Кешенді кобордизм - Complex cobordism

Математикада, күрделі кобордизм Бұл жалпыланған когомология теориясы байланысты кобордизм туралы коллекторлар. Оның спектр MU арқылы белгіленеді. Бұл өте күшті когомология теорияны есептеу қиын, бірақ оны есептеу өте қиын болуы мүмкін, сондықтан көбінесе оны пайдаланудың орнына одан алынған әлсіз теорияларды қолданады, мысалы Браун - Петерсон когомологиясы немесе Морава теориясы, оларды есептеу оңайырақ.

Кобордизмнің жалпыланған гомология және когомологиялық кешенді теориялары енгізілді Майкл Атия (1961 ) көмегімен Том спектрі.

Кешенді кобордизм спектрі

Кешенді бордизм ${ displaystyle MU ^ {*} (X)}$ кеңістіктің ${ displaystyle X}$ бұл манифольдтардың бордизм кластарының тобы ${ displaystyle X}$ қорада күрделі сызықтық құрылымы бар қалыпты байлам. Кешенді бордизм жалпыланған болып табылады гомология теориясы, MU спектріне сәйкес келеді, оны анық сипаттауға болады Том кеңістігі келесідей.

Кеңістік ${ displaystyle MU (n)}$ болып табылады Бос кеңістік әмбебап ${ displaystyle n}$ - ұшақтың байламы кеңістікті жіктеу ${ displaystyle BU (n)}$ туралы унитарлық топ ${ displaystyle U (n)}$ . Бастап табиғи кіру ${ displaystyle U (n)}$ ішіне ${ displaystyle U (n + 1)}$ дубльден картаны шығарады тоқтата тұру ${ displaystyle Sigma ^ {2} MU (n)}$ дейін ${ displaystyle MU (n + 1)}$ . Бұл карталар бірігіп спектр береді ${ displaystyle MU}$ ; атап айтқанда, бұл гомотопиялық колимит туралы ${ displaystyle MU (n)}$ .

Мысалдар: ${ displaystyle MU (0)}$ бұл спектр спектрі. ${ displaystyle MU (1)}$ болып табылады үмітсіздік ${ displaystyle Sigma ^ { infty -2} mathbb {CP} ^ { infty}}$ туралы ${ displaystyle mathbb {CP} ^ { infty}}$ .

The нилпотенция теоремасы кез келген үшін сақина спектрі ${ displaystyle R}$ , ядросы ${ displaystyle pi _ {*} R to operatorname {MU} _ {*} (R)}$ нілпотентті элементтерден тұрады.^[1] Теорема, атап айтқанда, егер дегенді білдіреді ${ displaystyle mathbb {S}}$ бұл кез-келген үшін сфералық спектр ${ displaystyle n> 0}$ , -ның әрбір элементі ${ displaystyle pi _ {n} mathbb {S}}$ нілпотентті (теоремасы Горо Нишида ). (Дәлел: егер ${ displaystyle x}$ ішінде ${ displaystyle pi _ {n} S}$ , содан кейін ${ displaystyle x}$ бұралу, бірақ оның бейнесі ${ displaystyle operatorname {MU} _ {*} ( mathbb {S}) simeq L}$ , Лазард сақинасы, бастап бұралу мүмкін емес ${ displaystyle L}$ көпмүшелік сақина болып табылады. Осылайша, ${ displaystyle x}$ ядрода болуы керек.)

Ресми топтық заңдар

Джон Милнор (1960 ) және Сергей Новиков (1960, 1962 ) коэффициент сақинасы екенін көрсетті ${ displaystyle pi _ {*} ( оператордың аты {MU})}$ (нүктенің күрделі кобордизміне тең немесе тұрақты күрделі коллекторлар кобордизм класстарының эквивалентіне сәйкес) - бұл көпмүшелік сақина ${ displaystyle mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, ldots]}$ көптеген генераторларда ${ displaystyle x_ {i} in pi _ {2i} ( operatorname {MU})}$ оң дәреже.

