Γ-конвергенция - Википедия - Γ-convergence

Ішінде вариацияларды есептеу, Γ-конвергенция (Гамма-конвергенция) үшін конвергенция ұғымы функционалды. Ол енгізілді Эннио де Джорджи.

Анықтама

Келіңіздер болуы а топологиялық кеңістік және нүктенің барлық аудандарының жиынтығын белгілеңіз . Әрі қарай функционалдық реттілігі болуы керек . The және былайша анықталады:

.

айтылады -қосу , егер функционалды болса осындай .

Бірінші есептелетін кеңістіктердегі анықтама

Жылы бірінші есептелетін кеңістіктер, жоғарыдағы анықтаманы дәйектілік тұрғысынан сипаттауға болады -конвергенция келесі жолмен болуы а бірінші есептелетін кеңістік және функционалдық реттілігі . Содан кейін айтылады -ге ауысу -шекті егер келесі екі шарт орындалса:

  • Төменгі деңгейдегі теңсіздік: Әрбір реттілік үшін осындай сияқты ,
  • Жоғарғы шекарадағы теңсіздік: әрқайсысы үшін , бірізділік бар жақындасу осындай

Бірінші шарт дегеніміз үшін асимптоталық төменгі шекараны қамтамасыз етеді . Екінші шарт бұл төменгі шекара оңтайлы дегенді білдіреді.

Куратовский конвергенциясына қатысты

-конвергенция деген ұғыммен байланысты Куратовский-конвергенция жиынтықтар. Келіңіздер белгілеу эпиграф функцияның және рұқсат етіңіз функционалдық реттілігі болуы керек . Содан кейін

қайда Куратовский әкін төменгі және білдіреді өнімнің топологиясы бойынша Куратовский әкі жоғары . Сондай-ақ, -ке ауысады жылы егер және егер болса -ке ауысады жылы . Мұның себебі -конвергенция деп кейде аталады эпикалық конвергенция.

Қасиеттері

  • Минимизаторлар минимизаторларға жақындайды: Егер -қосу , және минимизатор болып табылады , содан кейін тізбектің әрбір кластерлік нүктесі минимизаторы болып табылады .
  • -шектеулер әрқашан төменгі жартылай.
  • -конвергенция үздіксіз толқулар кезінде тұрақты: Егер -ке ауысады және үздіксіз, содан кейін болады -қосу .
  • Функционалдардың тұрақты тізбегі міндетті емес -қосу , бірақ Демалыс туралы , төмендегі ең үлкен жартылай жалғас функционалды .

Қолданбалар

Үшін маңызды пайдалану -конвергенция гомогенизация теориясы. Сонымен қатар, оны дискреттіден үздіксізге дейінгі теорияларға өтуді қатаң негіздеу үшін қолдануға болады, мысалы серпімділік теория.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Брайдес: Γ-жаңадан бастаушылар үшін конвергенция. Оксфорд университетінің баспасы, 2002 ж.
  • Г.Дал Масо: Γ-конвергенцияға кіріспе. Биркхаузер, Базель 1993 ж.