Антисимметризатор - Antisymmetrizer

Жылы кванттық механика, антисимметризатор ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ (оны антисимметриялау операторы деп те атайды^[1]) - толқындық функциясын жасайтын сызықтық оператор N бірдей фермиондар кез-келген жұп фермионның координаталарының алмасуымен антисимметриялық. Қолданғаннан кейін ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ толқындық функция Паулиді алып тастау принципі. Бастап ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ Бұл проекциялау операторы, антисимметрияны толығымен антисимметриялы толқындық функцияға қолдану ешқандай әсер етпейді, сәйкестендіру операторы.

Математикалық анықтама

Кеңістігі мен спин координаттарына байланысты толқындық функцияны қарастырайық N фермиондар:

${ displaystyle Psi (1,2, ldots, N) quad { text {with}} quad i leftrightarrow ( mathbf {r} _ {i}, sigma _ {i}),}$

мұнда орналасу векторы р_мен бөлшектер мен вектор болып табылады ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ және σ_мен алады 2с+1 мәндер, мұндағы с ішкі жартылай интегралды болып табылады айналдыру фермион. Үшін электрондар с = 1/2 және σ екі мәнге ие болуы мүмкін («айналдыру»: 1/2 және «айналдыру»: −1/2). Ψ белгісіндегі координаталардың позициялары нақты анықталған мәнге ие болады деп есептеледі. Мысалы,-(1,2) 2-фермиондық функция жалпы алғанда Ψ (2,1) сияқты болмайды. Бұл тұтастай алғанда ${ displaystyle Psi (1,2) - Psi (2,1) neq 0}$ сондықтан біз мағыналы түрде а анықтай аламыз транспозиция операторы ${ displaystyle { hat {P}} _ {ij}}$ бөлшектің координаталарын ауыстырады мен және j. Жалпы алғанда, бұл оператор сәйкестендіру операторына тең келмейді (дегенмен, ерекше жағдайларда болуы мүмкін).

A транспозиция барпаритет (қолтаңба деп те аталады) −1. The Паули принципі бірдей фермиондардың толқындық функциясы меншікті мәні паритетімен транспозиция операторының өзіндік функциясы болуы керек деп тұжырымдайды.

${ displaystyle { begin {aligned} { hat {P}} _ {ij} Psi { big (} 1,2, ldots, i, ldots, j, ldots, N { big)} & equiv Psi { big (} pi (1), pi (2), ldots, pi (i), ldots, pi (j), ldots, pi (N) {« үлкен)} & equiv Psi (1,2, ldots, j, ldots, i, ldots, N) & = - Psi (1,2, ldots, i, ldots, j, ldots, N). end {aligned}}}$

Мұнда біз транспозиция операторын байланыстырдық ${ displaystyle { hat {P}} _ {ij}}$ бірге ауыстыру координаттар π жиынтығында әрекет ететін N координаттар. Бұл жағдайда π = (иж), қайда (иж) болып табылады цикл белгісі бөлшектің координаталарының транспозициясы үшін мен және j.

Транспозициялар құрастырылуы мүмкін (кезекпен қолданылады). Бұл транспозициялар арасындағы өнімді анықтайды ассоциативті. -Ның ерікті ауыстыруын көрсетуге болады N нысандарды транспозициялардың туындысы ретінде жазуға болады және бұл ыдыраудағы транспозиция саны тұрақты паритетке тең. Яғни, ауыстыру әрқашан транспозициялардың жұп санында ығыстырылады (пермутация жұп деп аталады және +1 теңдігіне ие), немесе ауыстыру тақ транспозициялардың әрқашан санында ыдырайды, содан кейін ол паритетпен тақ ауыстырады −1. Еркін ауыстырудың паритетін белгілеу π авторы (−1)^π, антисимметриялық толқындық функция қанағаттандырады

${ displaystyle { hat {P}} Psi { big (} 1,2, ldots, N { big)} equiv Psi { big (} pi (1), pi (2) , ldots, pi (N) { big)} = (- 1) ^ { pi} Psi (1,2, ldots, N),}$

онда біз сызықтық операторды байланыстырдық ${ displaystyle { hat {P}}}$ ауыстырумен m.