Жазыңыз ${ displaystyle mathbb {CP} ^ { infty}}$ шексіз өлшемді үшін күрделі проекциялық кеңістік, бұл сызық шоғырларының тензор көбейтіндісі картаны шығаратындай етіп, күрделі сызық шоғырларының жіктеу кеңістігі ${ displaystyle mu: mathbb {CP} ^ { infty} times mathbb {CP} ^ { infty} to mathbb {CP} ^ { infty}.}$ A күрделі бағдар ассоциатив бойынша коммутативті сақина спектрі E элемент болып табылады х жылы ${ displaystyle E ^ {2} ( mathbb {CP} ^ { infty})}$ оның шектеулері ${ displaystyle E ^ {2} ( mathbb {CP} ^ {1})}$ 1-ге тең, егер соңғы сақина коэффициент сақинасымен анықталса E. Спектр E осындай элементпен х а деп аталады күрделі бағытталған сақина спектрі.

Егер E - бұл күрделі бағдарланған сақиналық спектр

{ displaystyle E ^ {*} ( mathbb {CP} ^ { infty}) = E ^ {*} ({ text {point}}) [[x]]}

{ displaystyle E ^ {*} ( mathbb {CP} ^ { infty}) times E ^ {*} ( mathbb {CP} ^ { infty}) = E ^ {*} ({ text { нүкте}}) [[x otimes 1,1 otimes x]]}

және ${ displaystyle mu ^ {*} (x) in E ^ {*} ({ text {point}}) [[x otimes 1,1 otimes x]]}$ Бұл ресми топтық құқық сақина үстінде ${ displaystyle E ^ {*} ({ text {point}}) = pi ^ {*} (E)}$ .

Кешенді кобордизм табиғи кешенді бағытқа ие. Даниэль Куиллен (1969 ) оның коэффициент сақинасынан табиғи изоморфизмі бар екенін көрсетті Лазардтың әмбебап сақинасы, күрделі кобордизмнің формальды топтық құқығын әмбебап формальды топтық заңға айналдыру. Басқаша айтқанда, кез-келген ресми топтық заң үшін F кез-келген ауыстырғыш сақинадан артық R, MU-дан ерекше сақиналы гомоморфизм бар^*(меңзер) R осындай F күрделі кобордизмнің формальды топтық заңының кері күші.

Браун - Петерсон когомологиясы

Рационалдарға қатысты күрделі кобордизмді рационалдарға қарағанда қарапайым когомологияға дейін төмендетуге болады, сондықтан басты қызығушылық күрделі кобордизмнің бұралуына байланысты. Біртектес бұралуды біртіндеп зерттеу MU-ны ең қарапайым уақытта оқшаулау арқылы жүргізу оңайырақ б; бұл шамамен бұралуды өлтіруді білдіреді б. Оқу орнын оқшаулау_б MU-дің ең жақсы кезеңінде б қарапайым когомология теориясының суспензияларының қосындысы ретінде бөлінеді Браун - Петерсон когомологиясы, бірінші сипатталған Браун және Петерсон (1966). Іс жүзінде көбінесе күрделі кобордизммен емес, Браун-Петерсон когомологиясымен есептеулер жасайды. Браун-Петерсон когомологиясын барлық қарапайым сандарға арналған кеңістікті білу б оның күрделі кобордизм туралы білімімен шамалас.

Коннер-Флойд сыныптары

Сақина ${ displaystyle operatorname {MU} ^ {*} (BU)}$ формальды серия сақинасына изоморфты болып табылады ${ displaystyle operatorname {MU} ^ {*} ({ text {point}}) [[cf_ {1}, cf_ {2}, ldots]]}$ мұндағы cf элементтері Conner-Floyd класстары деп аталады. Олар күрделі кобордизм үшін Черн кластарының аналогтары. Олар таныстырды Conner & Floyd (1966).

Сол сияқты ${ displaystyle operatorname {MU} _ {*} (BU)}$ көпмүшелік сақинаға изоморфты болып келеді ${ displaystyle operatorname {MU} _ {*} ({ text {point}}) [[ beta _ {1}, beta _ {2}, ldots]]}$