Бихармоникалық теңдеу - Википедия - Biharmonic equation

Жылы математика, бихармоникалық теңдеу төртінші ретті дербес дифференциалдық теңдеу аудандарында пайда болады үздіксіз механика, оның ішінде сызықтық серпімділік теориясы және шешімі Стокс ағады. Нақтырақ айтқанда, ол реакцияға түсетін жұқа құрылымдарды модельдеуде қолданылады серпімді сыртқы күштерге.

Ескерту

Ол ретінде жазылған

немесе

немесе

қайда , бұл төртінші қуат дел операторы және квадрат Лаплациан оператор (немесе ), ретінде белгілі бихармоникалық оператор немесе билаплациан операторы. Жылы Декарттық координаттар, оны жазуға болады өлшемдер:

Мұндағы формула индекстердің жиынтығын қамтығандықтан, көптеген математиктер жазба жазуды қалайды аяқталды өйткені біріншісі төрт набла операторының индексінің қайсысы келісімшартқа отырғанын анық көрсетеді.

Мысалы, үш өлшемді Декарттық координаттар бихармоникалық теңдеудің формасы бар

Тағы бір мысал ретінде n-өлшемді Нақты координаталық кеңістік шығу тегі жоқ ,

қайда

көрсетеді, бұл үшін n = 3 және n = 5 тек, - бихармоникалық теңдеудің шешімі.

Бихармониялық теңдеудің шешімі а деп аталады бихармониялық функция. Кез келген гармоникалық функция бихармония, бірақ керісінше әрқашан дұрыс бола бермейді.

Екі өлшемді полярлық координаттар, бихармоникалық теңдеу

айнымалыларды бөлу арқылы шешуге болады. Нәтижесі Мишель ерітіндісі.

2-өлшемді кеңістік

2 өлшемді жағдайдың жалпы шешімі мынада

қайда , және болып табылады гармоникалық функциялар және Бұл гармоникалық конъюгат туралы .

Дәл сол сияқты гармоникалық функциялар 2 айнымалыда кешенмен тығыз байланысты аналитикалық функциялар, сондықтан 2 айнымалыдағы биармоникалық функциялар. Бихармониялық функцияның 2 айнымалыдағы жалпы формасын келесі түрінде де жазуға болады

қайда және болып табылады аналитикалық функциялар.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Эрик Вейштейн, Математиканың CRC қысқаша энциклопедиясы, CRC Press, 2002 ж. ISBN  1-58488-347-2.
  • S I Хайек, Ғылым мен техникадағы жетілдірілген математикалық әдістер, Марсель Деккер, 2000. ISBN  0-8247-0466-5.
  • J P Den Hartog (1 шілде, 1987). Материалдардың кеңейтілген беріктігі. Courier Dover жарияланымдары. ISBN  0-486-65407-9.

Сыртқы сілтемелер