Барлығының жиынтығы N! ассоциативті өніммен ауыстыру: «бірінен соң бірін ауыстыру», бұл ауыстыру тобы деп аталатын топ немесе симметриялық топ, деп белгіленеді S_N. Біз анықтаймыз антисимметризатор сияқты

${ displaystyle { mathcal {A}} equiv { frac {1} {N!}} sum _ {P in S_ {N}} (- 1) ^ { pi} { hat {P} }.}$

Антисиметризатордың қасиеттері

Ішінде ұсыну теориясы Шекті топтардың антисиметризаторы белгілі объект, өйткені паритеттер жиынтығы ${ displaystyle {(- 1) ^ { pi} }}$ ретінде белгілі ауыстыру тобының бір өлшемді (демек, төмендетілмейтін) көрінісін құрайды антисимметриялық көрініс. Көрсетілім бір өлшемді, паритеттер жиынтығы кейіпкер антисимметриялық көрініс. Антисиметризатор шын мәнінде а символдарды проекциялау операторы және болып табылады квазимедпотентті,

Мұның салдары бар кез келген N-бөлшектің толқындық функциясы Ψ (1, ...,N) Бізде бар

${ displaystyle { mathcal {A}} Psi (1, ldots, N) = { begin {case} & 0 & Psi '(1, dots, N) neq 0. end {case }}}$

Ψ-де антисимметриялық компонент жоқ, содан кейін антисимметризатор нөлге шығады, немесе антисимметризатор осы антисимметриялық компонентті шығарады Ψ '. Антисиметризатор топтың сол және оң көрінісін ұсынады:

${ displaystyle { hat {P}} { mathcal {A}} = { mathcal {A}} { hat {P}} = (- 1) ^ { pi} { mathcal {A}}, S_ {N} ішіндегі qquad forall pi ,}$

оператормен ${ displaystyle { hat {P}}}$ inate координаталардың ауыстыруын ұсынады, енді ол үшін кез келген N-бөлшектің толқындық функциясы Ψ (1, ...,N) жоғалып кетпейтін антисимметриялық компонентпен, бұл

${ displaystyle { hat {P}} { mathcal {A}} Psi (1, ldots, N) equiv { hat {P}} Psi '(1, ldots, N) = (- 1) ^ { pi} Psi '(1, ldots, N),}$

жоғалып кетпейтін компоненттің шынымен антисимметрия екенін көрсетеді.

Егер толқындық функция кез-келген тақ париттік ауыстыруда симметриялы болса, оның антисимметриялық компоненті болмайды. Шынында да, оператор ұсынған π ауыстыру деп есептейік ${ displaystyle { hat {P}}}$, тең паритеті бар және Ψ симметриялы болады, сонда

${ displaystyle { hat {P}} Psi = Psi Longrightarrow { mathcal {A}} { hat {P}} Psi = { mathcal {A}} Psi Longrightarrow - { mathcal { A}} Psi = { mathcal {A}} Psi Longrightarrow { mathcal {A}} Psi = 0.}$

Осы нәтижені қолдануға мысал ретінде біз $ a $ деп есептейміз спин-орбиталық өнім. Осы өнімде спин-орбиталь координатамен бір рет екі рет пайда болады («екі есе» орналасқан) деп есептейік. к және бір рет координатамен q. Сонда өнім транспозиция астында симметриялы болады (к, q), демек, жоғалады. Бұл нәтиженің түпнұсқалық тұжырымдамасын беретініне назар аударыңыз Паули принципі: екі электронның бірдей кванттық сандар жиыны бола алмайды (бірдей спин-орбитальда болады).

Бірдей бөлшектердің рұқсаттары болып табылады унитарлы, (Hermitian адъюнкциясы оператордың кері санына тең), және π мен π болғандықтан⁻¹ бірдей паритетке ие, демек, антисимметризатор - гермиттік,

${ displaystyle { mathcal {A}} ^ { қанжар} = { mathcal {A}}.}$

Антисиметризатор кез-келген бақыланатын затпен жүреді ${ displaystyle { hat {H}} ,}$ (Физикалық-бақыланатын-мөлшерге сәйкес келетін гермитаның операторы)

${ displaystyle [{ mathcal {A}}, { hat {H}}] = 0.}$

Егер басқаша болса, өлшеу ${ displaystyle { hat {H}} ,}$ бөлшектерді ажырата білді, антисиметризатор тек ажыратылмайтын бөлшектердің координаталарына әсер етеді деген болжамға қайшы келеді.

