Когерентті топология - Coherent topology

Жылы топология, а когерентті топология Бұл топология оны біртұтас отбасы анықтайды ішкі кеңістіктер. Еркін түрде, а топологиялық кеңістік ішкі кеңістіктермен келісілген, егер ол а топологиялық одақ сол ішкі кеңістіктердің Оны кейде деп те атайды әлсіз топология ішкі кеңістіктер тобы қалыптастырған, карталар жиынтығымен құрылған әлсіз топология ұғымынан мүлдем өзгеше ұғым.^[1]

Анықтама

Келіңіздер X болуы а топологиялық кеңістік және рұқсат етіңіз C = {C_α : α ∈ A} а отбасы ішкі жиындарының X субмеңістік топологиясымен. (әдетте C болады қақпақ туралы X). Содан кейін X деп айтылады үйлесімді C (немесе арқылы анықталады C)^[2] егер топологиясы X шыққаннан кейін қалпына келтіріледі соңғы топология сәйкес келеді қосу карталары

${displaystyle i_ {alpha}: C_ {alpha} o Xqquad alfa in A.}$

Анықтама бойынша бұл ең жақсы топология бойынша (негізгі жиынтығы) X ол үшін карталар қосылады үздіксіз.Егер C - мұқабасы X, содан кейін X үйлесімді C егер келесі екі баламалы шарттың кез-келгені орындалса:

• Ішкі жиын U болып табылады ашық жылы X егер және егер болса U ∩ C_α ашық C_α әрбір α ∈ үшін A.
• Ішкі жиын U болып табылады жабық жылы X егер және егер болса U ∩ C_α жабық C_α әрбір α ∈ үшін A.

Жоғарыда айтылғандар дұрыс емес C қамтымайды X

Топологиялық кеңістік берілген X және кез-келген кіші кеңістіктер C бірегей топология бар (негізгі жиынтығы) X дегенмен келісілген C. Бұл топология, жалпы алғанда, болады жіңішке берілген топологияға қарағанда X.

Мысалдар

• Топологиялық кеңістік X әрқайсысымен келісілген ашық қақпақ туралы X.
• Топологиялық кеңістік X әрқайсысымен келісілген жергілікті шектеулі жабық қақпағы X.
• A дискретті кеңістік ішкі кеңістіктің әр жанұясымен үйлесімді (соның ішінде бос отбасы ).
• Топологиялық кеңістік X а-мен келісілген бөлім туралы X егер және тек X болып табылады гомеоморфты дейін бірлескен одақ бөлім элементтерінің.
• Шектелген кеңістіктер барлығының отбасы анықтайтындар ақырғы ішкі кеңістіктер.
• Жинақталған кеңістіктер барлығының отбасы анықтайтындар ықшам кеңістіктер.
• A CW кешені X отбасымен үйлесімді n-қаңқалар X_n.

Топологиялық одақ

Келіңіздер ${displaystyle {X_ {альфа}, альфа A}}$ отбасы болу (міндетті емес) бөлу ) топологиялық кеңістіктер топологиялар әрқайсысы туралы келісу қиылысу X_α ∩ X_β.Бұдан әрі деп ойлаңыз X_α ∩ X_β жабық X_α әрбір α үшін, β. Содан кейін топологиялық одақX болып табылады теориялық одақ

${displaystyle X ^ {set} = igcup _ {альфа A} X_ {альфа}}$

Инклюзивтік карталармен біріктірілген соңғы топологиямен қамтамасыз етілген ${displaystyle i_ {альфа}: X_ {альфа} o X ^ {жиын}}$. Содан кейін қосу карталары болады топологиялық ендірулер және X ішкі кеңістіктермен үйлесімді болады {X_α}.

Керісінше, егер X ішкі кеңістіктермен үйлесімді {C_α} бұл мұқаба X, содан кейін X болып табылады гомеоморфты отбасының топологиялық одағына {C_α}.

