Бейли жұбы - Википедия - Bailey pair

Математикада а Бейли жұбы бұл белгілі бір қатынастарды қанағаттандыратын тізбектің жұбы және а Бейли тізбегі бұл Бейли жұптарының тізбегі. Бейли жұптары ұсынылды Бэйли  (1947, 1948 ) екінші дәлелдеуді зерттеу кезінде Роджерс (1917) harvtxt қатесі: мақсат жоқ: CITEREFRogers1917 (Көмектесіңдер) туралы Роджерс-Раманужан сәйкестілігі, және Bailey тізбектері ұсынылды Эндрюс (1984).

Анықтама

The q-Похаммер белгілері ${ displaystyle (a; q) _ {n}}$ ретінде анықталады:

${ displaystyle (a; q) _ {n} = prod _ {0 leq j$

Бірізділік жұбы (α_n, β_n) егер олар байланысты болса, Бейли жұбы деп аталады

${ displaystyle beta _ {n} = sum _ {r = 0} ^ {n} { frac { alpha _ {r}} {(q; q) _ {nr} (aq; q) _ { n + r}}}}$

немесе баламалы

${ displaystyle alpha _ {n} = (1-aq ^ {2n}) sum _ {j = 0} ^ {n} { frac {(aq; q) _ {n + j-1} (- 1) ^ {nj} q ^ {nj 2} beta _ {j}} {(q; q) _ {nj}}} таңдаңыз.}$

Бейли леммасы

Бэйли леммасы егер (α_n, β_n) - бұл Бейли жұбы, сондықтан да (α ')_n, β '_n) қайда

${ displaystyle alpha _ {n} ^ { prime} = { frac {( rho _ {1}; q) _ {n} ( rho _ {2}; q) _ {n} (aq / rho _ {1} rho _ {2}) ^ {n} альфа _ {n}} {(aq / rho _ {1}; q) _ {n} (aq / rho _ {2} ; q) _ {n}}}}$

${ displaystyle beta _ {n} ^ { prime} = sum _ {j geq 0} { frac {( rho _ {1}; q) _ {j} ( rho _ {2}; q) _ {j} (aq / rho _ {1} rho _ {2}; q) _ {nj} (aq / rho _ {1} rho _ {2}) ^ {j} beta _ {j}} {(q; q) _ {nj} (aq / rho _ {1}; q) _ {n} (aq / rho _ {2}; q) _ {n}}}. }$

Басқа сөзбен айтқанда, бір Бейли жұбын ескере отырып, жоғарыдағы формулалар арқылы секунд құруға болады. Бұл процесті а деп аталатын Бейли жұптарының шексіз тізбегін құру үшін қайталауға болады Бейли тізбегі.

Мысалдар

Бейли жұбының мысалы келтірілген (Эндрюс, Аски және Рой 1999 ж, б. 590)

${ displaystyle alpha _ {n} = q ^ {n ^ {2} + n} sum _ {j = -n} ^ {n} (- 1) ^ {j} q ^ {- j ^ {2 }}, quad beta _ {n} = { frac {(-q) ^ {n}} {(q ^ {2}; q ^ {2}) _ {n}}}.}$

Слейтер  (1952 ) Бейли жұптарына қатысты 130 мысалдың тізімін берді.

Әдебиеттер тізімі

• Эндрюс, Джордж Э. (1984), «Роджерс-Раманужан типінің бірнеше сериялары», Тынық мұхит журналы, 114 (2): 267–283, дои:10.2140 / pjm.1984.114.267, ISSN  0030-8730, МЫРЗА  0757501
• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Арнайы функциялар, Математика энциклопедиясы және оның қосымшалары, 71, Кембридж университетінің баспасы, ISBN  978-0-521-62321-6, МЫРЗА  1688958
• Бэйли, В. Н. (1947), «Комбинаторлық анализдегі кейбір сәйкестіктер», Лондон математикалық қоғамының еңбектері, Екінші серия, 49 (6): 421–425, дои:10.1112 / plms / s2-49.6.421, ISSN  0024-6115, МЫРЗА  0022816
• Бейли, В. Н. (1948), «Роджерс-Раманужан типінің сәйкестілігі», Proc. Лондон математикасы. Soc., s2-50 (1): 1-10, дои:10.1112 / plms / s2-50.1.1
• Паул, Петр, Бейли тізбектерінің тұжырымдамасы (PDF)
• Слейтер, Л. Дж. (1952), «Роджерс-Раманужан типінің одан әрі сәйкестілігі», Лондон математикалық қоғамының еңбектері, Екінші серия, 54 (2): 147–167, дои:10.1112 / plms / s2-54.2.147, ISSN  0024-6115, МЫРЗА  0049225
• Варнаар, С.Оле (2001), «Бейли леммасына 50 жыл», Алгебралық комбинаторика және қосымшалар (Госсвайнштейн, 1999) (PDF), Берлин, Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг, 333–347 б., МЫРЗА  1851961