Слатер детерминантымен байланыс

Антисимметрияланатын толқындық функция спин-орбитальдардың өнімі болатын ерекше жағдайда

${ displaystyle Psi (1,2, ldots, N) = psi _ {n_ {1}} (1) psi _ {n_ {2}} (2) cdots psi _ {n_ {N} } (N)}$

The Слейтер детерминанты спин-орбитальдар өнімінде жұмыс жасайтын антисимметрия көмегімен жасалады, төмендегідей:

${ displaystyle { sqrt {N!}} { mathcal {A}} Psi (1,2, ldots, N) = { frac {1} { sqrt {N!}}} { begin {vmatrix} psi _ {n_ {1}} (1) & psi _ {n_ {1}} (2) & cdots & psi _ {n_ {1}} (N) psi _ { n_ {2}} (1) & psi _ {n_ {2}} (2) & cdots & psi _ {n_ {2}} (N) vdots & vdots && vdots psi _ {n_ {N}} (1) & psi _ {n_ {N}} (2) & cdots & psi _ {n_ {N}} (N) end {vmatrix}}}$

Хат алмасу бірден Детерминанттардың лейбництік формуласы, онда оқылады

${ displaystyle det ( mathbf {B}) = sum _ { pi in S_ {N}} (- 1) ^ { pi} B_ {1, pi (1)} cdot B_ {2 , pi (2)} cdot B_ {3, pi (3)} cdot , cdots , cdot B_ {N, pi (N)},}$

қайда B матрица болып табылады

${ displaystyle mathbf {B} = { begin {pmatrix} B_ {1,1} & B_ {1,2} & cdots & B_ {1, N} B_ {2,1} & B_ {2,2} & cdots & B_ {2, N} vdots & vdots && vdots B_ {N, 1} & B_ {N, 2} & cdots & B_ {N, N} end {pmatrix}} .}$

Сәйкестікті көру үшін антисимметриядағы терминдермен өзгертілген фермион белгілері әр түрлі бағандарды жапсыратындығын байқаймыз (екінші индекс). Бірінші индекстер - орбиталық индекстер, n₁, ..., n_N жолдарды белгілеу.

Мысал

Антисимметризер анықтамасы бойынша

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {A}} psi _ {a} (1) psi _ {b} (2) psi _ {c} (3) = & { frac {1) } {6}} { Big (} psi _ {a} (1) psi _ {b} (2) psi _ {c} (3) + psi _ {a} (3) psi _) {b} (1) psi _ {c} (2) + psi _ {a} (2) psi _ {b} (3) psi _ {c} (1) & {} - psi _ {a} (2) psi _ {b} (1) psi _ {c} (3) - psi _ {a} (3) psi _ {b} (2) psi _ {c } (1) - psi _ {a} (1) psi _ {b} (3) psi _ {c} (2) { Big)}. End {aligned}}}$

Слейтер детерминантын қарастырайық

${ displaystyle D equiv { frac {1} { sqrt {6}}} { begin {vmatrix} psi _ {a} (1) & psi _ {a} (2) & psi _ { a} (3) psi _ {b} (1) & psi _ {b} (2) & psi _ {b} (3) psi _ {c} (1) & psi _ {c} (2) & psi _ {c} (3) end {vmatrix}}.}$

Бойынша Лапластың кеңеюі бірінші қатар бойымен Д.

${ displaystyle D = { frac {1} { sqrt {6}}} psi _ {a} (1) { begin {vmatrix} psi _ {b} (2) & psi _ {b} (3) psi _ {c} (2) & psi _ {c} (3) end {vmatrix}} - { frac {1} { sqrt {6}}} psi _ {a } (2) { begin {vmatrix} psi _ {b} (1) & psi _ {b} (3) psi _ {c} (1) & psi _ {c} (3) end {vmatrix}} + { frac {1} { sqrt {6}}} psi _ {a} (3) { begin {vmatrix} psi _ {b} (1) & psi _ { b} (2) psi _ {c} (1) & psi _ {c} (2) end {vmatrix}},}$

сондай-ақ

${ displaystyle { begin {aligned} D = & { frac {1} { sqrt {6}}} psi _ {a} (1) { Big (} psi _ {b} (2) psi _ {c} (3) - psi _ {b} (3) psi _ {c} (2) { Big)} - { frac {1} { sqrt {6}}} psi _ {a} (2) { Big (} psi _ {b} (1) psi _ {c} (3) - psi _ {b} (3) psi _ {c} (1) { Үлкен)} & {} + { frac {1} { sqrt {6}}} psi _ {a} (3) { Big (} psi _ {b} (1) psi _ { c} (2) - psi _ {b} (2) psi _ {c} (1) { Big)}. end {aligned}}}$

Терминдерді салыстыру арқылы біз бұған көз жеткіземіз

${ displaystyle D = { sqrt {6}} { mathcal {A}} psi _ {a} (1) psi _ {b} (2) psi _ {c} (3).}$

