Жолақ (алгебра) - Band (algebra)

Жылы математика, а топ (деп те аталады идемпотенттік жартылай топ) Бұл жартылай топ онда әр элемент бар идемпотентті (басқаша айтқанда өзінің квадратына тең). Алғаш рет топтар зерттеліп, оларға ат қойылды A. H. Clifford (1954 ); The тор туралы сорттары топтардың дербес сипатталған 1970-жылдардың басында Бирюков, Феннемор және Герхард.^[1] Жарты торлар, сол жақ нөлдік жолақтар, оң-нөлдік жолақтар, тікбұрышты жолақтар, қалыпты жолақтар, сол жақ тұрақты жолақтар, оң жақ тұрақты жолақтар және тұрақты жолақтар, осы тордың түбіне жақын орналасқан жолақтардың ерекше ішкі сыныптары ерекше қызығушылық тудырады және төменде қысқаша сипатталған.

Жолақтардың түрлері

Жолақтар класы а әртүрлілік егер ол кіші топтарды құру кезінде жабылса, гомоморфты бейнелер және тікелей өнім. Әр түрлі диапазонды синглмен анықтауға болады сәйкестілікті анықтау.^[2]

Жарты торлар

Жарты торлар дәл ауыстырмалы жолақтар; яғни олар теңдеуді қанағаттандыратын жолақтар

xy = yx барлығына х және ж.

Нөлдік жолақтар

A сол жақ нөлдік жолақ теңдеуді қанағаттандыратын жолақ болып табылады

xy = х,

оның қайдан Кейли үстелі тұрақты қатарлары бар.

Симметриялы түрде, а оң-нөлдік жолақ қанағаттанарлық

xy = ж,

сондықтан Кэйли кестесінде тұрақты бағандар болады.

Тік бұрышты жолақтар

A тікбұрышты жолақ топ S бұл қанағаттандырады

xyx = х барлығына х, ж ∈ S,

немесе баламалы түрде,

xyz = xz барлығына х, ж, з ∈ S,

Екінші сипаттама біріншіні, ал керісінше бірінші сипаттайды xyz = xy(zxz) = (х(yz)х)з = xz.

Тік бұрышты жолақтардың толық жіктемесі бар. Ерікті жиындар берілген Мен және Дж жартылай топтық операцияны анықтауға болады Мен × Дж орнату арқылы

{displaystyle (i, j) cdot (k, ell) = (i, ell),}

Алынған жартылай топ тікбұрышты жолақ, өйткені

кез-келген жұп үшін (мен, j) Бізде бар (мен, j) · (мен, j) = (мен, j)
кез келген екі жұп үшін (мен_х, j_х), (мен_ж, j_ж) Бізде бар

{displaystyle (i_ {x}, j_ {x}) cdot (i_ {y}, j_ {y}) cdot (i_ {x}, j_ {x}) = (i_ {x}, j_ {x})}

Шындығында, кез-келген тікбұрышты жолақ изоморфты жоғарыдағы формалардың біріне (немесе) ${displaystyle S}$ бос немесе кез келген элементті таңдаңыз ${displaystyle ein S}$ , содан соң ( ${displaystyle smapsto (se, es)}$ ) изоморфизмді анықтайды ${displaystyle Scong Se imes eS}$ ). Сол-нөл және оң-нөл жолақтары - бұл тік бұрышты жолақтар, ал іс жүзінде әрбір тік бұрышты жолақ сол-нөлдік және оң-нөлдік жолақтың тікелей көбейтіндісіне изоморфты. Бастапқы реттік барлық тікбұрышты жолақтар солға немесе оңға нөлдік жолақтар болып табылады. Тік төртбұрышты жолақ егер ол сол-нөл немесе оң-нөл жолағы болмаса, таза тікбұрышты деп аталады.^[3]

Жылы категориялық тіл, бос емес тікбұрышты жолақтар санаты деп айтуға болады балама дейін ${displaystyle mathrm {Set} _ {eq emptyset} imes mathrm {Set} _ {eq emptyset}}$ , қайда ${displaystyle mathrm {Set} _ {eq emptyset}}$ объектілер ретінде бос жинағы бар санаттар және морфизмдер сияқты функциялар. Бұл бос емес төртбұрышты жолақтың әрқайсысы жұп жиынтықтан келетін изоморфты болатындығын ғана емес, сонымен қатар бұл жиынтықтар канондық изоморфизмге дейін ерекше анықталғанын және жолақтар арасындағы барлық гомоморфизмдер жиындар арасындағы функциялардың жұптарынан туындайтындығын білдіреді.^[4] Егер жиынтық болса Мен жоғарыдағы нәтижеде бос, тік бұрышты жолақ Мен × Дж тәуелді емес Дж, және керісінше. Сондықтан жоғарыда келтірілген нәтиже бос емес тікбұрышты жолақтар мен бос емес жиындар жұбы арасындағы эквиваленттілікті ғана береді.

Тік бұрышты жолақтар да болып табылады Т-алгебралар, қайда Т болып табылады монада қосулы Орнатыңыз бірге Т(X)=X×X, Т(f)=f×f, ${displaystyle eta _ {X}}$ қиғаш карта ${displaystyle X o X imes X}$ , және ${displaystyle mu _ {X} ((x_ {11}, x_ {12}), (x_ {21}, x_ {22})) = (x_ {11}, x_ {22})}$ .

Қалыпты жолақтар

A қалыпты жолақ топ S қанағаттанарлық

zxyz = zyxz барлығына х, ж, және з ∈ S.

