Классикалық XY моделі - Classical XY model

The классикалық XY моделі (кейде сонымен бірге аталады) классикалық ротор (айналдырғыш) модель немесе O (2) моделі) Бұл торлы модель туралы статистикалық механика. Жалпы, XY моделін Стэнлидің мамандануы ретінде қарастыруға болады n-векторлық модель [1] үшін n = 2.

Анықтама

Берілген Д.-өлшемді тор Λ, әрбір торлы торапқа j ∈ Λ екі өлшемді, бірлік ұзындығы векторы сj = (cos θj, күнә θj)

The айналдыру конфигурациясы, с = (сj)j ∈ Λ - бұрыштың тағайындалуы π < θjπ әрқайсысы үшін j ∈ Λ.

Берілген аударма-инвариантты өзара әрекеттесу Джиж = Дж(менj) және нүктеге тәуелді сыртқы өріс , конфигурация энергиясы болып табылады

Бұл жағдайда Джиж = 0 қоспағанда иж жақын көрші шақырылады жақын көрші іс.

The конфигурация ықтималдығы арқылы беріледі Больцманның таралуы кері температурамен β ≥ 0:

қайда З болып табылады қалыпқа келтіру, немесе бөлім функциясы.[2] Белгі кездейсоқ шаманың күтуін көрсетеді A(с) көлемінің шексіз шегінде, кейін мерзімді шекаралық шарттар міндеттелді.

Қатты нәтижелер

Сондықтан сыни β XY моделінің мәні Ising моделінің критикалық температурасының екі есесінен кіші болуы мүмкін емес

Бір өлшем

Кез-келген 'жақын көршідегідей' n-векторлық модель еркін (периодты емес) шекаралық шарттармен, егер сыртқы өріс нөлге тең болса, онда қарапайым нақты шешім бар. Еркін шекаралық жағдайда гамильтондық болып табылады

сондықтан бөлу функциясы координаталардың өзгеруіне байланысты факторизацияланады

Бұл береді

қайда болып табылады өзгертілген Bessel функциясы бірінші типтегі Бөлім функциясын бірнеше маңызды термодинамикалық шамаларды табуға пайдалануға болады. Мысалы, термодинамикалық шекте (), бос энергия бір айналымға тең

Өзгертілген Бессель функцияларының қасиеттерін пайдалана отырып, меншікті жылуды (айналдыруға) былай өрнектеуге болады[5]

қайда , және бұл қысқа диапазондағы корреляциялық функция,

Бір өлшемді XY моделіндегі бір айналдыруға нақты жылу

Термодинамикалық шекте де меншікті жылулықта дивергенция болмайды. Шынында да, бір өлшемді Исинг моделі сияқты, бір өлшемді XY моделінде де соңғы температурада фазалық ауысулар болмайды.

Шектік мерзімді шарт үшін бірдей есептеулер (және әлі де) сағ = 0) талап етеді матрицалық формализм дегенмен, нәтиже бірдей.[6].

(Тасымалдау матрицасының формализмінің егжей-тегжейін көру үшін оң жақтағы «көрсетуді» басыңыз.)

Бөлімнің функциясын келесідей бағалауға болады

оны матрицаның ізі ретінде қарастыруға болады, атап айтқанда матрицалар туындысы (скалярлар, бұл жағдайда). Матрицаның ізі - бұл жай меншікті мәндердің қосындысы, ал термодинамикалық шекте жеке меншіктің ең үлкен мәні ғана өмір сүреді, сондықтан бөлу функциясын осы максималды меншіктің қайталанатын көбейтіндісі ретінде жазуға болады. Бұл меншікті мән мәселесін шешуді талап етеді

Кеңейтуге назар аударыңыз

оның диагональды матрицалық бейнесін оның жазықтықтағы өзіндік функциялары негізінде ұсынады . Матрицаның меншікті мәндері өзгертілген, Бессель функциялары бойынша бағаланады , атап айтқанда . Кез келген нақты мәні үшін , бұл өзгертілген Bessel функциялары қанағаттандырады және . Сондықтан термодинамикалық шекте меншікті мән ізде басым болады және солай болады .

