Chiral Potts моделі - Википедия - Chiral Potts model

The chiral Potts моделі - бұл жазықтықтағы тордағы айналдыру моделі статистикалық механика. Сияқты Поттс моделі, әрбір спин n = 0, ... N-1 мәндерін қабылдай алады. N және n 'спиндерінің жақын көршісінің әр жұбына Больцманның салмағы W (n-n') (Больцман факторы ) тағайындалады. Үлгі хирал, W (n-n ') ≠ W (n'-n) мағынасын білдіреді. Оның салмақтары қанағаттандыратын кезде Янг-Бакстер теңдеуі, (жұлдыз-үшбұрыш қатынасы), ол интегралды. Поттс интегралданатын моделі үшін оның салмақтары жоғары деңгейге сәйкес келеді қисық сызық, chiral Поттс қисығы.[1][2]Басқа шешілетін модельдерден айырмашылығы,[3][4] олардың салмағы тригонометриялық, немесе рационалды функция (genus = 0) терминімен немесе оларды өрнектеу үшін, бір түрге тең немесе бірге тең қисықтар арқылы параметрленеді. тета функциялары (genus = 1), бұл модельге жоғары дәрежелі тета функциялары кіреді, олар әлі жетілмеген. Сондықтан мұндай қиын мәселеде алға жылжу болмайды деп ойлады. 1990 жылдардан бастап көптеген жетістіктер жасалды. Ширал Поттс моделі ойлап табылмағандықтан, оны интеграцияланатындығына, бірақ интегралданатын жағдай эксперименттік мәліметтерді түсіндіру үшін енгізілгеннен кейін табылғанына тағы баса назар аудару керек. Мұнда физика математикадан әлдеқайда озық тұр. Тарих және оның дамуы туралы қысқаша баяндалады.

Назар аударыңыз хирал сағат моделіДэвид Хусс пен Стеллан Остлунд 1980 жылдары өздігінен енгізілген, хираль Поттс моделінен айырмашылығы дәл шешілмейді.

Үлгі

Бұл модель бұрын белгілі болған модельдердің қатарына кірмейді және кейбір шешілмеген мәселелермен байланысты көптеген шешілмеген сұрақтар туғызады. алгебралық геометрия бізде 150 жыл болды. Ширал Поттс модельдері сәйкес келмейтін фазалық ауысуларды түсіну үшін қолданылады.[5] N = 3 және 4 үшін интегралданатын жағдай 1986 жылы Стонибрукта табылып, келесі жылы жарияланды.[1][6]

Екі жақты іс

Модель деп аталады өзіндік қосарлы, егер салмақтың Фурье түрлендіруі салмаққа тең болса. Арнайы (1-тегі) істі 1982 жылы Фатеев пен Замолодчиков ашты.[7]Алькарас пен Сантос жұмысының кейбір шектеулерін алып тастай отырып,[8] интегралданатын хиральды Поттс моделінің жалпы екі жақты жағдайы табылды.[1] Салмақ өнім түрінде берілген[9][10] және салмақтағы параметрлер -де көрсетілген Ферма қисығы, 1-ден үлкен тұқыммен.

Жалпы жағдай

Канберрада жалпыға ортақ шешім к (температура айнымалысы) табылды.[2] Салмақ өнімдер түрінде де берілген және оны жұлдыз бен үшбұрыштың қатынасын қанағаттандыратын Fortran компаниясы тексерген. Дәлел кейінірек жарияланды.[11]

Нәтижелер

Тапсырыс параметрі

Сериалдан[5][12] тапсырыс параметрі болжамды[13] қарапайым формаға ие болу

Бұл болжамды дәлелдеу үшін көптеген жылдар қажет болды, өйткені матрицалық әдеттегі матрицалық техниканы пайдалану мүмкін болмады, өйткені жоғары қисық сызық. Бұл болжамды 2005 жылы Бакстер дәлелдеді[14][15] функционалдық теңдеулерді және Джимбоның «бұзылған жылдамдық сызығын» қолдану т.б.[16] Ян-Бакстер интеграцияланатын модельдер саласында жиі қолданылатын аналитикалық екі шартты ескере отырып. Жақында, бірқатар құжаттарда[17][18][19][20][21][22][23]алгебралық (Исинг тәрізді ) алгебралық құрылым туралы көбірек түсінік бере отырып, тапсырыс параметрін алу тәсілі келтірілген.

