Абстрактілі жасуша кешені - Abstract cell complex

Математикада ан абстрактілі жасуша кешені дегеніміз - дерексіз жиынтық Александров топологиясы онда теріс емес бүтін сан шақырылды өлшем әр нүктеге тағайындалады. Кешен «абстрактілі» деп аталады, өйткені «ұяшықтар» деп аталатын нүктелері а-ның жиынтықтары емес Хаусдорф кеңістігі Евклидтегі және CW кешені. Дерексіз жасуша кешендері маңызды рөл атқарады бейнені талдау және компьютерлік графика.

Тарих

Абстрактілі жасуша кешендерінің идеясы ^[1] (сонымен қатар абстрактілі ұялы кешендер деп аталады) қатысты J. листинг (1862) ^[2] және Э.Штайниц (1908).^[3] Сондай-ақ, А.В. Такер (1933),^[4] К.Рейдемейстер (1938),^[5] P.S. Александров (1956) ^[6] Р.Клетт пен А.Розенфельд (2004) ^[7] дерексіз жасушалық кешендерді сипаттады. Э.Штайниц абстрактілі жасуша кешенін анықтады ${ displaystyle C = (E, B, dim)}$ қайда E болып табылады реферат жиынтығы, B - деп аталатын асимметриялық, иррефлексивті және өтпелі екілік қатынас шекті қатынас элементтері арасында E және күңгірт - бұл әр элементіне теріс емес бүтін санды тағайындау функциясы E егер солай болса ${ displaystyle B (a, b)}$ , содан кейін ${ displaystyle dim (a)$ . В.Ковалевский (1989) ^[8] 3D және одан жоғары өлшемдерге арналған дерексіз жасушалық кешендерді сипаттады. Ол сонымен қатар кескінді талдауға көптеген қосымшалар ұсынды. Оның кітабында (2008) ^[9] ол жергілікті шектеулі аксиоматикалық теорияны ұсынды топологиялық кеңістіктер олар абстрактілі жасушалық кешендерді жалпылау болып табылады. Кітапта топологиялық шарлар мен сфераларға тәуелсіз жаңа анықтамалар бар метрикалық, жаңа анықтамасы комбинаторлы коллекторлар және кескінді талдауға пайдалы көптеген алгоритмдер.

Негізгі нәтижелер

Абстрактілі жасуша кешендерінің топологиясы а-ға негізделген ішінара тапсырыс оның нүктелерінің немесе ұяшықтарының жиынтығында.

Э.Штайниц анықтаған абстрактілі жасуша кешені ұғымы ан ұғымымен байланысты абстрактілі қарапайым және ол а қарапайым кешен оның элементтері жоқ қасиеті бойынша қарапайым: Ан n- дерексіз кешендердің өлшемді элементі болмауы керек n+1 нөлдік өлшемді жақтар, және ұяшықтың нөлдік өлшемді жақтарының жиынының әрбір ішкі жиыны ұяшық болып табылмайды. Бұл өте маңызды, өйткені абстрактілі ұяшық кешендері туралы түсінікті суреттерді өңдеу кезінде қолданылатын екі және үш өлшемді торларға қолдануға болады, бұл қарапайым комплекстер үшін дұрыс емес. Қарапайым емес кешен - бұл ұяшық координаттарын енгізуге мүмкіндік беретін жалпылау: Қарапайым емес комплекстер бар, олар декарттық туындылар, осындай «сызықтық» бір өлшемді комплекстер, онда әрбір нөлдік өлшемді ұяшық, олардың екеуінен басқа, дәл шектеледі екі бір өлшемді ұяшықтар. Тек осындай декарттық кешендер әр ұяшықта координаттар жиыны, ал кез-келген екі түрлі ұяшықтарда әртүрлі координаттар жиынтығы болатындай координаттарды енгізуге мүмкіндік береді. Координаттар жиыны кешендерді өңдеу үшін маңызды болып табылатын кешеннің әр ұяшығының атауы бола алады.

Абстрактілі кешендер сандық кескінді өңдеудің негізі болып табылатын торларға классикалық топологияны (Александров-топология) енгізуге мүмкіндік береді. Бұл мүмкіндік абстрактілі жасуша кешендерінің үлкен артықшылығын анықтайды: қосылым және ішкі жиындар шекаралары туралы түсініктерді дәл анықтауға болады. Жасушалар мен комплекстердің өлшемдерінің анықтамасы жалпы жағдайда қарапайым комплекстерден өзгеше (төменде қараңыз).

Абстрактілі жасуша кешені ұғымы CW комплексінен айтарлықтай ерекшеленеді, өйткені абстрактілі жасуша кешені жоқ Хаусдорф кеңістігі. Бұл информатика тұрғысынан маңызды, өйткені компьютерде дискретті емес Хаусдорф кеңістігін нақты түрде көрсету мүмкін емес. (Мұндай кеңістіктегі әр нүктенің маңында шексіз көп нүктелер болуы керек).

