Андерсонс теоремасы - Википедия - Andersons theorem

Жылы математика, Андерсондікі теорема нәтижесі болып табылады нақты талдау және геометрия бұл дейді ажырамас интегралданатын, симметриялы, бірмодальды, теріс емес функция f астам n-өлшемді дөңес дене Қ егер төмендемесе Қ шыққан жеріне қарай ішке аударылады. Бұл табиғи тұжырым, өйткені график туралы f шығу тегі бойынша жалғыз шыңы бар төбе деп ойлауға болады; алайда, үшін n ≥ 2, дәлелі толығымен айқын емес, өйткені нүктелер болуы мүмкін х дененің Қ мәні қайда f(х) сәйкес аудармасына қарағанда үлкен х.

Андерсон теоремасында қызықты қосымша бар ықтималдықтар теориясы.

Теореманың тұжырымы

Келіңіздер Қ ішіндегі дөңес дене n-өлшемді Евклид кеңістігі Rⁿ Бұл симметриялы шығу тегіндегі шағылысқа қатысты, яғни. Қ = −Қ. Келіңіздер f : Rⁿ → R болмаутеріс, симметриялы, ғаламдық интегралданатын функция; яғни

• f(х) Барлығы үшін ≥ 0 х ∈ Rⁿ;
• f(х) = f(−х) барлығына х ∈ Rⁿ;
• ${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} f (x) , mathrm {d} x <+ infty.}$

Сонымен, супердеңгей жиынтығы L(f, т) of f, арқылы анықталады

${ displaystyle L (f, t) = {x in mathbb {R} ^ {n} | f (x) geq t },}$

болып табылады дөңес ішкі жиындар туралы Rⁿ әрқайсысы үшін т ≥ 0. (Бұл қасиетті кейде бар деп те атайды біркелкі емес.) Содан кейін кез келген 0 for үшінв ≤ 1 және ж ∈ Rⁿ,

${ displaystyle int _ {K} f (x + cy) , mathrm {d} x geq int _ {K} f (x + y) , mathrm {d} x.}$

Ықтималдықтар теориясына қолдану

Берілген ықтималдық кеңістігі (Ω, Σ, Pr), делік X : Ω →Rⁿ болып табылады Rⁿ- бағаланады кездейсоқ шама бірге ықтималдық тығыздығы функциясы f : Rⁿ → [0, + ∞) және сол Y : Ω →Rⁿ болып табылады тәуелсіз кездейсоқ шама. Көптеген белгілі ықтималдық үлестірулерінің ықтималдық тығыздығының функциялары мыналар б-ойыс кейбіреулер үшін б, демек, әдеттен тыс. Егер олар симметриялы болса (мысалы Лаплас және қалыпты үлестірулер ), онда Андерсон теоремасы қолданылады, бұл жағдайда

${ displaystyle Pr (X in K) geq Pr (X + Y in K)}$

кез-келген симметриялы дөңес дене үшін Қ ⊆ Rⁿ.

Әдебиеттер тізімі

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Брунн-Минковский теңсіздігі». Өгіз. Amer. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355-405 (электрондық). дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.