6-ға қосылушыңдар моделі

1990 жылы Бажанов пен Строганов[24] 2 × N бар екенін көрсетіңіз L- қанағаттандыратын операторлар Янг-Бакстер теңдеуі

мұндағы 2 × 2 R-оператор - бұл 6-шың R-матрица (қараңыз. қараңыз) Vertex моделі ). Поттс салмағының төрт шыралы S екеуін бір-бірімен байланыстыратыны көрсетілген L- операторлар

Бұл ең маңызды жетістікке, яғни функционалдық қатынастарға шабыттандырды матрицаларды беру Поттс шіралы модельдерінің бірі табылды.[25]

Еркін энергия және фазааралық шиеленіс

Осы функционалды байланысты пайдалана отырып, Бакстер хираль Поттс моделінің трансфер матрицасының өзіндік мәндерін есептей алды,[26] және меншікті жылу α = 1-2 / N үшін критикалық көрсеткішті алды, ол сонымен қатар 12 сілтеме бойынша болжам жасалды аралық шиеленістер ол сонымен бірге μ = 1/2 + 1 / N көрсеткішімен есептеледі.[27][28]

Математикамен байланысы

Түйін теориясы

Поттстің интегралданатын салмақтары өнім түрінде берілген [2] сияқты

қайда ωN= 1 және біз жылдамдық айнымалысының әрқайсысымен үш айнымалымен байланыстырамыз (хб, жб, μб) қанағаттанарлық

Мұны байқау қиын емес

бұл Рейдемейстердің I қимылына ұқсас, инверсиялық қатынасты қанағаттандыратын салмақтар,

Бұл Reidemeister II қадамына тең. Жұлдыз-үшбұрыш қатынасы

Reidemeister III қимылына тең. Бұл жерде көрсетілген суретте көрсетілген.[29]

Интегралды хирал Поттс модельдерінің салмағы
Салмақ қасиеті: Reidemeister I қозғалысы
Салмақтың инверсиялық қатынасы: Reidemeister қозғалысы II
Жұлдыз-үшбұрыш қатынасы: Reidemeister Move III