Молекулааралық антисимметризатор

Өнім формасының толқындық функциясы жиі кездеседі${ displaystyle Psi _ {A} (1,2, нүкте, N_ {A}) Psi _ {B} (N_ {A} + 1, N_ {A} +2, нүкте, N_ {A} + N_ {B})}$ мұндағы жалпы толқындық функция антисимметриялық емес, бірақ факторлар антисимметриялы,

${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {A} Psi _ {A} (1,2, нүктелер, N_ {A}) = Psi _ {A} (1,2, нүктелер, N_ { А))}$

және

${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {B} Psi _ {B} (N_ {A} + 1, N_ {A} +2, dots, N_ {A} + N_ {B}) = Psi _ {B} (N_ {A} + 1, N_ {A} +2, нүкте, N_ {A} + N_ {B}).}$

Мұнда ${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {A}}$ біріншісін антисимметриялайды N_A бөлшектер және ${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {B}}$ екінші жиынтығын антисимметриялайды N_B бөлшектер. Осы екі антисимметрияда пайда болатын операторлар. Элементтерін білдіреді кіші топтар S_NA және S_NBсәйкесінше S_NA+NB.

Әдетте, теорияда осындай ішінара антисимметриялық толқындық функциялар кездеседі молекулааралық күштер, қайда ${ displaystyle Psi _ {A} (1,2, нүкте, N_ {A})}$ бұл молекуланың электрондық толқындық функциясы A және ${ displaystyle Psi _ {B} (N_ {A} + 1, N_ {A} +2, нүкте, N_ {A} + N_ {B})}$ бұл молекуланың толқындық функциясы B. Қашан A және B өзара әрекеттесу, Паули принципі молекулалар аралық пермутация кезінде жалпы толқындық функцияның антисимметриясын қажет етеді.

Толық жүйені жалпы антисимметрия көмегімен антисимметриялауға болады ${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {AB}}$ ол (N_A + N_B)! топтағы терминдер S_NA+NB. Алайда, осылайша бұрыннан бар ішінара антисимметрияның артықшылығын пайдаланбайды. Екі кіші топтың көбейтіндісі де кіші топ болатындығын пайдаланып, сол жағын қарастырған тиімдірек ғарыш осы өнім тобының S_NA+NB:

${ displaystyle S_ {N_ {A}} otimes S_ {N_ {B}} S_ {N_ {A} + N_ {B}} Longrightarrow forall pi in S_ {N_ {A} + N_ {ішкі жиынтығы B}}: quad pi = tau pi _ {A} pi _ {B}, quad pi _ {A} in S_ {N_ {A}}, ; ; pi _ { B} in S_ {N_ {B}},}$

Мұндағы τ - сол жақ косетик өкілі. Бастап

${ displaystyle (-1) ^ { pi} = (- 1) ^ { tau} (- 1) ^ { pi _ {A}} (- 1) ^ { pi _ {B}},}$

біз жаза аламыз

${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {AB} = { tilde { mathcal {A}}} ^ {AB} { mathcal {A}} ^ {A} { mathcal {A}} ^ { B} quad { hbox {with}} quad { tilde { mathcal {A}}} ^ {AB} = sum _ {T = 1} ^ {C_ {AB}} (- 1) ^ { tau} { hat {T}}, quad C_ {AB} = { binom {N_ {A} + N_ {B}} {N_ {A}}}.}$

Оператор ${ displaystyle { hat {T}}}$ косет өкілі represents білдіреді (молекулааралық координаталар орнын ауыстыру). Әрине молекулааралық антисимметризатор ${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}} ^ {AB}}$ факторы бар N_A! N_B! жалпы антисиметризатордан гөрі аз терминдер.

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {A}} ^ {AB} Psi _ {A} (1,2, dots, N_ {A}) & Psi _ {B} (N_ {A) } + 1, N_ {A} +2, нүкте, N_ {A} + N_ {B}) & = { tilde { mathcal {A}}} ^ {AB} Psi _ {A} ( 1,2, нүктелер, N_ {A}) Psi _ {B} (N_ {A} + 1, N_ {A} +2, нүктелер, N_ {A} + N_ {B}), соңы { тураланған}}}$

біз онымен әрекет етудің жеткілікті екенін көреміз ${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}} ^ {AB}}$ егер ішкі жүйенің толқындық функциялары антисимметриялы болса.

Сондай-ақ қараңыз

• Слейтер детерминанты
• Бірдей бөлшектер

Пайдаланылған әдебиеттер