В.Ковалевскийдің кітабы ^[10] теориясының сипаттамасын қамтиды жергілікті шектеулі кеңістіктер олар абстрактілі жасуша кешендерін жалпылау болып табылады. Жергілікті шектеулі кеңістік S ішкі жиыны болатын нүктелер жиынтығы S әрбір нүкте үшін анықталады P туралы S. Бұл нүктенің шектеулі санын қамтитын жиын деп аталады ең кішкентай аудан туралы P. Екілік көршілік қатынас жергілікті ақырлы кеңістіктің нүктелер жиынтығында анықталады S: Элемент (нүкте) б элементімен көршілік қатынаста болады а егер б элементтің ең кіші ауданына жатады а. Жергілікті шектеулі кеңістіктің жаңа аксиомалары тұжырымдалды және бұл кеңістік екендігі дәлелденді S көршілік қатынас антиимметриялы және өтпелі болған жағдайда ғана аксиомаларға сәйкес келеді. Көршілес қатынас - бұл кері шектеу қатынасының рефлексиялық қабығы. Топологияның классикалық аксиомаларын жаңа аксиомалардан теорема ретінде шығаруға болатындығы көрсетілді. Сондықтан жаңа аксиомаларды қанағаттандыратын жергілікті шектеулі кеңістік классикалық топологиялық кеңістіктің ерекше жағдайы болып табылады. Оның топологиясы - а посет топологиясы немесе Александров топологиясы.Абстрактты ұяшықтар кешені - бұл әр нүкте үшін өлшем анықталған жергілікті ақырлы кеңістіктің нақты жағдайы. Жасушаның өлшемі екендігі көрсетілді c абстрактілі ұяшықтар комплексі кез келген ұяшықтан ұяшыққа апаратын максималды шектеу жолының ұзындығына (ұяшықтар саны минус 1) тең. c. Шектелетін жол - бұл әрбір ұяшық келесі жолды шектейтін ұяшықтар тізбегі. Кітапта 2D кешендеріндегі цифрлық түзу сегменттер теориясы, 2D және 3D шекараларын анықтауға арналған көптеген алгоритмдер, шекараларды экономикалық тұрғыдан кодтау және оның шекарасының кодынан ішкі жиынды дәл қалпына келтіру туралы айтылған.

Абстрактілі жасуша кешені цифрлық кескінді ұсыну

3х4 сандық кескін абстрактілі ұяшықтар кешенінің өлшемді құрамдас бөліктеріне айналды.

Цифрлық кескінді кескінді ACC өлшемді құрамына бөлу арқылы 2D абстрактілі ұяшықтар кешенімен (ACC) ұсынуға болады: нүктелер (0-ұяшық), жарықтар / шеттер (1-ұяшық) және пиксельдер / беттер (2-ұяшық) .

ACC координатын тағайындау

Бұл ажырату координаттарды тағайындау ережесімен бірге кескін пикселдерінен өлшемді құрамдастарға координаттарды бірмәнді тағайындауға мүмкіндік береді, бұл кескінге талдаулар сияқты талғампаз алгоритмдермен кескінді талдауға мүмкіндік береді. шекаралық бақылау, сандық түзу сегмент бөлу және т.с.с. ережелердің бірі нүктелердің, сызаттардың және беттің нүктелерін пикселдің сол жақ жоғарғы координатасына бейнелейді. Бұл өлшемді құрамдас бөліктер өздерінің жеке деректер құрылымына нақты аударманы қажет етпейді, бірақ жанама түрде түсінікті және сандық кескіннің әдеттегі деректер құрылымының көрінісі болып табылатын 2D массивімен байланысты болуы мүмкін. Бұл координатты тағайындау ережесі және осы суретке түскен әрбір ұяшықтың көрсетілімдері оң жақтағы суретте бейнеленген.

Әдебиеттер тізімі

^ Рейнхард Клетт: уақыт бойынша жасуша кешендері. http://spie.org/Publications/Proceedings/Paper/10.1117/12.404813
^ Листинг Дж.: «Der Census räumlicher кешені». Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, т. 10, Геттинген, 1862, 97–182.
^ Штайниц Е .: «Beiträge zur Analysis». Sitzungsbericht Berliner Mathematischen Gesellschaft, Band. 7, 1908, 29-49.
^ Такер А.В .: «Көпқырлыға абстрактілі көзқарас», Анналдар Математика, т.34, 1933, 191-243.
^ Рейдемейстер К.: «Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplekse». Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Лейпциг, 1938 (екінші басылым 1953)
^ Александров П.С .: Комбинаторлық топология, Грейлок Пресс, Рочестер, 1956,
^ Клетт Р. және Розенфельд. А .: «Сандық геометрия», Elsevier, 2004 ж.
^ Ковалевский, В .: «Суретті талдауда қолданылатын ақырғы топология», Компьютерлік көру, графика және кескінді өңдеу, 45 т., No 2, 1989, 141–161.
^ http://www.geometry.kovalevsky.de.
^ В.Ковалевский: «Жергілікті ақырлы кеңістіктердің геометриясы». Доктор Барбель Ковалевскидің редакциялау үйі, Берлин 2008 ж. ISBN 978-3-9812252-0-4.

[1] Рейнхард Клетт: уақыт бойынша жасуша кешендері. http://spie.org/Publications/Proceedings/Paper/10.1117/12.404813

[2] Листинг Дж.: «Der Census räumlicher кешені». Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, т. 10, Геттинген, 1862, 97–182.

[3] Штайниц Е .: «Beiträge zur Analysis». Sitzungsbericht Berliner Mathematischen Gesellschaft, Band. 7, 1908, 29-49.

[4] Такер А.В .: «Көпқырлыға абстрактілі көзқарас», Анналдар Математика, т.34, 1933, 191-243.

[5] Рейдемейстер К.: «Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplekse». Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Лейпциг, 1938 (екінші басылым 1953)

[6] Александров П.С .: Комбинаторлық топология, Грейлок Пресс, Рочестер, 1956,

[7] Клетт Р. және Розенфельд. А .: «Сандық геометрия», Elsevier, 2004 ж.

[8] Ковалевский, В .: «Суретті талдауда қолданылатын ақырғы топология», Компьютерлік көру, графика және кескінді өңдеу, 45 т., No 2, 1989, 141–161.

[9] ttp://www.geometry.kovalevsky.de.

[10] В.Ковалевский: «Жергілікті ақырлы кеңістіктердің геометриясы». Доктор Барбель Ковалевскидің редакциялау үйі, Берлин 2008 ж. ISBN 978-3-9812252-0-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]