Бұл матрицалық тәсіл еркін шекаралық шарттарды қолданған кезде, бірақ қолданбалы өріс кезінде де қажет . Егер қолданылатын өріс болса шамасы аз, оны жүйеге нөлдік өрістегі толқу ретінде қарастыруға болады, онда магниттік сезімталдық бағалауға болады. Бұл матрицалық тәсілмен есептелген меншікті күйлерді пайдалану және екінші ретті энергияның ауысуын есептеу арқылы жүзеге асырылады. мазасыздық теориясы, содан кейін бос энергияның кеңеюімен салыстыру . Біреуі табады [7]

қайда болып табылады Кюри тұрақты (магниттік материалдардағы сезімталдықпен байланысты шама). Бұл өрнек ауыстырумен бірге бір өлшемді Ising моделіне де қатысты .

Екі өлшем

25х25 торға арналған орташа квадраттық мганетизация (Ота:[8] 30х30), термодинамикалық шекте жоқ магниттік моменттің өсуін болжайды

Жақын көршілес өзара әрекеттесуі бар екі өлшемді XY моделі екі өлшемді жүйеге мысал бола алады, симметрия үздіксіз, ол талап еткендей ұзақ диапазонда жоқ. Мермин-Вагнер теоремасы. Сол сияқты дәстүрлі фазалық ауысу да байланысты емес симметрияның бұзылуы. Алайда, кейінірек талқыланатындай, жүйеде тәртіпсіз жоғары температура күйінен кейбір кризистік температурадан төмен квази тәртіпті күйге ауысу белгілері байқалады, Костерлиц-Тулесс ауысуы. Айналдыру дискретті торы жағдайында екі өлшемді XY моделін трансфер матрицасының тәсілін қолдана отырып бағалауға болады, модельді меншікті мәнге дейін азайтып, трансфер матрицасынан ең үлкен меншікті қолдана алады. Шешімнің нақты шешімі қиын болса да, сыни температураның бағаларын алу үшін белгілі бір жуықтамаларды қолдануға болады төмен температурада пайда болады. Мысалы, Маттис (1984) жүйенің сыни температурасын бағалау үшін осы модельге жуықтауды қолданды

2D XY моделі де егжей-тегжейлі зерттелген Монте-Карло модельдеу, мысалы Метрополис алгоритмі. Оларды термодинамикалық шамаларды жүйенің энергиясы, меншікті жылу, магниттеу және т.с.с. температуралар мен уақыт шкалалары бойынша есептеу үшін пайдалануға болады. Монте-Карло модельдеуінде әрбір спин үздіксіз өзгеретін бұрышпен байланысты (көбінесе, оны қатысты көптеген бұрыштарға бөлуге болады) Поттс моделі, есептеуді жеңілдету үшін. Алайда, бұл талап емес.) Әр қадам сайын Метрополис алгоритмі кездейсоқ бір айналуды таңдайды және оның бұрышын кездейсоқ өсіммен айналдырады . Бұл бұрыштың өзгеруі энергияның өзгеруіне әкеледі жүйенің оң немесе теріс болуы мүмкін. Егер теріс болса, алгоритм бұрыштың өзгеруін қабылдайды; егер оң болса, конфигурация ықтималдықпен қабылданады , Больцман факторы энергияны өзгерту үшін. Монте-Карло әдісі жүйенің критикалық температурасын әр түрлі әдістермен тексеру үшін қолданылған және деп есептеледі[9] . Монте-Карло әдісі магниттелу, спин-спин корреляциясы, корреляция ұзындығы және меншікті жылу сияқты термодинамикалық шамаларды есептеу үшін қолданылатын орташа мәндерді де есептей алады. Бұл жүйенің критикалық температураға жақын әрекетін сипаттайтын маңызды тәсілдер. Магниттеу және квадраттық магниттеуді, мысалы, есептеуге болады

-Де ерекшелігін көрсететін Монте-Карло имитациясын қолданып, екі өлшемді XY-нің меншікті жылуы , жоғарыдан K-T ауысуы