Бұл анықтау үшін қолданылатын бірдей теңдеу орта магмалар және, демек, қалыпты жолақты медиальды жолақ деп те атауға болады, ал қалыпты белдеулер - медиальды магмалардың мысалдары.^[3]Біз сонымен қатар а қалыпты жолақ топ S қанағаттанарлық

axyb = ayxb барлығына а, б, х, және ж ∈ S.

Сол жақ тұрақты жолақтар

A сол жақ тұрақты топ топ S қанағаттанарлық

xyx = xy барлығына х, ж ∈ S

Егер біз жартылай топ алып, анықтама берсек а ≤ б егер және егер болса ab = b, біз a ішінара тапсырыс беру егер бұл жартылай топ сол жақтағы тұрақты топ болса ғана. Сол жақ тұрақты жолақтар осылайша зерттеу барысында табиғи түрде көрінеді позалар.^[5]

Оң жақ тұрақты жолақтар

A оң жақ тұрақты топ топ S қанағаттанарлық

xyx = yx барлығына х, ж ∈ S

Кез-келген оң-тұрақты жолақ қарама-қарсы өнімді қолданумен сол жақ-тұрақты жолаққа айналады. Шынында да, әр түрлі топтардың 'қарама-қарсы' нұсқасы бар; бұл төмендегі суреттегі шағылысу симметриясын тудырады.

Тұрақты жолақтар

A тұрақты топ топ S қанағаттанарлық

zxzyz = zxyz барлығына х, ж, з ∈ S

Сорттардың торы

Кәдімгі жолақтардың торлары.

Қашан ішінара тапсырыс берді қосу арқылы жолақтардың сорттары табиғи түрде a құрайды тор, онда екі сорттың түйісуі олардың қиылысы, ал екі сорттың қосылуы - бұл екеуін де қамтитын ең кіші сорт. Бұл тордың толық құрылымы белгілі; атап айтқанда, бұл есептелетін, толық, және тарату.^[1] Кәдімгі жолақтардың 13 түрінен тұратын подтильца суретте көрсетілген. Сол-нөлдік жолақтар, жартылай шілтерлер және оң-нөлдік жолақтардың сорттары - бұл тордың үш атомы (тривиальды емес минималды элементтер).

Суретте көрсетілген жолақтардың әр түрлілігі тек бір сәйкестікпен анықталады. Бұл кездейсоқтық емес: әрқайсысы диапазондардың әртүрлілігін бірегейлікпен анықтауға болады.^[1]

Сондай-ақ қараңыз

Буль сақинасы, сақина, онда әр элемент (көбейтіліп) идемпотентті болады
Коммутативті жартылай топ еш жерде жоқ
Жартылай топтардың арнайы сыныптары
Православие жартылай тобы
Қайтымды ұялы автоматика § бірөлшемді автоматтар

Ескертулер

^ ^а ^б ^c Бирюков (1970); Феннемор (1970); Герхард (1970); Герхард және Петрич (1989).
^ Феннемор (1970).
^ ^а ^б Ямада (1971).
^ Хоуи (1995).
^ Қоңыр (2000).

Пайдаланылған әдебиеттер

Бирюков, А. П. (1970), «Идемпотентті жартылай топтардың түрлері», Алгебра және логика, 9 (3): 153–164, дои:10.1007 / BF02218673.
Қоңыр, Кен (2000), «Семигруппалар, сақиналар және Марков тізбектері», Дж. Теоретик. Пробаб., 13: 871–938, arXiv:математика / 0006145, Бибкод:2000 ж. ...... 6145B.
Клиффорд, Альфред Хоблицелл (1954), «Жартылай топтар топтары», Американдық математикалық қоғамның еңбектері, 5: 499–504, дои:10.1090 / S0002-9939-1954-0062119-9, МЫРЗА 0062119.
Клиффорд, Альфред Хоблицелл; Престон, Гордон Бэмфорд (1972), Жартылай топтардың алгебралық теориясы, Мәскеу: Мир.
Феннемор, Чарльз (1970), «Барлық жолақ түрлері», Semigroup форумы, 1 (1): 172–179, дои:10.1007 / BF02573031.
Герхард, Дж. А. (1970), «Идеппотентті жартылай топтардың теңдеу кластарының торы», Алгебра журналы, 15 (2): 195–224, дои:10.1016/0021-8693(70)90073-6, hdl:10338.dmlcz / 128238.
Герхард, Дж. А .; Петрих, Марио (1989), «Топтардың түрлері қайта қаралды», Лондон математикалық қоғамының еңбектері, 3: 323–350, дои:10.1112 / plms / s3-58.2.323.
Хоуи, Джон М. (1995), Семигруппа теориясының негіздері, Оксфорд Ю. Пресс, ISBN 978-0-19-851194-6.
Наджи, Аттила (2001), Жартылай топтардың арнайы сыныптары, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-6890-8.
Ямада, Миуки (1971), «Эксклюзивті жартылай топтар туралы ескерту», Semigroup форумы, 3 (1): 160–167, дои:10.1007 / BF02572956.

[bfg-1] а ^б ^c Бирюков (1970); Феннемор (1970); Герхард (1970); Герхард және Петрич (1989).

[FOOTNOTEFennemore1970-2] Феннемор (1970).

[y71-3] а ^б Ямада (1971).

[FOOTNOTEHowie1995-4] Хоуи (1995).

[FOOTNOTEBrown2000-5] Қоңыр (2000).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]