Жоғарыдағыдай топологиялық кеңістіктің ерікті отбасының топологиялық одағын құруға болады, бірақ егер топология қиылыстарда келіспейтін болса, онда кірістіру міндетті түрде ендірме болмайды.

Топологиялық одақты. Көмегімен сипаттауға болады бірлескен одақ. Нақтырақ айтқанда, егер X бұл отбасының топологиялық одағы {X_α}, содан кейін X геомоморфты болып табылады мөлшер отбасының бөлінбеген одағының {X_α} бойынша эквиваленттік қатынас

${displaystyle (x, альфа) sim (y, eta) сол жақ x = y}$

барлық α, β дюйм үшін A. Бұл,

${displaystyle Xcong coprod _ {альфа A} X_ {альфа} / сим.}$

Егер бос орындар {X_α} барлығы диссоцитті, содан кейін топологиялық одақ - бұл тек дисконтталған одақ.

Енді A жиынтығы деп есептейік бағытталған, қосумен үйлесімді түрде: ${displaystyle alfa leq eta}$ қашан болса да ${displaystyle X_ {альфа} ішкі жиынтық X_ {eta}}$. Онда бірегей карта бар ${displaystyle varinjlim X_ {альфа}}$ дейін X, бұл шын мәнінде гомеоморфизм болып табылады. Мұнда ${displaystyle varinjlim X_ {альфа}}$ болып табылады тікелей (индуктивті) шек (колимит )туралы {X_α} санатында Жоғары.

Қасиеттері

Келіңіздер X кіші кеңістіктермен үйлесімді болу {C_α}. Карта f : X → Y болып табылады үздіксіз егер және шектеулер болса ғана

${displaystyle f | _ {C_ {альфа}}: C_ {альфа} o Y,}$

әр α ∈ үшін үздіксіз болады A. Бұл әмбебап меншік кеңістік мағынасында когерентті топологияларды сипаттайды X үйлесімді C егер бұл қасиет барлық кеңістіктерге сәйкес келсе ғана Y және барлық функциялар f : X → Y.

Келіңіздер X а арқылы анықталады қақпақ C = {C_α}. Содан кейін

• Егер C Бұл нақтылау мұқабаның Д., содан кейін X арқылы анықталады Д..
• Егер Д. нақтылау болып табылады C және әрқайсысы C_α бәрінің отбасы анықтайды Д._β құрамында C_α содан кейін X арқылы анықталады Д..

Келіңіздер X {арқылы анықталадыC_α} және рұқсат етіңіз Y ашық немесе жабық болу ішкі кеңістік туралы X. Содан кейін Y анықталады {Y ∩ C_α}.

Келіңіздер X {арқылы анықталадыC_α} және рұқсат етіңіз f : X → Y болуы а квоталық карта. Содан кейін Y {f (арқылы анықталады)C_α)}.

Келіңіздер f : X → Y болуы а сурьективті карта және делік Y анықталады {Д._α : α ∈ A}. Әрбір α ∈ үшін A рұқсат етіңіз

${displaystyle f_ {альфа}: f ^ {- 1} (D_ {альфа}) o D_ {альфа},}$

шектеу болуы f дейін f⁻¹(Д._α). Содан кейін

• Егер f үздіксіз және әрқайсысы f_α квоталық карта болып табылады f квоталық карта болып табылады.
• f Бұл жабық карта (респ. ашық картаны ) егер және әрқайсысы болса ғана f_α жабық (респ. ашық).

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Танака, Йосио (2004). «Котитивті кеңістіктер және ыдырау». К.П. Харт; Дж. Нагата; Джон Вон (ред.) Жалпы топология энциклопедиясы. Амстердам: Elsevier Science. 43-46 бет. ISBN  0-444-50355-2.
• Уиллард, Стивен (1970). Жалпы топология. Рединг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-486-43479-6 (Dover басылымы).