қайда айналдыру саны. Орташа магниттеу жүйенің таза магниттік моментінің шамасын сипаттайды; көптеген магниттік жүйелерде бұл критикалық температурадан нөлге жоғары және төмен температурада өздігінен нөлге айналады. Сол сияқты орташа квадраттық магниттеу тордағы спиндердің таза компоненттерінің квадратының орташа мәнін сипаттайды. Бұлардың қай-қайсысы да жүйенің реттік параметрін сипаттау үшін қолданылады. XY моделінің қатаң талдауы термодинамикалық шегідегі магниттелудің нөлге тең екендігін және квадрат магниттелудің келесідей болатынын көрсетеді[10] , ол термодинамикалық шекте жоғалады. Шынында да, жоғары температурада бұл шама нөлге жақындайды, өйткені спиндердің компоненттері кездейсоқтыққа ұшырайды және осылайша нөлге теңеледі. Шекті жүйе үшін төмен температурада орташа квадраттық магниттелу жоғарылайды, бұл нөлдік емес үлеске үлес қосатын спин кеңістігінің аймақтары бар екенін білдіреді. Көрсетілген магниттеу (25х25 тор үшін) фазалық ауысуды ұсынатын көрінеді, ал мұндай ауысу термодинамикалық шекте жоқ.

Сонымен, статистикалық механиканы қолдану арқылы термодинамикалық орташа мәндерді меншікті жылу сияқты шамаларға есептеу арқылы жатқызуға болады

Меншікті жылу критикалық температураға жақын төмен температурада көрсетіледі . Белгілі бір жылу температурасында критикалық сипаттамаға сәйкес келетін ерекшелік (дивергенция сияқты) осы болжанған температурада жоқ. Шынында да, сыни температураны бағалау басқа әдістерден туындайды, мысалы спираль модулі, немесе сезімталдықтың дивергенциясының температураға тәуелділігі.[11] Алайда, белгілі бір ыстықта жақын шың түрінде бір ерекшелік бар . Бұл шыңның орны мен шыңының биіктігі жүйенің өлшеміне байланысты екендігі көрсетілген;[12] дегенмен, бұл функция тордың барлық өлшемдері үшін ақырлы болып қалады және ақырғы мәнге жақындайтын көрінеді (дегенмен, бұл қасиет жоққа шығарылмаған, бірақ бұл екіталай).

XY моделінің үздіксіз нұсқасын қарастыру арқылы критикалық ауысулар мен құйынды қалыптастыру сипатын анықтауға болады. Мұнда дискретті айналу өріспен ауыстырылады кеңістіктің кез-келген нүктесінде айналу бұрышын бейнелейтін. Бұл жағдайда айналдыру бұрышы позицияның өзгеруіне байланысты біркелкі өзгеруі керек. Бастапқы косинусты Тейлор сериясы ретінде кеңейте отырып, Гамильтонды консолимум жуықтауы ретінде өрнектеуге болады

(Дискретті) екі өлшемді XY моделінің түс картасы 250х250 торда . Әрбір спин арасындағы бұрышқа сәйкес келетін түспен ұсынылған

XY моделінің үздіксіз нұсқасы көбінесе бірдей симметрия түрлерімен тапсырыс параметрлеріне ие жүйелерді модельдеу үшін қолданылады, мысалы. сұйық гелий, гексатикалық сұйық кристалдар. Бұл оларды әрдайым симметрияның бұзылуымен жүретін басқа фазалық ауысуларға тән етеді. XY моделіндегі топологиялық ақаулар а құйынды байланыстырмайтын көшу төмен температуралы фазадан жоғары температураға дейін ретсіз фаза. Шынында да, жоғары температурада корреляция экспоненциалды түрде тез ыдырайды, ал төмен температурада қуат заңымен ыдырайды, екі режимде де М(β) = 0, аталады Костерлиц-Тулесс ауысуы. Костерлиц пен Тулесс неге бұлай болатыны туралы қарапайым аргумент келтірді: бұл барлық айналдырудан тұратын негізгі күйді бір бағытта қарастырады, содан кейін бір құйынды қосады. Бұлардың болуы шамамен энтропияға ықпал етеді , қайда - бұл тиімді ұзындық шкаласы (мысалы, дискретті торға арналған тордың өлшемі) Сонымен, жүйенің энергиясы құйынға байланысты мөлшерге артады . Оларды біріктіре отырып, жүйенің бос энергиясы құйынның өздігінен пайда болуына байланысты өзгереді

Термодинамикалық шекте жүйе төмен температурада құйындардың пайда болуын емес, жоғары температурада, критикалық температурадан жоғары . Бұл төмен температурада пайда болатын құйындылар жүйенің энергиясын төмендету үшін антивортикалармен жойылғысы келетіндігін көрсетеді. Шынында да, егер бұл құйындар мен антиворталар біртіндеп жойылып кету үшін төмен температурада спин жүйесінің «суреттерін» қарайтын болса, бұл сапалы болады. Осылайша, төмен температура күйі байланыстырылған құйын-антивортекс жұптарынан тұрады. Сонымен қатар, жоғары температурада ұшақ бойымен еркін қозғалатын байланыссыз құйындар мен антиворталар жиынтығы болады.

