Коломбо алгебрасы - Википедия - Colombeau algebra

Жылы математика, а Коломбо алгебрасы болып табылады алгебра кеңістігін қамтитын белгілі бір түрдегі Шварц үлестірімдері. Классикалық таралу теориясында үлестірімдерді жалпы көбейту мүмкін болмаса, Коломбе алгебралары бұл үшін қатаң негіз жасайды.

Мұндай үлестірулерді көбейту Л.Шварцтың мүмкін емес нәтижесі болғандықтан мүмкін емес деп есептелді, бұл негізінен таралу кеңістігін қамтитын және үздіксіз функциялардың туындысын сақтайтын дифференциалды алгебра болмайды. Алайда, егер біреу тек тегіс функциялардың өнімін сақтағысы келсе, оның орнына мұндай құрылыс мүмкін болады, мұны алдымен Коломбо көрсетті.

Математикалық құрал ретінде Коломбе алгебралары таралу теориясының шектеулерін көтеріп, сингулярлықты, дифференциацияны және сызықтық емес амалдарды бір шеңберде біріктіреді деп айтуға болады. Бұл алгебралар парциалды теңдеулер, геофизика, микролокалды талдау және жалпы салыстырмалылық салаларында көптеген қосымшалар тапты.

Шварцтың мүмкін емес нәтижесі

Кеңістікті ендіруге тырысу ${ displaystyle { mathcal {D}} '( mathbb {R})}$ тарату ${ displaystyle mathbb {R}}$ ассоциативті алгебраға ${ displaystyle (A ( mathbb {R}), circ, +)}$, келесі талаптар табиғи болып көрінеді:

1. ${ displaystyle { mathcal {D}} '( mathbb {R})}$ ішіне сызықтық ендірілген ${ displaystyle A ( mathbb {R})}$ тұрақты функциясы болатындай ${ displaystyle 1}$ ішіндегі бірлікке айналады ${ displaystyle A ( mathbb {R})}$,
2. Ішінара туынды оператор бар ${ displaystyle kısalt}$ қосулы ${ displaystyle A ( mathbb {R})}$ ол сызықты және Лейбниц ережесін қанағаттандырады,
3. шектеу ${ displaystyle kısalt}$ дейін ${ displaystyle { mathcal {D}} '( mathbb {R})}$ әдеттегі ішінара туындымен сәйкес келеді,
4. шектеу ${ displaystyle circ}$ дейін ${ displaystyle C ( mathbb {R}) есе C ( mathbb {R})}$ нүктелік көбейтіндісімен сәйкес келеді.

Алайда Л.Шварцтың нәтижесі^[1] бұл талаптардың бір уақытта орындала алмайтындығын білдіреді. Егер 4-те біреуін ауыстырса да, дәл солай болады ${ displaystyle C ( mathbb {R})}$ арқылы ${ displaystyle C ^ {k} ( mathbb {R})}$, кеңістігі ${ displaystyle k}$ үздіксіз дифференциалданатын функциялар. Бұл нәтиже көбінесе үлестірулерді жалпы көбейту мүмкін емес деп түсіндірілсе де, іс жүзінде тек дифференциацияны, үздіксіз функцияларды көбейтуді және Дирак дельтасы сияқты сингулярлық объектілердің болуын шектеусіз біріктіруге болмайтынын айтады.

Коломбе алгебралары 1. –3 шарттарын орындау үшін салынған. және 4. сияқты шарт, бірақ бірге ${ displaystyle C ( mathbb {R}) есе C ( mathbb {R})}$ ауыстырылды ${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R}) есе C ^ { infty} ( mathbb {R})}$, яғни олар тек тегіс (шексіз дифференциалданатын) функциялардың өнімін сақтайды.

Негізгі идея

Коломбо алгебрасы^[2] ретінде анықталады алгебра

${ displaystyle C_ {M} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}) / C_ {N} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}).}$

Мұнда алгебрасы орташа функциялар ${ displaystyle C_ {M} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$ қосулы ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ тегіс алгебрасы заңдылықтар (f_ε)

${ displaystyle {f:} mathbb {R} _ {+} to C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$

туралы тегіс функциялар қосулы ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$(қайда R₊ = (0, ∞) «регуляция «параметр ε), барлық ықшам ішкі жиындар үшін Қ туралы ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ және бәрі көп көрсеткіштер α, бар N > 0 осылай

${ displaystyle sup _ {x in K} сол | { frac { жартылай ^ {| альфа |}} {( жартылай x_ {1}) ^ { альфа _ {1}} cdots ( ішінара x_ {n}) ^ { альфа _ {n}}}} f _ { varepsilon} (x) right | = O ( varepsilon ^ {- N}) qquad ( varepsilon to 0). }$

The идеалды ${ displaystyle C_ {N} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$ туралы елеусіз функциялар дәл осылай анықталады, бірақ оның орнына туынды туындылары бар O (ε^{+ N}) үшін барлық N > 0.

Таратуларды енгізу

Кеңістігі Шварц үлестірімдері ішіне кірістіруге болады жеңілдетілген алгебра (компонент бойынша) конволюция алгебраның кез-келген элементімен, өкілі ретінде а net-тор, яғни тегіс функциялардың отбасы ${ displaystyle varphi _ { varepsilon}}$ осындай ${ displaystyle varphi _ { varepsilon} to delta}$ жылы D ' сияқтыε → 0.

Бұл ендіру канондық емес, себебі бұл δ-торды таңдауға байланысты. Алайда, Коломбе алгебраларының нұсқалары бар (осылай аталады) толық алгебралар), бұл бөлудің канондық енуіне мүмкіндік береді. Белгілі толық нұсқасы екінші индекстеу жиынтығы ретінде молификаторларды қосу арқылы алынады.

Сондай-ақ қараңыз

• Жалпыланған функция

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Коломбо, Дж. Ф., Жаңа жалпыланған функциялар және үлестірулерді көбейту. Солтүстік Голландия, Амстердам, 1984 ж.
• Коломбо, Дж. Ф., Жаңа жалпыланған функцияларға қарапайым кіріспе. Солтүстік-Голландия, Амстердам, 1985 ж.
• Неделжков, М., Пилипович, С., Скарпалесос, Д., Коломбаның жалпыланған функцияларының сызықтық теориясы, Аддисон Уэсли, Лонгман, 1998 ж.
• Гроссер, М., Кунцингер, М., Обугуггенбергер, М., Штайнбауэр, Р .; Жалпы салыстырмалылыққа қосымшалары бар жалпыланған функциялардың геометриялық теориясы, Springer сериялы математика және оның қолданылуы, т. 537, 2002; ISBN  978-1-4020-0145-1.