Топтың абсолютті презентациясы - Википедия - Absolute presentation of a group

Жылы математика, an абсолютті презентация а анықтау әдісі болып табылады топ.^[1]

Топты анықтау үшін еске түсіріңіз ${ displaystyle G }$ арқылы презентация, біреуі жиынтығын көрсетеді ${ displaystyle S }$ туралы генераторлар топтың әрбір элементі осы генераторлардың кейбірінің туындысы және жиынтығы ретінде жазылуы үшін ${ displaystyle R }$ туралы қарым-қатынастар сол генераторлардың арасында. Рәміздерде:

${ displaystyle G simeq langle S mid R rangle.}$

Бейресми ${ displaystyle G }$ жиын арқылы құрылған топ болып табылады ${ displaystyle S }$ осындай ${ displaystyle r = 1 }$ барлығына ${ displaystyle r in R}$. Бірақ мұнда а үнсіз болжам бұл ${ displaystyle G }$ қатынастар кез-келген жағдайда айқын қанағаттандырылатындықтан, «ең еркін» топ болып табылады гомоморфты бейнесі ${ displaystyle G }$. Бұл үнсіз жорамалды жоюдың бір жолы - белгілі бір сөздерді көрсету ${ displaystyle S }$ тең болмауы керек ${ displaystyle 1.}$ Біз жиынтығын көрсетеміз ${ displaystyle I }$жиынтығы деп аталады қатынастар, осылай ${ displaystyle i neq 1 }$ барлығына ${ displaystyle i in I}$.

Ресми анықтама

Топтың абсолютті презентациясын анықтау ${ displaystyle G }$ біреуі жиынтығын көрсетеді ${ displaystyle S }$ генераторлар, жиынтық ${ displaystyle R }$ сол генераторлар арасындағы қатынастар және жиынтық ${ displaystyle I }$ осы генераторлар арасындағы байланыссыздық. Біз содан кейін айтамыз ${ displaystyle G }$ абсолютті презентацияға ие

${ displaystyle langle S mid R, I rangle.}$

егер:

1. ${ displaystyle G }$ бар презентация ${ displaystyle langle S mid R rangle.}$
2. Кез келген гомоморфизм ${ displaystyle h: G rightarrow H}$ мұндай байланыстар ${ displaystyle I }$ риза ${ displaystyle h (G) }$, ${ displaystyle G }$ болып табылады изоморфты дейін ${ displaystyle h (G) }$.

Алгебралық, бірақ баламалы, 2-шартты айту тәсілі:

2а. егер ${ displaystyle N triangleleft G }$ ұсақ-түйек емес қалыпты топша туралы ${ displaystyle G}$ содан кейін ${ displaystyle I cap N neq left {1 right }.}$

Ескерту: Сияқты абсолютті презентация тұжырымдамасы жемісті болды алгебралық жабық топтар және Григорчук топологиясы.Әдебиетте абсолютті презентациялар талқыланатын контекстте презентация (сөздің әдеттегі мағынасында) кейде салыстырмалы презентация, бұл а. данасы ретроним.

Мысал

The циклдік топ тәртіп 8 презентациясы бар

${ displaystyle langle a mid a ^ {8} = 1 rangle.}$

Бірақ изоморфизмге дейін қатынасты «қанағаттандыратын» тағы үш топ бар ${ displaystyle a ^ {8} = 1 ,}$ атап айтқанда:

${ displaystyle langle a mid a ^ {4} = 1 rangle}$

${ displaystyle langle a mid a ^ {2} = 1 rangle}$ және

${ displaystyle langle a mid a = 1 rangle.}$

Алайда бұлардың ешқайсысы өзара байланысты емес ${ displaystyle a ^ {4} neq 1}$. Сонымен 8-ші циклдік топтың абсолютті презентациясы:

${ displaystyle langle a mid a ^ {8} = 1, a ^ {4} neq 1 rangle.}$

Бұл абсолютті презентация анықтамасының бір бөлігі, бұл байланыстар топтың кез-келген тиісті гомоморфты бейнесінде қанағаттандырылмайды. Сондықтан:

${ displaystyle langle a mid a ^ {8} = 1, a ^ {2} neq 1 rangle}$

Болып табылады емес 8 реттіліктің циклдік тобы үшін абсолютті презентация, өйткені байланыссыздық ${ displaystyle a ^ {2} neq 1}$ 4-ші реттік циклдік топта қанағаттандырылады.

Фон

Абсолютті презентация ұғымы келесіден туындайды Бернхард Нейман зерттеу изоморфизм мәселесі үшін алгебралық жабық топтар.^[1]

Екі топтың болуын қарастыратын жалпы стратегия ${ displaystyle G ,}$ және ${ displaystyle H ,}$ болып табылады изоморфты біреуге арналған презентация екіншісіне презентацияға айналуы мүмкін бе деген мәселені қарастырады. Алайда, алгебралық тұрғыдан тұйықталған топтар да ақырғы түрде жасалмайды және де болмайды рекурсивті түрде ұсынылған сондықтан олардың презентацияларын салыстыру мүмкін емес. Нейман келесі балама стратегияны қарастырды:

Бір топ екенін білеміз делік ${ displaystyle G ,}$ ақырғы презентациямен ${ displaystyle G = langle x_ {1}, x_ {2} mid R rangle}$ алгебралық жабық топқа ендірілуі мүмкін ${ displaystyle G ^ {*} ,}$ содан кейін тағы бір алгебралық жабық топ беріледі ${ displaystyle H ^ {*} ,}$, біз «мүмкін ${ displaystyle G ,}$ ендірілген ${ displaystyle H ^ {*} ,}$?"

Көп ұзамай, топқа арналған презентацияда гомоморфизм болуы мүмкін болған кезде, шешім қабылдауға жеткілікті ақпарат болмайтындығы белгілі болады. ${ displaystyle h: G rightarrow H ^ {*}}$, бұл гомоморфизм ендірудің қажеті жоқ. Бұл үшін спецификация қажет ${ displaystyle G ^ {*} ,}$ бұл спецификацияны сақтайтын кез-келген гомоморфизмді «ендіруге» мәжбүр етеді. Абсолютті презентация дәл осылай жасайды.

Әдебиеттер тізімі