Ising моделін елестету үшін жоғары немесе төмен бағытталған көрсеткіні немесе оның күйін көрсету үшін қара / ақ түсті нүкте түрінде пайдалануға болады. XY айналдыру жүйесін көзге елестету үшін спиндерді қандай-да бір бағытқа бағытталған көрсеткі түрінде немесе қандай-да бір түсті нүкте түрінде ұсынуға болады. Мұнда мүмкін болатын үздіксіз айнымалылардың әрқайсысына байланысты спинді түстер спектрімен көрсету керек. Мұны, мысалы, үздіксіз және мерзімді қызыл-жасыл-көк спектрді қолдану арқылы жасауға болады. Суретте көрсетілгендей, көгілдір нөлдік бұрышқа (оңға қарай), ал қызыл 180 градусқа (солға қарай) сәйкес келеді. Содан кейін XY моделінің критикалық температурасынан төмен және төменде не болып жатқанын анықтау үшін әр түрлі температурадағы спин конфигурациясының суреттерін зерттеуге болады. Жоғары температурада спиндердің артықшылықты бағыты болмайды және көршілес спиндер арасындағы бұрыштардың болжанбайтын өзгеруі болады, өйткені энергетикалық тұрғыдан қолайлы конфигурация болмайды. Бұл жағдайда түсті карта пикселденген болып көрінеді. Сонымен қатар, төмен температурада мүмкін болатын жер-күй конфигурациясының барлық бағыттары бірдей бағытта көрсетілген (бірдей бұрыш); бұл түстер картасының аймақтарына (домендеріне) сәйкес келеді, онда барлық спиндердің түсі бірдей болады.

Монте-Карло симуляциясында көрсетілген құйындар мен антиворталардың әртүрлі формалары

Костерлиц-Тулесстің ауысуы нәтижесінде пайда болған құйындыларды (немесе антиворталарды) анықтау үшін тордың нүктелерінің шеңберін сағат тіліне қарсы бағытта өту арқылы бұрыштың қол қойылған өзгерісін анықтауға болады. Егер бұрыштың жалпы өзгерісі нөлге тең болса, бұл құйынның болмауына сәйкес келеді; ал бұрышының жалпы өзгерісі құйындыға (немесе антивортекске) сәйкес келеді. Бұл құйындылар - бұл топологиялық тұрғыдан тривиальды емес нысандар, олар құйынды-антивортекс жұптарында болады, олар бөліп немесе жұптастыра алады. Колормапта бұл ақауларды спектрдің барлық түстері нүктенің айналасында түйісетін үлкен түс градиенті бар аймақтарда анықтауға болады. Сапалық тұрғыдан бұл ақаулар ағынның ішке немесе сыртқа бағытталған көздеріне немесе сағат тіліне немесе сағат тіліне қарсы жиынтықта айналатын бұрылыстарға немесе гиперболалық көрінетін белгілерге ие, ал кейбір спиндер ақаулыққа бағытталады, ал кейбір айналулар ақаулықтан көрінеді. Конфигурация ұзақ уақыт шкаласында және төмен температурада зерттелгендіктен, құйын-антиортекс жұптарының көпшілігі жақындасып, соңында жұп-жойылатыны байқалады. Тек жоғары температурада ғана бұл құйындар мен антивирустар босатылып, бір-бірімен байланысады.

Үздіксіз XY моделінде жоғары температуралы өздігінен магниттелу жоғалады:

Сонымен қатар, кластерді кеңейту мысалы, спин корреляциясы кластердің экспоненциалды жылдамдығымен көрінеді

Төмен температурада, яғни. β ≫ 1, өздігінен магниттелу нөл күйінде қалады (қараңыз Мермин-Вагнер теоремасы ),

бірақ корреляцияның ыдырауы тек күш заңы: Фрохлих пен Спенсер[13] төменгі шекараны тапты

ал Макбрайан мен Спенсер кез келген үшін жоғарғы шекараны тапты

Үш және одан жоғары өлшемдер

Өзара әрекеттесу ауқымынан тәуелсіз, жеткілікті төмен температурада магниттеу оң болады.