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c Au-Yang H., McCoy B. M., Perk J. H. H., Tang S. and Yan M-L. (1987), «Шираль Поттс модельдеріндегі ауыстыру матрицаларын ауыстыру:> 1 тектес жұлдыз-үшбұрыш теңдеулерінің шешімдері», Физика хаттары 123 219–23.
  2. ^ а б c Baxter R J, Perk J 'H' H 'және Au-Yang H (1988), «Шираль Поттс моделі үшін жұлдыз-үшбұрыш қатынастарының жаңа шешімдері», Физика хаттары 128 138–42.
  3. ^ Бактер Р., «Статистикалық механикадағы дәл шешілген модельдер», Academic Press, ISBN  978-0-12-083180-7.
  4. ^ Б.Маккой, «Жетілдірілген статистикалық механика», 146 Халықаралық физика бойынша монографиялар сериясы, Оксфорд, Англия, ISBN  9780199556632
  5. ^ а б С. Хауз, Л.П. Каданофф және М. ден Нидж (1983), Ядролық физика B 215, 169.
  6. ^ Маккой Б.М., Перк Дж. Физика хаттары 125, 9–14.
  7. ^ В.А.Фатеев және А.Б.Замолодчиков, (1982) Физика хаттары 92.
  8. ^ Э.К.Алкараз және А.Лима Сантос, Ядролық физика B 275.
  9. ^ Х. Ау-Ян, Б.М.Маккой, Дж. Х. Х. Перк және С. Танг (1988), «Статистикалық механикадағы және Риман беттерінің бірінен үлкен беттеріндегі шешілетін модельдер», Алгебралық талдау, Т. 1, М.Кашивара және Т.Кавай, басылымдар, академиялық баспа, 29-40 бет.
  10. ^ Дж. Перк (1987), «Жұлдыз-үшбұрыш теңдеулері, кванттық Лакс жұптары және жоғары қисық сызықтар», Proc. 1987 ж. Тета функциялары бойынша жазғы ғылыми-зерттеу институты, Proc. Симптом. Таза математика., Т. 49, 1 бөлім (Am. Math. Soc., Providence, R.I., 1989), 341–354 бб.
  11. ^ Ау-Янг пен Перк Дж Х Н (1989). «Onsager-дің жұлдыз-үшбұрыш теңдеуі: интегралданудың негізгі кілті» Proc. Танигучи симпозиумы, Киото, қазан, 1988 ж, Таза математикадағы кеңейтілген зерттеулер 19 том (Токио: Кинокуния – Академиялық) 57–94 бб.
  12. ^ М. Хенкель және Дж. Лак, Бонн-Хе-алдын ала басып шығару 85–22
  13. ^ Альбертини Г., Маккой Б.М., Перк Дж. Х. және Танг С. (1989), «Интегралданатын үшін қозу спектрі және реттік параметр N- мемлекеттік ширал Поттс моделі », Ядролық физика B 314, 741–763
  14. ^ Baxter R. J. (2005), «chiral Potts моделінің реттік параметрін шығару», Физикалық шолу хаттары, 94 130602 (3 б.) arXiv: cond-mat / 0501227.
  15. ^ Baxter R. J. (2005), «chiral Potts моделінің реттік параметрі», Статистикалық физика журналы 120, 1–36: arXiv: cond-mat / 0501226.
  16. ^ Джимбо М., Мива Т. және Накаяшики А. (1993), «Сегіз шыңды модельдің корреляциялық функцияларының айырымдық теңдеулері», Физика журналы A: Математика. Генерал 26, 2199–210: arXiv: hep-th / 9211066.
  17. ^ Baxter R. J. (2008) «Ising моделінің алгебралық редукциясы», Статистикалық физика журналы 132, 959–82, arXiv: 0803.4036;
  18. ^ Baxter R. J. (2008), «Пирцтің интегралданатын моделі үшін гипотеза»,Статистикалық физика журналы 132, 983–1000, arXiv: 0803.4037;
  19. ^ Baxter R J (2009), «Пирцтің интегралданатын ширал моделін жалпылау туралы кейбір ескертулер», Статистикалық физика журналы 137, 798–813, arXiv: 0906.3551;
  20. ^ Baxter R. J. (2010), «Біріктірілген интегралды хираль Поттс моделінің өздігінен магниттелуі: детерминантты есептеу Д.PQ", Физика журналы A 43, 145002 (16pp) arXiv: 0912.4549.
  21. ^ Baxter R. J. (2010), «Пирцтің интегралданатын хиральды моделінің спонтанды магниттелуінің детерминантты түрін дәлелдеу», Австралия және Жаңа Зеландия өнеркәсіптік және қолданбалы математика журналы, 51arXiv: 1001.0281.
  22. ^ Иоргов Н., Пакулиак С., Шадура В., Тихы Ю және фон Гехлен Г. (2009), «Пирцтің кванттық тізбектегі интегралданбайтын матрицалық элементтер спин операторы» Статистикалық физика журналы 139, 743–68 arXiv: 0912.5027.
  23. ^ Au-Yang H and Perk J. H. H. (2011), «Интеграцияланатын хираль Поттс моделінің өздігінен магниттелуі», Физика журналы A 44, 445005 (20pp), arXiv: 1003.4805.
  24. ^ В.В.Бажанов пен Ю. Г.Строганов (1990), «Ширал Поттс моделі алты шыңды модельдің ұрпағы ретінде», Статистикалық физика журналы 59, 799–817 бб.
  25. ^ Бакстер Р. Дж., Бажанов В.В. және Перк Дж. Х. (1990), «Шираль Поттс моделінің трансферлік матрицалары үшін функционалды қатынастар», Халықаралық физика журналы B 4, 803–70.
  26. ^ Baxter R J (1991), «Шираль Поттс моделінің трансфер матрицасының өзіндік мәндерін есептеу», Төртінші Азия-Тынық мұхиты физикасы конференциясының материалы (Сингапур: Әлемдік ғылыми) 42–58 бб.
  27. ^ Baxter R. J. (1993), «Ширал шарттары қисайған Chiral Potts моделі», Статистикалық физика журналы 73, 461–95.
  28. ^ Бакстер Р. Дж. (1994), «Шираль Поттс моделінің фазалық шиеленісі», Физика журналы A 27, 1837–49 бб.
  29. ^ Ау-Ян Хелен, Перк Х.Жак (2016), arXiv: 1601.01014