағдайларда дискретті модель мен SLE арасындағы болжамды немесе дәлелденген байланыс барκ, сонымен бірге CLE-мен болжамды немесе дәлелденген байланыс барκ. Мысалға:

  • CLE3 критикалық интерфейстердің шегі болып табылады Үлгілеу.
  • CLE4 0-дің жиынтығы ретінде қарастырылуы мүмкін Гаусс алаңы.
  • CLE16/3 FK Ising перколяциясының кластерлік интерфейстерінің масштабтау шегі.
  • CLE6 масштабтау шегі болып табылады сыни перколяция үшбұрышты торда.

Құрылыстар

8/3 үшін <κ <8, CLEκ SLE-нің тармақталған вариациясын қолдану арқылы құрылуы мүмкінκ процесс (Шеффилд (2009) ). 8/3 <κ ≤ 4 болғанда, CLEκ броундық сорпа кластерлерінің сыртқы шекаралары жиынтығы ретінде жасалуы мүмкін (Шеффилд пен Вернер (2010)).

Қасиеттері

CLEκ конформды инвариантты болып табылады, бұл дегеніміз, егер бұл конформды карта, онда CLE заңы D ' барлық CLE циклдарының кескін заңымен бірдей Д. картаның астында .

CLE бастапκ SLE көмегімен анықталуы мүмкінκ процесс, CLE циклдары SLE-ден көптеген жол қасиеттерін алады. Мысалы, әрбір CLEκ цикл - фрактал, ол сенімді Хаусдорф өлшемі 1 + κ / 8. Әрбір цикл 8/3 <κ ≤ 4 болғанда қарапайым (дерлік қиылысу жоқ) және 4 <κ <8 болғанда дерлік дерлік өздігінен қозғалады.

Циклда қамтылмаған барлық нүктелердің жиынтығы тығыздағыш, Hausdorff өлшемі 1 + 2 / κ + 3κ / 32 екені сөзсіз (кездейсоқ сорпалар, кілемдер және фракальды өлшемдер Наку мен Вернердің). Миллер, Сан және Уилсон (2012)). Бұл өлшем 1 + κ / 8-ден үлкен болғандықтан, кез-келген циклда қамтылмаған немесе қоршалмаған нүктелер бар екені сөзсіз. Алайда, тығыздағыштың өлшемі 2-ден аз болғандықтан, барлығы дерлік нүктелер (аудан өлшеміне қатысты) циклдің ішкі бөлігінде орналасқан.

Кейде CLE тек шеткі циклдарды қосатын етіп анықталады, осылайша циклдар жиынтығы кірістірілмейді (басқасында цикл болмайды). Мұндай CLE а деп аталады қарапайым Оны а-дан ажырату үшін CLE толық немесе кірістірілген CLE. Толық CLE заңын қарапайым CLE заңынан келесідей қалпына келтіруге болады. Қарапайым CLE ілмектерінің жиынтығынан, ал әрбір цикл ішінде басқа қарапайым CLE ілмектерінен үлгі алыңыз. Бұл процедураның көптеген қайталанулары толық CLE береді.

Әдебиеттер тізімі

  • Шеффилд, Скотт (2009), «Барлау ағаштары және конформды цикл ансамбльдері», Герцог Математика Дж, 147 (1): 79–129, arXiv:математика / 0609167, дои:10.1215/00127094-2009-007
  • Миллер, Джейсон; Күн, Nike; Уилсон, Дэвид (2012). «CLE тығыздағышының Hausdorff өлшемі». Ықтималдық шежіресі. 42 (4): 1644–1665. arXiv:1206.0725. дои:10.1214 / 12-AOP820.
  • Шеффилд, Скотт; Вернер, Венделин (2010). «Конформды цикл ансамбльдері: марковтық сипаттама және цикл-сорпаның құрылысы». arXiv:1006.2374.