  • Жоғары температурада өздігінен магниттелу жоғалады: . Сонымен қатар, кластерді кеңейту мысалы, спин корреляциясы кластердің экспоненциалды жылдамдығымен көрінеді .
  • Төмен температурада, инфрақызыл байланысқан өздігінен магниттелудің қатаң оң болатындығын көрсетеді: . Сонымен қатар, экстремалды мемлекеттердің 1 параметрлі отбасы бар, , осылай бірақ, болжам бойынша, осы экстремалды жағдайлардың әрқайсысында қысқартылған корреляциялар алгебралық түрде ыдырайды.

Фазалық ауысу

Жоғарыда айтылғандай, XY моделінде бір өлшемде фазалық ауысу болмайды, ал екі өлшемде ол бар Березинский-Костерлиц-Тулесс ауысуы корреляция функциялары экспоненциалды және күштік ыдырайтын фазалар арасында.

Үш және одан жоғары өлшемдерде XY моделі ферромагнетик-парамагнет фазалық ауысуға ие. Төмен температурада өздігінен магниттелу нөлдік емес: бұл ферромагниттік фаза. Температура жоғарылаған сайын өздігінен магниттелу біртіндеп төмендейді және критикалық температурада жоғалады. Барлық жоғары температураларда ол нөл күйінде қалады: бұл ферромагниттік фаза.

Төрт және одан жоғары өлшемдерде фазалық ауысудың өріс теориясының орташа мәні бар (төрт өлшемдегі логарифмдік түзетулермен).

Үш өлшемді жағдай: маңызды көрсеткіштер

Үш өлшемді жағдай қызықты, өйткені фазалық ауысудағы маңызды көрсеткіштер нривиальды емес. Көптеген үш өлшемді физикалық жүйелер осыған жатады әмбебаптық сыныбы үш өлшемді XY моделі ретінде және бірдей критикалық көрсеткіштерді, ең бастысы жеңіл жазықтықтағы магниттер мен сұйықтықты бөліседі Гелий-4. Бұлардың мәндері сыни көрсеткіштер тәжірибелермен, Монте-Карло модельдеуімен өлшенеді, сонымен қатар өрістің кванттық теориясының теориялық әдістерімен есептелуі мүмкін, мысалы ренормализация тобы және конформды жүктеу. Ренормалдау тобының әдістері қолданылады, өйткені XY моделінің критикалық нүктесін ренормализация топтың бекітілген нүктесі сипаттайды деп есептейді. Конформальды жүктеу әдісі қолданылады, өйткені ол біртұтас үш өлшемді деп саналады конформды өріс теориясы.

Ең маңызды сыни көрсеткіштер үш өлшемді XY моделіне жатады . Олардың барлығын тек екі санмен көрсетуге болады: масштабтау өлшемдері және күрделі реттік параметр өрісінің және жетекші сингл операторы (сол сияқты ішінде Гинзбург – Ландау сипаттама). Тағы бір маңызды сала (сол сияқты ), оның өлшемі масштабты түзету көрсеткішін анықтайды . Конформды жүктеу страпын есептеу бойынша,[14] осы үш өлшем:

0.519088(22)
1.51136(22)
3.794(8)

Бұл маңызды көрсеткіштердің келесі мәндерін береді:

жалпы өрнек ()сандық мән
α-0.01526(30)
β0.34869(7)
γ1.3179(2)
δ4.77937(25)
η0.038176(44)
ν0.67175(10)
ω0.794(8)

Монте-Карло әдістері сәйкес анықтамалар береді:[15] .

