Бернштейн - Кушниренко теоремасы - Bernstein–Kushnirenko theorem

The Бернштейн - Кушниренко теоремасы немесе Бернштейн-Хованский-Кушниренко (BKK) теоремасы ^[1]) арқылы дәлелденген Дэвид Бернштейн^[2] және Анатоли Кушниренко [ru ]^[3] 1975 ж., теоремасы алгебра. Онда жүйенің нөлдік емес күрделі шешімдерінің саны айтылады Лоран көпмүшесі теңдеулер ${ displaystyle f_ {1} = cdots = f_ {n} = 0}$ тең аралас көлем туралы Ньютон политоптары көпмүшеліктер ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n}}$, -ның барлық нөлге тең емес коэффициенттері ${ displaystyle f_ {n}}$ жалпы болып табылады. Нақтырақ мәлімдеме келесідей:

Мәлімдеме

Келіңіздер ${ displaystyle A}$ ақырғы ішкі жиыны болуы ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n}.}$ Ішкі кеңістікті қарастырыңыз ${ displaystyle L_ {A}}$ Лоран көпмүшелік алгебрасы ${ displaystyle mathbb {C} left [x_ {1} ^ { pm 1}, ldots, x_ {n} ^ { pm 1} right]}$ тұратын Лоран көпмүшелері оның экспоненттері кіреді ${ displaystyle A}$. Бұл:

${ displaystyle L_ {A} = left {f , left | , f (x) = sum _ { alpha in A} c _ { alpha} x ^ { alpha}, c _ { альфа} in mathbb {C} right }, right.}$

әрқайсысы үшін қайда ${ displaystyle alpha = (a_ {1}, ldots, a_ {n}) in mathbb {Z} ^ {n}}$ біз стенографиялық белгіні қолдандық ${ displaystyle x ^ { alpha}}$ мономияны белгілеу ${ displaystyle x_ {1} ^ {a_ {1}} cdots x_ {n} ^ {a_ {n}}.}$

Енді алыңыз ${ displaystyle n}$ ақырғы ішкі жиындар ${ displaystyle A_ {1}, ldots, A_ {n}}$ Лоран көпмүшелерінің сәйкес ішкі кеңістіктерімен ${ displaystyle L_ {A_ {1}}, ldots, L_ {A_ {n}}.}$ Осы ішкі кеңістіктердің жалпы теңдеулер жүйесін қарастырайық, яғни:

${ displaystyle f_ {1} (x) = cdots = f_ {n} (x) = 0,}$

қайда ${ displaystyle f_ {i}}$ (соңғы өлшемді векторлық кеңістіктегі) жалпы элемент ${ displaystyle L_ {A_ {i}}.}$

Бернштейн-Кушниренко теоремасында шешімдер саны көрсетілген ${ displaystyle x in ( mathbb {C} setminus 0) ^ {n}}$ мұндай жүйенің мәні тең

${ displaystyle V ( Delta _ {1}, ldots, Delta _ {n}),}$

қайда ${ displaystyle V}$ дегенді білдіреді Минковский аралас көлем және әрқайсысы үшін ${ displaystyle i, Delta _ {i}}$ болып табылады дөңес корпус соңғы нүктелер жиынтығы ${ displaystyle A_ {i}}$. Әрине ${ displaystyle Delta _ {i}}$ Бұл дөңес торлы политоп. Мұны деп түсіндіруге болады Ньютон политопы ішкі кеңістіктің жалпы элементі ${ displaystyle L_ {A_ {i}}}$.

Атап айтқанда, егер барлық жиынтықтар болса ${ displaystyle A_ {i}}$ бірдей ${ displaystyle A = A_ {1} = cdots = A_ {n},}$ онда Лоран көпмүшелерінің жалпы жүйесінің шешімдер саны ${ displaystyle L_ {A}}$ тең

${ displaystyle n! operatorname {vol} ( Delta),}$

қайда ${ displaystyle Delta}$ дөңес корпусы болып табылады ${ displaystyle A}$ және vol - әдеттегідей ${ displaystyle n}$-өлшемді эвклидтік көлем. Торлы политоптың көлемі бүтін сан болмаса да, көбейткеннен кейін бүтін сан болатынын ескеріңіз. ${ displaystyle n!}$.

Ұсақ-түйек

Кушниренконың есімі де Кучниренко деп жазылған. Дэвид Бернштейн - ағайынды Джозеф Бернштейн. Аскольд Хованский осы теореманың 15-ке жуық әр түрлі дәлелдерін тапты.^[4]

Әдебиеттер тізімі