Кондар теоремасы - Википедия - Cohns theorem

Бұл мақала болып табылады жетім, басқа мақалалар сияқты емес оған сілтеме. өтінемін сілтемелерді енгізу осы параққа қатысты мақалалар; көріңіз Сілтеме құралын табыңыз ұсыныстар үшін. (Желтоқсан 2018)

Бұл мақала тақырыпты білмейтіндерге контексттің жеткіліксіздігін қамтамасыз етеді. Өтінемін көмектесіңіз мақаланы жақсарту арқылы оқырманға көбірек контекст беру. (Наурыз 2018) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Жылы математика, Кон теоремасы^[1] а nөзін-өзі инверсивті дәрежесі көпмүшелік ${ displaystyle p (z)}$ сонша бар тамырлар ашық блок дискіде ${ displaystyle D = {z in mathbb {C}: | z | <1 }}$ ретінде өзара көпмүшелік оның туынды.^[1][2][3] Кон теоремасы өздігінен инверсивті және өзара өзара көпмүшеліктердің түбірлерінің таралуын зерттеу үшін пайдалы күрделі жазықтық.^[4][5]

Ан nүшінші дәрежелі полином,

${ displaystyle p (z) = p_ {0} + p_ {1} z + cdots + p_ {n} z ^ {n}}$

бар болса, өзін-өзі инверсивті деп атайды тұрақты күрделі сан ( ${ displaystyle omega}$ ) of модуль 1 сондықтан,

${ displaystyle p (z) = omega p ^ {*} (z), qquad left (| omega | = 1 right),}$

қайда

${ displaystyle p ^ {*} (z) = z ^ {n} { bar {p}} left ({ frac {1} {z}} right) = { bar {p}} _ { n} + { bar {p}} _ {n-1} z + cdots + { bar {p}} _ {0} z ^ {n}}$

болып табылады өзара көпмүшелік байланысты ${ displaystyle p (z)}$ және бар дегеніміз күрделі конъюгация. Өзіндік инверсивті көпмүшелер көптеген қызықты қасиеттерге ие.^[6] Мысалы, оның тамыры бар симметриялы қатысты бірлік шеңбер және түбірлері бірлік шеңберде болатын көпмүшелік міндетті түрде өздігінен инверсивті болады. The коэффициенттер өзара инверсивті көпмүшелер қатынастарды қанағаттандырады.

${ displaystyle p_ {k} = omega { bar {p}} _ {n-k}, qquad 0 leqslant k leqslant n.}$

Бұл жағдайда ${ displaystyle omega = 1,}$ а өзіндік инверсивті көпмүшелік а болады күрделі-өзара көпмүшелік (сонымен бірге а өзін-өзі біріктіретін көпмүшелік). Егер оның коэффициенттері нақты болса, онда ол а болады нақты өзіндік өзара көпмүшелік.

The ресми туынды туралы ${ displaystyle p (z)}$ Бұл (n - 1) арқылы берілген үшінші дәрежелі көпмүшелік

${ displaystyle q (z) = p '(z) = p_ {1} + 2p_ {2} z + cdots + np_ {n} z ^ {n-1}.}$

Сондықтан, Кон теоремасы екеуін де айтады ${ displaystyle p (z)}$ және көпмүше

${ displaystyle q ^ {*} (z) = z ^ {n-1} { bar {q}} _ {n-1} left ({ frac {1} {z}} right) = z ^ {n-1} { бар {p}} ' сол жақта ({ frac {1} {z}} оң) = n { бар {p}} _ {n} + (n-1) { bar {p}} _ {n-1} z + cdots + { bar {p}} _ {1} z ^ {n-1}}$

тамырларының саны бірдей ${ displaystyle | z | <1.}$

Әдебиеттер тізімі