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Стэнли, Х.Е. (1968). «Айналдырудың маңызды қасиеттерінің өлшемділікке тәуелділігі». Физ. Летт. 20 (12): 589–592. Бибкод:1968PhRvL..20..589S. дои:10.1103 / PhysRevLett.20.589.
  2. ^ Чайкин, П.М .; Любенский, Т.С. (2000). Конденсацияланған зат физикасының принциптері. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0521794503.
  3. ^ Джинибре, Дж. (1970). «Грифитс теңсіздіктерінің жалпы тұжырымдамасы». Комм. Математика. Физ. 16 (4): 310–328. Бибкод:1970CMaPh..16..310G. дои:10.1007 / BF01646537.
  4. ^ Айзенман, М .; Саймон, Б. (1980). «Жазық ротор мен Исинг модельдерін салыстыру». Физ. Летт. A. 76 (3–4): 281–282. Бибкод:1980PHLA ... 76..281A. дои:10.1016/0375-9601(80)90493-4.
  5. ^ Бадалян, Д. (1996). «Гейзенбергтің изотропты өзара әрекеттесуі бар классикалық спиндердің термодинамикасы туралы» бір өлшемді квазиоритикалық құрылымдарда «. Physica B. 226: 385–390. дои:10.1016/0921-4526(96)00283-9.
  6. ^ Мэттис, DC (1984). «Жазықтық-роторлы модельдегі трансфер матрицасы». Физ. Летт. 104 A (6-7): 357-360. Бибкод:1984PHLA..104..357M. дои:10.1016/0375-9601(84)90816-8.
  7. ^ Mattis, D.C. (1985). Магнетизм теориясы II. Қатты дене физикасындағы Springer сериясы. ISBN  978-3-642-82405-0.
  8. ^ Ота, С .; Ота, С.Б .; Фарнле, М (1992). «Екі өлшемді XY моделіне арналған Монте-Карло микроканоникалық модельдеу». Дж.Физ: конденсат. Мәселе. 4: 5411. дои:10.1088/0953-8984/4/24/011.
  9. ^ Хсие, Ю.-Д .; Као, Ю.-Дж .; Сандвик, А.В. (2013). «Березинский-Костерлиц-Тулесс көшуіне арналған ақырғы масштабтау әдісі». Дж. Стат. Мех.: Теория эксп. 2013. arXiv:1302.2900. дои:10.1088 / 1742-5468 / 2013/09 / P09001.
  10. ^ Тобочник, Дж .; Честер, Г.В. (1979). «Монте-Карло жазықтықтағы айналдыру моделін зерттеу». Физ. Аян Б.. 20 (9): 3761–3769. дои:10.1103 / PhysRevB.20.3761.
  11. ^ Binder, K. (2013). Монте-Карло әдісінің статистикалық физикада қолданылуы. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-51703-7.
  12. ^ Ван Химберген, Дж .; Чакраварти, Судип (1981). «Екі өлшемдегі классикалық XY моделінің тікұшақ модулі және меншікті жылу энергиясы». Физ. Аян Б.. 23: 359. дои:10.1103 / PhysRevB.23.359.
  13. ^ Фрохлих, Дж .; Спенсер, Т. (1981). «Екі өлшемді абелиндік спиндік жүйелердегі және кулондық газдағы Костерлиц-Тулесссіз ауысу». Комм. Математика. Физ. 81 (4): 527–602. Бибкод:1981CMaPh..81..527F. дои:10.1007 / bf01208273.
  14. ^ Честер, Шай М .; Лэндри, Вальтер; Лю, Джуню; Польша, Давид; Симмонс-Даффин, Дэвид; Су, Нин; Вичи, Алессандро. «OPE кеңістігін және дәл O (2) моделінің маңызды көрсеткіштерін ою». Жоғары энергетикалық физика журналы. 2020 (6): 142. arXiv:1912.03324. дои:142. Сыртқы істер министрлігі. ISSN  1029-8479.
  15. ^ Хасенбуш, Мартин (2019-12-26). «Монте-Карло үш өлшемді жетілдірілген сағат моделін зерттеу». Физикалық шолу B. 100 (22): 224517. arXiv:1910.05916. дои:10.1103 / PhysRevB.100.224517. ISSN  2469-9950.

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

  • Х.Э. Стэнли, Фазалық ауысулар мен маңызды құбылыстарға кіріспе, (Oxford University Press, Оксфорд және Нью-Йорк 1971);
  • Х.Клейнерт, Конденсацияланған заттағы өлшеуіш өрістері, Т. I, «SUPERFLOW AND VORTEX LINES», 1-72 б., Т. II, «МЫҚТЫЛЫҚТАР МЕН КЕМШІЛІКТЕР», 743–1456 бб, World Scientific (Сингапур, 1989); Қаптама ISBN  9971-5-0210-0 (сонымен қатар желіде қол жетімді: Том. Мен және Том. II )

Сыртқы сілтемелер